1、 8.5.3平面与平面平行的判定导学案编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【学习目标】1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理，明确定理中“相交”两字的重要性2.能利用判定定理解决有关面面平行问题【自主学习】知识点1 平面与平面平行的判定定理表示定理图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行【合作探究】探究一 面面平行判定定理的理解【例1】在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是()AAD1平面EFGHBBD1GHCBDEFD平面EFGH平面A1BCD1【
2、答案】D解析在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，在A中，AD1与BC1平行，而BC1与平面EFGH相交，故AD1不平行于平面EFGH，故A错误；在B中，BD1CD1D1，CD1GH，故BD1不可能平行于GH，故B错误；在C中，BDA1BB，A1BEF，故BD与EF不可能平行，故C错误在D中，EFA1B，FGBC，A1BBCB，EFFGF，所以平面EFGH平面A1BCD1，故D正确归纳总结：解决此类问题的关键有两点：(1)借助常见几何体进行分析，使得抽象问题具体化.(2)把握住面面平行的判定定理的关键“一个平面内两条相交直线均平行于
3、另一个平面”【练习1】下列命题中，错误的命题是 ()A平行于同一直线的两个平面平行B平行于同一平面的两个平面平行C平行于同一平面的两直线关系不确定D两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面【答案】A解析：如图，正方体ABCDA1B1C1D1中， BB1平面ADD1A1，BB1平面DCC1D1，而平面ADD1A1平面DCC1D1DD1.探究二 平面与平面平行的证明【例2】如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点求证：平面A1EB平面ADC1.分析要证平面A1EB平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可证明如图，由棱柱的性质知，B1
4、C1BC，B1C1BC.又D、E分别为BC，B1C1的中点，所以C1EDB，C1EDB.则四边形C1DBE为平行四边形，因此EBC1D.又C1D平面ADC1，EB平面ADC1，所以EB平面ADC1.连接DE，同理，EB1BD，EB1BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则EDB1B，EDB1B.因为B1BA1A，B1BA1A(棱柱的性质)，所以EDA1A，EDA1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1EAD.又A1E平面ADC1，AD平面ADC1，所以A1E平面ADC1.由A1E平面ADC1，EB平面ADC1，A1E平面A1EB，EB平面A1EB，且A1EEBE，所以平面A1EB平面A
5、DC1.归纳总结：判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，先在一个平面内找两条与另一个平面平行的相交直线，找不到再引辅助线【练习2】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN平面EFDB.证明：(1)连接B1D1，如图E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，EFB1D1，而BDB1D1，BDEF.E、F、B、D四点共面(2)由题知MNB1D1，B1D1BD，MNBD.又MN平面EFDB，BD平面EFDB.MN平面EFDB.如图，连接MF.M、F分别是A1B1
6、，C1D1的中点，MFA1D1，MFA1D1.MFAD，MFAD.四边形ADFM是平行四边形，AMDF.又AM平面BDFE，DF平面BDFE，AM平面BDFE.又AMMNM，平面MAN平面EFDB.探究三 线面平行、面面平行的综合应用【例3】已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD，点E在PD上，且PE：ED2：1，在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置分析解答本题应抓住BF平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC，再确定F的位置解存在证明：如图所示，连接BD、AC交于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GFCE，交PC于点F，连接
7、BF.BGOE，BG平面AEC，OE平面AEC，BG平面AEC.同理，GF平面AEC，又BGGFG，平面BGF平面AEC.又BF平面BGF，BF平面AEC.BGOE，O是BD中点，E是GD中点又PE：ED2：1，G是PE中点而GFCE，F为PC中点综上，当点F是PC中点时，BF平面AEC.归纳总结：(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.(2)解决此类问题时，可应用平面中直线平行的判定自行构造一个与目标平面平行的平面，再根据性质判断目标点的位置.【练习3】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，
8、求证：(1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.证明：(1)如图，连接SB.E、G分别是BC、SC的中点，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直线EG平面BDD1B1.(2)如图，连接SD，F、G分别是DC、SC的中点，FGSD.又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.课后作业A组 基础题一、选择题1直线l平面，直线m平面，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为，则与的位置关系是()A相交 B平行C异面 D不确定【答案】B解析因为lmP，所以过l
9、与m确定一个平面.又因l，m，lmP，所以.2、是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，则在下列条件下，可判定的是()A、都平行于直线a、bB内有三个不共线的点到的距离相等Ca，b是内两条直线，且a，bDa，b是两条异面直线且a，b，b【答案】D解析A错，若ab，则不能断定；B错，若三点不在的同一侧，与相交；C错，若ab，则不能断定.故选D.3已知m，n是两条直线，是两个平面，有以下命题：m，n相交且都在平面，外，m，m，n，n，则；若m，m，则；若m，n，mn，则.其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3【答案】B解析设mnP，记m与n确定的平面为.由题意知：，则.故正确、均错误4
10、在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，E、F分别是A1B1、C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是()A面ABB1A1 B面BCC1B1C面BCFE D面DCC1D1【答案】C解析取AB、DC的中点分别为E1和F1，OM扫过的平面即为面A1E1F1D1(如图)，故面A1E1F1D1面BCFE.5六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有()A1对 B2对 C3对 D4对【答案】D解析由图知平面ABB1A1平面EDD1E1，平面BCC1B1平面FEE1F1，平面AFF1A1平面CDD1C1，平面
