1、8.2立体图形的直观图 必备知识必备知识自主学习自主学习1.1.直观图直观图(1)(1)定义定义:观察者站在某一点观察一个观察者站在某一点观察一个_获得的图形获得的图形.(2)(2)本质本质:把不完全在同一平面内的点的集合把不完全在同一平面内的点的集合,用同一平面内的点表示用同一平面内的点表示.立体图形立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.空间几何体空间几何体【思考【思考】图形的形状与其直观图一定一样吗图形的形状与其直观图一定一样吗?提示提示:图形的形状与其直观图往往不完全一样图形的形状与其直观图往往不完全一样.2.2.用斜二测画法画水平放置
2、的平面图形的直观图的步骤用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)(1)画轴画轴:在已知图形中取互相垂直的在已知图形中取互相垂直的x x轴和轴和y y轴轴,两轴相交于点两轴相交于点O,O,画直观图时画直观图时,把它把它们画成对应的们画成对应的xx轴与轴与yy轴轴,两轴交于两轴交于O,O,且使且使xOyxOy=_(=_(或或_),_),它们确定的平面表示水平面它们确定的平面表示水平面.(2)(2)画线画线:已知图形中平行于已知图形中平行于x x轴或轴或y y轴的线段轴的线段,在直观图中分别画成平行于在直观图中分别画成平行于_的线段的线段.(3)(3)取长度取长度:已知图形中平行于已知图
3、形中平行于x x轴的线段轴的线段,在直观图中保持在直观图中保持_,_,平行于平行于y y轴的线段轴的线段,在直观图中长度为原来的在直观图中长度为原来的_._.4545135135xx轴轴或或yy轴轴原长度不变原长度不变一半一半【思考【思考】x x、y y轴上的线段在直观图中的位置、长度是怎样的轴上的线段在直观图中的位置、长度是怎样的?提示提示:分别在分别在x,yx,y轴上轴上,在在xx轴上的长度不变轴上的长度不变;在在yy轴上的长度变为原来的轴上的长度变为原来的一半一半.3.3.空间几何体直观图的画法空间几何体直观图的画法(1)(1)画轴画轴:与平面图形的直观图画法相比多了一个与平面图形的直观
4、图画法相比多了一个z z轴轴,直观图中与之对应的是直观图中与之对应的是zz轴轴.(2)(2)画底面画底面:平面平面xOyxOy表示水平平面表示水平平面,平面平面yOzyOz和和xOzxOz表示竖直表示竖直平面平面.(3)(3)画侧棱画侧棱:已知图形中平行于已知图形中平行于z z轴轴(或在或在z z轴上轴上)的线段的线段,在其直观图中在其直观图中_和和_都不变都不变.(4)(4)成图成图:去掉辅助线去掉辅助线,将被遮挡的部分改为将被遮挡的部分改为_._.平行性平行性长度长度虚线虚线【基础小测【基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆(对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”)(1)(1)垂直的线段在
5、直观图中仍然垂直垂直的线段在直观图中仍然垂直.()(2)(2)菱形的直观图仍然是菱形菱形的直观图仍然是菱形.()(3)(3)梯形的直观图仍然是梯形梯形的直观图仍然是梯形.()提示提示:(1)(1).垂直的线段在直观图中不一定垂直垂直的线段在直观图中不一定垂直.(2)(2).相等的线段在直观图中不一定相等相等的线段在直观图中不一定相等.(3)(3).平行的线段在直观图中仍然平行平行的线段在直观图中仍然平行,因此梯形的直观图仍然是梯形因此梯形的直观图仍然是梯形.2.2.利用斜二测画法得到的利用斜二测画法得到的:三角形的直观图是三角形三角形的直观图是三角形;平行四边形的直观图是平行四边形平行四边形的
6、直观图是平行四边形;正方形的直观图是正方形正方形的直观图是正方形;以上结论以上结论,正确的是正确的是()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析【解析】选选A.A.由斜二测画法规则知由斜二测画法规则知正确正确;平行性不变平行性不变,故故正确正确;正方形的直正方形的直观图是平行四边形观图是平行四边形,错误错误.3.(3.(教材二次开发教材二次开发:综合运用改编综合运用改编)如图如图,正方形正方形ABCDABCD的边长为的边长为1,1,它是水平放置的它是水平放置的一个平面图形的直观图一个平面图形的直观图,则原图形的周长是则原图形的周长是()A.4+2 A.4+2 B.8B.8C.2(1+)C.2(1
