1、7.3*复数的三角表示复数的三角表示7.3.2复数的复数的乘、除运算的乘、除运算的三角表示三角表示及其几何意义及其几何意义本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854 专注收集同步资源期待你的加入与分享联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸讲课人：邢启强2 rzabi 一一般般地地，任任何何一一个个复复数数(cossin)ri 都都可可以以表表示示成成的的形形式式复数的代数表示式复数的代数表示式复数的三角表示式复数的三角表示式代代数数形形式式三三角角形形式式rx以以 轴轴的的非非负负半半轴轴为为始始边边，.z复复数数 的的模模
2、OZ.射射线线为为终终边边的的角角复数的复数的辐角辐角复习引入复习引入22rabcosar sinbr tan()ba 注注意意象象限限讲课人：邢启强3（1 1）任任意意一一个个不不为为0 0的的复复数数的的辐辐角角有有无无限限多多个个值值，且且这这些些值值相相差差2 2 的的整整数数倍倍.0.（2 2）复复数数 的的辐辐角角是是任任意意的的02 （3 3）规规定定：范范围围内内的的辐辐角角 的的值值为为辐角主值辐角主值arg,z记记作作0arg2.z 即即复习引入复习引入两个非零复数相等两个非零复数相等当且仅当当且仅当它们的它们的模模与与辐角辐角的的主值主值分别相等分别相等讲课人：邢启强4(
3、,)zabi a bR复数复数z=a+biz=a+bi复平面内的点（复平面内的点（a,ba,b）一一对应一一对应平面向量平面向量OZ=(a,b)OZ=(a,b)一一对应一一对应借借助助复复数数的的几几何何意意义义，复复数数能能不不能能用用其其他他形形式式来来表表示示呢呢?复数复习引入复习引入000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数CR 讲课人：邢启强5(,)zabi a bR复习引入复习引入实部,虚部均为实数设设 是任意两个复数，是任意两个复数，复数的加减法按照以下的法则进行：复数的加减法按照以下的法则进行：diczbiaz21,(a
4、+bi i)(c+di i)=(ac)+(bd)i i复数的代数形式乘法法则：复数的代数形式乘法法则：)()acbdbcad i（()()abi cdi复数复数 z=a+bi 的共轭复数记作的共轭复数记作,zzabi即即讲课人：邢启强6学习新知学习新知12111122221 2,(cossin),(cossin),z zzrizriz z如如果果把把复复数数分分别别写写成成三三角角形形式式你你能能计计算算并并将将结结果果表表示示成成三三角角形形式式吗吗？1 2111222(cossin)(cossin)z zriri 1 21122(cossin)(cossin)r rii1 21212121
5、2(coscossinsin)(sincoscossin)r ri 1 21212cos+sin()r ri （）111222 (cossin)(cossin)riri 即即1 21212cos+sin()r ri （）讲课人：邢启强7学习新知学习新知两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数辐角的和.复数乘法法则111222 (cossin)(cossin)riri 即即1 21212cos+sin()r ri （）探究：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？探究：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？讲课人：邢启强8探究：由复数乘法运算的三
6、角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？探究：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？1 21 21212cos+sin()z zr ri （）Oxy1111(cossin),riz z2222(cossin),ri z z1Z2ZZ12zz乘乘以以 的的几几何何意意义义：112OZz 对对应应的的向向量量逆逆时时针针旋旋转转角角，2r再再把把它它的的模模变变为为原原来来的的 倍倍，1 2OZ.z z 得得到到的的向向量量对对应应的的复复数数就就是是积积你能解释你能解释i i2 2=-1=-1和和（-1-1）2 2=1=1的几何意义吗？的几何意义吗？学习新知学习新知讲课人：邢启强
7、9123(cossin),2(cossin),26633zizi 已已知知1 2,z z求求请请把把结结果果化化为为代代数数形形式式，并并作作出出几几何何解解释释.解：解：1 23(cossin)2(cossin),26633z zii 32cos+sin+26363i （）（）=3 cossin22i（）=3.iOxy1Z2ZZ6 3 1 212OZ OZz z 首首先先做做出出与与对对应应的的向向量量，1OZO3 把把向向量量绕绕点点 按按逆逆时时针针方方向向旋旋转转，2再再将将其其长长度度变变为为原原来来的的 倍倍，1 23OZ.2 得得到到的的长长度度为为，辐辐角角为为的的向向量量对对
8、应应的的复复数数即即为为z z z z当不要求把计算结果化当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以为代数形式时，也可以用三角形式表示用三角形式表示典型例题典型例题例1讲课人：邢启强10巩固练习巩固练习C讲课人：邢启强11巩固练习巩固练习讲课人：邢启强12=223333 原原式式（c co os s+i is si in n）（c co os s+i is si in n）解：解：2233 计计算算.（c co os s+i is si in n）=22+3333 c co os s（）+i is si in n（）22=2()33cos+isincos+isin13=2()22+i+i=13
9、+i+i*(cossin),.zrinN (cossin)nnzrnin 学习新知学习新知讲课人：邢启强130OZ1+,OZO120i 如如图图，向向量量对对应应的的复复数数为为把把绕绕点点 按按逆逆时时针针方方向向旋旋转转，OZOZ 得得到到，求求向向量量对对应应的的复复数数（用用代代数数形形式式表表示示）.ZZ Oxy解：解：OZ 向向量量对对应应的的复复数数为为00（1 1+i i）(c co os s1 12 20 0+i is si in n1 12 20 0)13=-22（1+i1+i）(+i)(+i)1313=-+-+2222（）i i-1-33-1=+22i i11典型例题典型
10、例题讲课人：邢启强14探究：复数的除法运算是乘法运算的逆运算，根据复数乘法运算的三角表示，探究：复数的除法运算是乘法运算的逆运算，根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数的除法运算的三角表示吗？你能得出复数的除法运算的三角表示吗？1111(cossin),ri 设设z z2222(cossin),ri z z学习新知学习新知)sin()cos()sin(cos)sin(cos21212122211121irririrZZ122212122(cossin)cos()sin()rriir 12,zz 且且因因为为111(cossin)ri 两个复数相除,商还是一个复数,商的模等于被除数的模除以除数
11、的模所得的商,商的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.模相除，辐角相减模相除，辐角相减讲课人：邢启强15111222(cossin)=(cossin)riri 112122cos()sin()rir Oxy1Z2ZZ12-学习新知学习新知探究：类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算探究：类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？讲课人：邢启强164455543366 例例 计计算算（cos+isincos+isin）2(cos+isin),2(cos+isin),并并把把结结果果化化为为代代数数形形式式.解
12、：解：44545=cos()sin()23636i原原式式=2(cossin)22i=2(0)i=2.i典型例题典型例题讲课人：邢启强17巩固练习巩固练习讲课人：邢启强18巩固练习巩固练习讲课人：邢启强19典型例题典型例题讲课人：邢启强20巩固练习巩固练习讲课人：邢启强21111222(cossin)(cossin)riri 1 21212cos+sin()r ri （）模相乘，辐角相加模相乘，辐角相加111222(cossin)=(cossin)riri 112122cos()sin()rir 模相除，辐角相减模相除，辐角相减课堂小结课堂小结复数三角形式的乘法法则以及几何意义；讲课人：邢启强22课堂小结课堂小结