11、ABCDEF平面A1B1C1D1E1F1，此六棱柱的面中互相平行的有4对6在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：FG平面AA1D1D；EF平面BC1D1；FG平面BC1D1；平面EFG平面BC1D1.其中推断正确的序号是()A B C D【答案】A解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，FGBC1.BC1AD1，FGAD1，FG平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，FG平面AA1D1D，故正确；EFA1C1，A1C1与平面BC1D1相交，EF与平面BC1D1相交，故错误；FG
12、BC1，FG平面BC1D1，BC1平面BC1D1，FG平面BC1D1，故正确；EF与平面BC1D1相交，平面EFG与平面BC1D1相交，故错误故选A.7如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：平面EFGH平面ABCD；平面PADBC；平面PCDAB；平面PAD平面PAB.其中正确的有()A BC D【答案】C解析把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EHAB，所以EH平面ABCD.同理可证EF平面ABCD，所以平面EFGH平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面
13、，则它们两两相交ABCD，平面PCDAB.同理平面PADBC.二、填空题8已知平面、和直线a、b、c，且abc，a，b、c，则与的关系是_【答案】相交或平行解析b、c，a，abc，若，满足要求；若与相交，交线为l，bcl，al，满足要求，故【答案】为相交或平行9已知平面和，在平面内任取一条直线a，在内总存在直线ba，则与的位置关系是_【答案】平行解析假若l，则在平面内，与l相交的直线a，设alA，对于内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即内不存在直线ba.故.10已知a和b是异面直线，且a平面，b平面，a，b，则平面与的位置关系是_【答案】平行解析在b上任取一
14、点O，则直线a与点O确定一个平面，设l，则l，a，a与l无公共点，al，l.又b，根据面面平行的判定定理可得.三、解答题11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN平面A1BD.证明连接B1D1，B1C.P，N分别是D1C1，B1C1的中点，PNB1D1.又B1D1BD，PNBD.又PN平面A1BD，BD平面A1BD，PN平面A1BD.同理，MN平面A1BD.又PNMNN，平面PMN平面A1BD.12已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PMMABNNDPQQD.求证：平面M
15、NQ平面PBC.证明PMMABNNDPQQD，MQAD，NQBP，而BP平面PBC，NQ平面PBC，NQ平面PBC.又四边形ABCD为平行四边形，BCAD，MQBC，而BC平面PBC，MQ平面PBC，MQ平面PBC.易知MQNQQ，根据平面与平面平行的判定定理，可知平面MNQ平面PBC.13如图，在四棱锥CABED中，四边形ABED是正方形，G，F分别是线段EC，BD的中点(1)求证：GF平面ABC；(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明(1)证明如图，连接AE，由F是线段BD的中点得F为AE的中点，GF为AEC的中位线，GFAC.又AC平面ABC，GF平
16、面ABC，GF平面ABC.(2)解平面GFP平面ABC，证明如下：在CD上取中点P，连接FP，GP.F，P分别为BD，CD的中点，FP为BCD的中位线，FPBC.又BC平面ABC，FP平面ABC，FP平面ABC，又GF平面ABC，FPGFF，FP平面GFP，GF平面GFP，平面GFP平面ABC.B组 能力提升一、选择题1(多选题)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有()ABM平面DEBCN平面AFC平面BDM平面AFND平面BDE平面NCF【答案】ABCD展开图可以折成如图所示的正方体图图在正方体中，连接AN，如图所示ABMN，且ABMN，四边形ABMN是平行四边形B
17、MAN.BM平面DE.同理可证CN平面AF，AB正确；图如图所示，连接NF，BE，BD，DM，CF，可以证明BM平面AFN，BD平面AFN，则平面BDM平面AFN，同理可证平面BDE平面NCF，所以CD正确二、填空题2已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下面四个命题：若l，m，l，m，则；若l，l，m，则lm；若，l，则l；若l，ml，则m.其中所有真命题的序号是_【答案】解析当lm时，平面与平面不一定平行，故错误；正确；若，l，则l或l，故错误；中直线m有可能在平面内，故错误3如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PAPBAB2，E、F分别是AB、CD的中点，平面AGF平面P
18、EC，PD平面AGFG，ED与AF相交于点H，则GH_.【答案】因为ABCD是平行四边形，所以ABCD，ABCD，因为E、F分别是AB、CD的中点，所以AEFD，又EAHDFH，AEHFDH，所以AEHFDH，所以EHDH.因为平面AGF平面PEC，平面PED平面AGFGH，平面PED平面PECPE，所以GHPE，所以G是PD的中点，因为PAPBAB2，所以PE2sin 60.所以GHPE.三、解答题4如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，且AB2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CFADD1A1？若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由解当F
19、为AB的中点时，平面C1CFADD1A1.理由如下：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，且AB2CD，F为AB的中点，CD綊AF綊C1D1，AFCD是平行四边形，且AFC1D1是平行四边形，CFAD，C1FAD1.又CFC1FF，CF，C1F都在平面C1CF内，平面C1CF平面ADD1A1.5.如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且ABE和ABF均为等腰直角三角形，BAEAFB90.求证：平面BCE平面ADF.证明四边形ABCD为矩形，BCAD，又BC平面ADF，AD平面ADF，BC平面ADF.ABE和ABF均为等腰直角三角形，且BAEAFB
20、90，BAFABE45，AFBE，又BE平面ADF，AF平面ADF，BE平面ADF.又BC平面BCE，BE平面BCE，BCBEB，平面BCE平面ADF.6如图，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，ABBCAP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将PCD沿CD折起，得到四棱锥PABCD，如图.图图求证：在四棱锥PABCD中，AP平面EFG.证明在四棱锥PABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，EFCDABCD，EFABEF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB同理EG平面PAB又EFEGE，EF平面EFG，EG平面EFG，平面EFG平面PABAP平面PAB，AP平面EFG.