7、+)D.2(1+)D.2(1+)632【解析【解析】选选A.A.依题意依题意,AD=1,AC=,AD=1,AC=,建立如图直角坐标系建立如图直角坐标系xAxAy y,在在y y轴上截取轴上截取A AD D=2,=2,在在x x轴上截取轴上截取A AC C=,=,过过C C作作y y轴的平行线轴的平行线,截取截取C CB B=2,=2,则四边形则四边形A AB BC CD D为正方形为正方形ABCDABCD的原图的原图.A AB B=C=CD D=所以原图形的周长是所以原图形的周长是2 22+22+2 =4+2 .=4+2 .2222226（）66关键能力关键能力合作学习合作学习类型一平面图形的
8、直观图类型一平面图形的直观图(直观想象直观想象)【题组训练【题组训练】1.1.如图如图,ABCABC是是ABCABC的直观图的直观图,其中其中ABxABx轴轴,ACy,ACy轴轴,且且AB=AC,AB=AC,那么那么ABCABC是是()A.A.等腰三角形等腰三角形B.B.直角三角形直角三角形C.C.等腰直角三角形等腰直角三角形D.D.钝角三角形钝角三角形2.2.如图如图,矩形矩形OABCOABC是水平放置的一个平面图形的直观图是水平放置的一个平面图形的直观图,其中其中OA=OA=6 cm,OC6 cm,OC=2 cm,=2 cm,则原图形是则原图形是()A.A.正方形正方形B.B.矩形矩形C.
9、C.菱形菱形D.D.不是矩形或菱形的平行四边形不是矩形或菱形的平行四边形3.3.画出图中水平放置的四边形画出图中水平放置的四边形ABCDABCD的直观图的直观图.【解析【解析】1.1.选选B.B.由斜二测画法由斜二测画法,得得x xO Oy y=135=135,因为因为A AB Bx x轴轴,A,AC Cy y轴轴,故故B BA AC C=135=135,所以所以BAC=90BAC=90,并且横不变并且横不变,纵减纵减半半,所以所以AC=2AB.AC=2AB.2.2.选选C.C.如图如图,在原图形在原图形OABCOABC中中,应有应有OD=2OOD=2OD D=2=22 =4 (cm),2 =
10、4 (cm),CD=CCD=CD D=2 cm,=2 cm,所以所以OC=6(cm),OC=6(cm),所以所以OA=OC,OA=OC,故四边形故四边形OABCOABC是菱形是菱形.222222ODCD4 22（）3.3.四边形四边形ABCDABCD的直观图如图所示的直观图如图所示:【解题策略【解题策略】关于斜二测画法作图关于斜二测画法作图(1)(1)首先在原图中建立直角坐标系首先在原图中建立直角坐标系,一般采用对称建系一般采用对称建系,或尽可能将图形中的或尽可能将图形中的边、顶点落在坐标轴上边、顶点落在坐标轴上.(2)(2)建立斜二测坐标系建立斜二测坐标系,先作坐标轴上的点、与坐标轴平行的线
11、段先作坐标轴上的点、与坐标轴平行的线段,原则是原则是“横横不变不变,纵减半纵减半”.(3)(3)对于不与坐标轴平行的线段对于不与坐标轴平行的线段,可通过在原图中作辅助线的方法确定在直观图可通过在原图中作辅助线的方法确定在直观图中的位置中的位置.类型二空间几何体的直观图类型二空间几何体的直观图(直观想象直观想象)【典例【典例】如图是一个空间几何体的三视图如图是一个空间几何体的三视图,试用斜二测画法画出它的直观图试用斜二测画法画出它的直观图.【思路导引【思路导引】首先根据三视图想象出几何体的形状首先根据三视图想象出几何体的形状,再利用图中尺寸作图再利用图中尺寸作图.【解析【解析】由题图可知图中几何
