1、1.3.21.3.2空间向量运算的空间向量运算的坐标表示坐标表示讲课人：邢启强2若是若是 空间的一个基底，空间的一个基底，是空间任意一向量，存在是空间任意一向量，存在唯一的实数组使唯一的实数组使 px ay bz c,a b c p （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1 1，这个基底叫这个基底叫单位正交基底单位正交基底 ,ij k 用表 示xyzkjiO (2)(2)在空间选定一点在空间选定一点 和一个单位和一个单位正交基底正交基底 ，以点，以点 为原点，分为原点，分别以别以 的方向为正方向建立三的方向为正方向建立三条数轴：条数轴
2、：轴、轴、轴、轴、轴轴 ，它们，它们都叫都叫坐标轴坐标轴我们称建立了一个我们称建立了一个空间空间直角坐标系直角坐标系 ,点点 叫叫原点原点，向量向量 都叫都叫坐标向量坐标向量通过每通过每两个坐标轴的平面叫两个坐标轴的平面叫坐标平面坐标平面，分别称为分别称为 平面，平面，平面，平面，平面；平面；O,i j k ,ij k xyzOxyz,ij k O xyO yzO zxOO复习引入复习引入讲课人：邢启强3如图给定空间直角坐标系和向量如图给定空间直角坐标系和向量 ，设设 为坐标向量为坐标向量,则存在唯一的有则存在唯一的有序实数组序实数组 ，使使 ，有序实数组有序实数组 叫作向量叫作向量 在在空间
3、直角坐标系空间直角坐标系 中的坐标，记中的坐标，记作作 在空间直角坐标系在空间直角坐标系 中，对空中，对空间任一点间任一点 ，存在唯一的有序实数，存在唯一的有序实数组组 ，使，使 ，有序实数组有序实数组 叫作向量叫作向量 在在空空间直角坐标系间直角坐标系 中的中的坐标坐标，记作记作 ，叫叫横坐标横坐标，叫叫纵纵坐标坐标，叫叫竖坐标竖坐标 a,ij k 123(,)aaa123aa iaja k123(,)aaaOxyz123(,)aa aaAOxyz(,)x y zOAxiy jzk(,)x y zOA Oxyz(,)A x y zxzya复习引入复习引入xyzOA(x,y,z)ijkaa讲课
4、人：邢启强4向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算123123(,),(,)aa a abb b b设则;ab;ab;a;a b/;.ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()ab ab abR112222/ababab1 122330a ba ba b学习新知学习新知讲课人：邢启强5设设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).一个向量在直角坐标系中的坐标等于一个向量在直角
5、坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标去起点的坐标.空间向量坐标运算法则，关键是注意空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基底，何关系时，首先要选定单位正交基底，进而确定各向量的坐标。进而确定各向量的坐标。学习新知学习新知讲课人：邢启强6例例1已知已知(2,3,5),(3,1,4),|,8,abab ab aa a b 求(2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)ab(2,3
6、,5)(3,1,4)(1,2,1)ab 222|2(3)538a 88(2,3,5)(16,24,40)a(2,3,5)(3,1,4)2(3)(3)1 5(4)29a b 解解:例题讲评例题讲评讲课人：邢启强72222123|aa aaaa1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。三距离与夹角三距离与夹角在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz|ABABAB AB212121(,)xxyyzz22221
7、2121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz学习新知学习新知讲课人：邢启强8cos,|a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab思考：当思考：当 及及 时，夹角在什么范围内？时，夹角在什么范围内？1cos,0 a b,10cos a b学习新知学习新知讲课人：邢启强91.求下列两个向量的夹角的余弦
