1、讲课人：邢启强2 在公路附近有一家乡村饭馆在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短这条连接道路的长度最短?讲课人：邢启强3QPyxol思考：思考：已知点已知点P0 0(x0 0,y0 0)和直线和直线l:Ax+By+C=0,=0,怎样求怎样求点点P到直线到直线l的距离的距离呢呢?点到直线的距离点到直线的距离如图，如图，P到直线到直线l的距离，就是指从点的距离，就是指从点P到直线到直线l的的垂线段垂线段PQ的长度，其中的长度，其
2、中Q是垂足是垂足.学习新知学习新知当当A=0=0或或B=0=0时时,直线方程为直线方程为y=y1 1或或x=x1 1的形式的形式.Qyoy=y1(x0,y0)xP(x0,y1)10y-yPQ=Qxyox=x1P(x0,y0)(x1,y0)10 x-xPQ=讲课人：邢启强4下面设下面设A0,B 0,A0,B 0,我们进一步探求点到直线的距离公式我们进一步探求点到直线的距离公式:思路一利用两点间距离公式利用两点间距离公式:PyxolQ学习新知学习新知点P到直线/的距离，就是从点P到直线/的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足(如右图).因此，求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出|PQ|,就可以得到
3、点P到直线l的距离.得直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为因此，点P(xo,yo)到直线l:Ax+By+C=0的距离2200|BACByAxd可以验证，当A=0,或B=0时，上述公式仍然成立讲课人：邢启强5下面设下面设A0,B 0,A0,B 0,我们进一步探求点到直线的距离公式我们进一步探求点到直线的距离公式:思路二利用两点间距离公式，设而不求利用两点间距离公式，设而不求:PyxolQ学习新知学习新知点P到直线/的距离，就是从点P到直线/的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足(如右图).因此，求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出|PQ|,就可以得到点P到直线l的距离.因此，点P(xo,yo
4、)到直线l:Ax+By+C=0的距离2200|BACByAxd可以验证，当A=0,或B=0时，上述公式仍然成立将(1)(2)两边平方后相加，得讲课人：邢启强6 思路三思路三 构造直角三角形求其高构造直角三角形求其高.学习新知学习新知 思路四思路四 向量法求点到直线的距离向量法求点到直线的距离.我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法求点到直线的距离?讲课人：邢启强7学习新知学习新知讲课人：邢启强8 P P0 0(x(x0 0,y,y0 0)到直线到直线l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0的距离：的距离：2200|BACByAxd点到直线的距离：点到直线的距离：（1）
5、分子是P点坐标代入直线方程；（2）分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根类似于勾股定理求斜边的长学习新知学习新知(3)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.(4)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.讲课人：邢启强9例例1:1:已知点已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求，求ABCABC的面积的面积x xy yO OA AB BC Ch h1|2SAB h解：设解：设AB边上的高为边上的高为h22|(3 1)(1 3)2 2AB 3 111 3ABk AB的方程为的方程为31(
6、1)yx 化为一般式化为一般式40 xy22|1 04|11h 还有其他方还有其他方法吗法吗？152 2522S 典型例题典型例题讲课人：邢启强103.3.求点求点P P0 0（-1-1，2 2）到直线）到直线2x+y-10=02x+y-10=0的距离的距离.1.1.求点求点A A（-2-2，3 3）到直线）到直线3x+4y+3=03x+4y+3=0的距离的距离.2.求求点点B B（-5-5，7 7）到直线）到直线12x+5y+3=012x+5y+3=0的距离的距离.4、P（2，3）到直线x+2y+4=0的距离是_520巩固练习巩固练习5.点P(-1,2)到直线3x=2的距离是_.6.点P(-
7、1,2)到直线3y=2的距离是_.3534讲课人：邢启强11例例2：用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一：用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。腰上的高。证明证明:建立如图直角坐标系建立如图直角坐标系,设设P(x,0),x()OA(a,0)C(-a,0)B(0,b)xyEFP可求得可求得lAB:()lCB:()|PE|=()|PF|=()A到到BC的距离的距离h=()因为因为|PE|+|PF|=h，所以原命题得证。，所以原命题得证。0 abaybx0 abaybx22baabbx 22baabbx aa,222baab 典型例题典型例题讲
8、课人：邢启强12例3.已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.典型例题典型例题解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,故x=-1满足题意;当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得即x+3y-5=0.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.讲课人：邢启强13已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4
9、,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.典型例题典型例题(方法二)由题意得lAB或l过AB的中点.当lAB时,设直线AB的斜率为kAB,即x+3y-5=0.当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.讲课人：邢启强14求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程典型例题典型例题在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解.讲课人：邢启强15巩固练习巩固练习1.已知直线l过点P(3,4)且与点A(2
10、,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_.2xy20或2x3y1802.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是.解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,设垂足为M,则|MP|最小,3.若点(4，a)到直线4x3y0的距离不大于3，则a的取值范围是_.讲课人：邢启强162200BACByAxd+=1.1.平面内一点平面内一点P(xP(x0 0,y,y0 0)到直线到直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离公式是的距离公式是当当A=0A=0或或B=0B=0时时,公式仍然成立公式仍然成立.2.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.3.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.课堂小结课堂小结