12、体是正六棱台由题图可知图中几何体是正六棱台,画法如下画法如下:(1)(1)画轴画轴:画画x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴轴,使使x xO Oy y=45=45,x xO Oz=90z=90(如图如图1)1)(2)(2)画底面画底面:以以O O为中心为中心,在在x xO Oy y坐标系内画正六棱台下底面六边形的直观图坐标系内画正六棱台下底面六边形的直观图ABCDEF.ABCDEF.在在z z轴上取线段轴上取线段O OO O1 1等于正六棱台的高等于正六棱台的高;过过O O1 1画画O O1 1M M、O O1 1N N分别平行于分别平行于O Ox x、O Oy y,再以再以O O1 1为中心
13、为中心,画正六棱台上底面六画正六棱台上底面六边形的直观图边形的直观图A AB BC CD DE EF F.(3)(3)成图成图:连接连接AAAA,BB,BB,CC,CC,DD,DD,EE,EE,FF,FF,并且加以整理并且加以整理,就得到正六棱台的直观就得到正六棱台的直观图图(如图如图2).2).【解题策略【解题策略】画空间图形的直观图画空间图形的直观图,一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形,再画再画z z轴轴,并确定竖直方向上的相关的点并确定竖直方向上的相关的点,最后连点成图便可最后连点成图便可.【跟踪训练【跟踪训练】已知某几何体的三视图如图已知某
14、几何体的三视图如图,请画出它的直观图请画出它的直观图(单位单位:cm).:cm).【解析【解析】画法画法:(1)(1)建系建系:如图如图,画画x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴轴,三轴相交于点三轴相交于点O,O,使使xOyxOy=45=45,xOz=90 xOz=90.(2)(2)画底画底:在在x x轴上取线段轴上取线段OB=8 cm,OB=8 cm,在在y y轴上取线段轴上取线段OAOA=2 cm,=2 cm,以以OBOB和和OAOA为邻边为邻边作平行四边形作平行四边形OBBOBBA A.(3)(3)定点定点:在在z z轴上取线段轴上取线段OC=4 cm,OC=4 cm,过过C C分别作分别作
15、x x轴轴,y,y轴的平行线轴的平行线,并在平行线上分并在平行线上分别截取别截取CD=4 cm,CCCD=4 cm,CC=2 cm.=2 cm.以以CDCD和和CCCC为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形CDDCDDC C.(4)(4)成图成图:连接连接A AC C,BD,B,BD,BD D,并加以整理并加以整理,就得到该几何体的直观图就得到该几何体的直观图(如图如图).).类型三斜二测画法的应用类型三斜二测画法的应用(数学运算数学运算)角度角度1 1计算原图中的量计算原图中的量【典例【典例】(2020(2020石嘴山高一检测石嘴山高一检测)如图所示如图所示,四边形四边形ABCDABCD为一平
16、面图形的直观为一平面图形的直观图图,AB=2,AD=2BC=4,ADBC,ABy,AB=2,AD=2BC=4,ADBC,ABy轴轴,ADx,ADx轴轴,则原四边形的面积为则原四边形的面积为()A.4 A.4 B.8 B.8 C.12C.12D.10D.1033【思路导引【思路导引】先按照已知数据还原出原图形先按照已知数据还原出原图形,再求面积再求面积.【解析【解析】选选C.C.画出四边形画出四边形ABCDABCD的原图形的原图形,如图所示如图所示,由直观图中由直观图中,AB=2,AD=2BC=4,AD,AB=2,AD=2BC=4,ADBC,BC,则原四边形则原四边形A AB BC CD D为直
17、角梯形为直角梯形,且且A AB B=2AB=4,A=2AB=4,AD D=2B=2BC C=4,=4,所以原图形的面积为所以原图形的面积为S=S=(A(AD D+B+BC C)A AB B=(4+2)(4+2)4=12.4=12.1212【变式探究【变式探究】将本例中的直观图变为如图的正方形将本例中的直观图变为如图的正方形ABCD,ABCD,边长为边长为1,1,试求出原图形的试求出原图形的面积面积.【解析【解析】依题意得依题意得,直观图直观图A AB BC CD D的面积的面积S S直直=1,=1,设原图形面积为设原图形面积为S S原原,则则 所以所以 ,所以所以S S原原=2 .=2 .S2