8、：求下列两个向量的夹角的余弦：(1)(2,3,3),(1,0,0);ab(2)(1,1,1),(1,0,1);ab2.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：(1)(1,1,0),(1,;1,1)AB(2)(3,1,5),(0,2,3).CD巩固练习巩固练习讲课人：邢启强10例例2已知已知A(3,3,1)、B(1,0,5),求：求：（1）线段）线段AB的中点坐标和长度；的中点坐标和长度；解：设是的中点，则解：设是的中点，则(,)M xy zAB113()(3,3,1)1,0,52,3,222 OMOAOB点的坐标是点的坐标是.M32,32222,(13)(03)(5 1)29.A BdOABM
9、例题讲评例题讲评讲课人：邢启强11例例2已知已知A(3,3,1)、B(1,0,5),求：求：例题讲评例题讲评（2）到）到A,B两点距离相等的点两点距离相等的点P(x,y,z,)的坐的坐标标x,y,z满足的条件。满足的条件。解：点到的距离相等，则解：点到的距离相等，则(,)P xy z 、AB222222(3)(3)(1)(1)(0)(5),xyzxyz化简整理，得化简整理，得46870 xyz即到两点距离相等的点的坐标满即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是足的条件是 、AB(,)xy z46870 xyz讲课人：邢启强12F1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方
10、体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1,0),1,1,4BE 11(0,0,0),0,1.4DF，1311,1(1,1,0)0,1,44BE 例例3如图如图,在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110,1(0,0,0)0,1.44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17|171744BE DFBE DFBEDF 例题讲评例题讲评讲课人：邢启强13例
11、题讲评例题讲评讲课人：邢启强14证明证明:设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,.DAi DCj DDk 建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系11(1,0,0),(0,1),2ADD F 则则11(1,0,0)(0,1)0.2AD D F 1.ADD F 1(0,1,),2AE 又又111(0,1,)(0,1)0.22AE D F 1.AED F 又又ADAE=A,ADAE=A,1.D FADE 平平面面xyzA1D1C1B1ACBDFE例题讲评例题讲评讲课人：邢启强15达标练习达标练习讲课人：邢启强16,AB EF 求达标练习达标练习讲课人：邢启强17练习练习 3 3 已知已知
12、 垂直于正方形垂直于正方形 所在的平面所在的平面,分分别是别是 的中点的中点,并且并且 ,求证求证:PAABCD,M N,AB PCPA ADMNPDC平面证明证明:分别以分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系为坐标向量建立空间直角坐标系 则则 ,i j k AxyzADBPCMNxyz,1PAADABPAAC ADABDAi ABj APk PA 且平面可设(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),ABCD(0,0,1)P11 1 1(0,0),(,)22 2 2MN 11(,0,)22MN (1,0,1)PD (0,1,0)DC 11(,0,)(1,0,1)022MN
13、PDMNPD 11(,0,)(0,1,0)022MN DCMNDC PDDCDMNPDC又平面达标练习达标练习讲课人：邢启强18o11111111111,ABCCACB 1BCA90AA2MNA BAA1)BN2)cos,CB3)A BC MABCABCBA 如图：直三棱柱底面中，棱，、分别为、的中点，求的长；求的值；求证：。BCC1A1B1ANM达标练习达标练习讲课人：邢启强19练习练习4：如图，已知线段：如图，已知线段AB，AC，BDAB，DE ，DBE=30，如果，如果AB=6，AC=BD=8，求，求CD的长及异面直线的长及异面直线CD与与AB所成角的所成角的余弦值。余弦值。练习：平行六
14、面体练习：平行六面体ABCDA1B1C1D1中，中，AB=4，AD=3，AA1=5，BAD=BAA1=DAA1=60，E、H、F分别是分别是D1C1、AB、CC1的中点。（的中点。（1）求）求AC1的长；（的长；（2）求）求BE的的长；（长；（3）求）求HF的长；（的长；（4）求）求BE与与HF所成角的所成角的余弦值余弦值。886 EDCBA534FHED1C1B1A1DCBA1035973721511252 151 37达标练习达标练习讲课人：邢启强20a b c 达标练习达标练习讲课人：邢启强21 感受美好自然，培养语文素养！GAN SHOU MEI HAO ZI RAN PEI YANG YU WEN SU YANG