18、S4直原，12S4原2角度角度2 2计算直观图中的量计算直观图中的量【典例【典例】(2020(2020衢州高一检测衢州高一检测)已知正三角形已知正三角形ABCABC的边长为的边长为2,2,那么那么ABCABC的直观的直观图图ABCABC的面积为的面积为()【思路导引【思路导引】根据原图与直观图中横、纵线段的比例关系求值根据原图与直观图中横、纵线段的比例关系求值.366A.3 B.C.D.224【解析【解析】选选D.D.如图所示如图所示,直观图直观图A AB BC C的高为的高为h=Ch=CD Dsinsin 45 45=CDsin CDsin 45 45=2 2sin 60sin 60sin
19、45sin 45=,=,底边长底边长A AB B=AB=2,=AB=2,所以所以A AB BC C的面积为的面积为:S=A:S=AB Bhh=2 2 =.=.12126412126464【解题策略【解题策略】1.1.直观图的还原技巧直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与由直观图还原为平面图的关键是找与xx轴、轴、yy轴平行的直线或线段轴平行的直线或线段,且平行且平行于于xx轴的线段还原时长度不变轴的线段还原时长度不变,平行于平行于yy轴的线段还原时放大为直观图中相应轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的线段长的2 2倍倍,由此确定图形的各个顶点由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可顺
20、次连接即可.2.2.直观图与原图形面积之间的关系直观图与原图形面积之间的关系若一个平面多边形的面积为若一个平面多边形的面积为S,S,其直观图的面积为其直观图的面积为S,S,则有则有S=SS=S或或S=2 S.S=2 S.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.242【题组训练【题组训练】1.(20201.(2020厦门高一检测厦门高一检测)用斜二测画法表示水平放置的用斜二测画法表示水平放置的ABCABC的直观图的直观图,得到如得到如图所示的等腰直角图所示的等腰直角ABC.ABC.若点若点OO是斜边是斜
21、边BCBC的中点的中点,且且AO=1,AO=1,则则原图形原图形ABCABC中中BCBC边上的高为边上的高为()A.1A.1B.2B.2C.C.D.2D.2 22【解析【解析】选选D.D.由直观图是等腰直角由直观图是等腰直角A AB BC C,B BA AC C=90=90,A,AO O=1,=1,所以所以A AB B=;=;根据直观图平行于根据直观图平行于y y轴的长度变为原来的一半轴的长度变为原来的一半,如图所示如图所示,所以所以ABCABC的高为的高为AB=2AAB=2AB B=2 .=2 .222.(20202.(2020南昌高一检测南昌高一检测)如图所示如图所示,四边形四边形ABCD
22、ABCD是一个梯形是一个梯形,CDAB,CD=BO=,CDAB,CD=BO=1,1,AODAOD为等腰直角三角形为等腰直角三角形,O,O为为ABAB的中点的中点,试求梯形试求梯形ABCDABCD水平放置的直观图的面水平放置的直观图的面积积.【解析【解析】在梯形在梯形ABCDABCD中中,AB=2,AB=2,高高OD=1,OD=1,梯形梯形ABCDABCD水平放置的直观图仍为梯形水平放置的直观图仍为梯形,且且上底上底CDCD和下底和下底ABAB的长度都不变的长度都不变,如图所示如图所示,在直观图中在直观图中,O,OD D=OD,=OD,梯形的高为梯形的高为D DE E=,=,于是梯形于是梯形A
23、AB BC CD D的面的面12122 264=64.64=64.积为积为S=S=答案答案:1224123 212.248（）3 28立立体体图图形形的的直直观观图图核心核心知识知识方法方法总结总结核心核心素养素养易错易错提醒提醒1.1.水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：画轴画轴取点取点连线成图连线成图2.2.空间几何体直观图斜二测画法步骤：空间几何体直观图斜二测画法步骤：画轴画轴画底面画底面画侧棱画侧棱连线成图连线成图在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般
24、要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点原图中不平行于坐使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段(1)(1)作直观图时平行于作直观图时平行于x x轴的线段画成平行于轴的线段画成平行于xx轴的线段并且长度不变轴的线段并且长度不变(2)(2)平行于平行于y y轴的线段画成平行于轴的线段画成平行于yy轴的线段，且长度画成原来的一半轴的线段，且长度画成原来的一半(3)(3)平行于平行于z z轴的线段画成平行于轴的线段画成平行于zz轴的线段并且长度不变轴的线段
25、并且长度不变1.1.数学抽象：斜二测画法的理解；数学抽象：斜二测画法的理解；2.2.数学运算：与直观图还原的有关计算；数学运算：与直观图还原的有关计算；3.3.数学建模：画平面几何和空间几何体的直观图数学建模：画平面几何和空间几何体的直观图.课堂检测课堂检测素养达标素养达标1.1.对于用斜二测画法所得的直观图对于用斜二测画法所得的直观图,以下说法正确的是以下说法正确的是()A.A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.B.正方形的直观图为平行四边形正方形的直观图为平行四边形C.C.相等的角在直观图中仍相等相等的角在直观图中仍相等D.D.正三角形的直观图一定为等腰三
26、角形正三角形的直观图一定为等腰三角形【解析【解析】选选B.B.根据斜二测画法的要求知根据斜二测画法的要求知,正方形的直观图为平行四边形正方形的直观图为平行四边形.2.2.利用斜二测画法画出边长为利用斜二测画法画出边长为3 cm3 cm的正方形的直观图的正方形的直观图,正确的是图中的正确的是图中的()【解析【解析】选选C.C.正方形的直观图应是平行四边形正方形的直观图应是平行四边形,且相邻两边的边长之比为且相邻两边的边长之比为21.21.3.(3.(教材二次开发教材二次开发:复习巩固改编复习巩固改编)如图所示的是水平放置的三角形直观图如图所示的是水平放置的三角形直观图,D,D是是ABCABC中中
27、BCBC边上的一点边上的一点,且且DD离离BB比离比离CC近近,又又ADyADy轴轴,那么原那么原ABCABC的边的边AB,AD,ACAB,AD,AC中中()A.A.最长的是最长的是AB,AB,最短的是最短的是ACACB.B.最长的是最长的是AC,AC,最短的是最短的是ADADC.C.最长的是最长的是AD,AD,最短的是最短的是ACACD.D.最长的是最长的是AB,AB,最短的是最短的是ADAD【解析【解析】选选B.B.由题意得到原由题意得到原ABCABC的平面图中的平面图中,ADADBC,BDDC,BC,BDABAD,ACABAD,所以所以ABCABC的边的边AB,AC,ADAB,AC,AD
28、中最长的是中最长的是AC,AC,最短的是最短的是AD.AD.4.4.如图所示为一个平面图形的直观图如图所示为一个平面图形的直观图,则它的原四边形则它的原四边形ABCDABCD的形状为的形状为.【解析【解析】因为因为DAB=45DAB=45,由斜二测画法规则知由斜二测画法规则知DAB=90DAB=90,又因为四边又因为四边形形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形,且且AB=2BC,AB=2BC,所以所以AB=BC,AB=BC,所以原四边形所以原四边形ABCDABCD为正方形为正方形.答案答案:正方形正方形5.5.已知两个圆锥已知两个圆锥,底面重合在一起底面重合在一起(底面平行于水平面底面平行于水平面),),其中一个圆锥顶点到底其中一个圆锥顶点到底面的距离为面的距离为2 cm,2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,3 cm,则其直观图中这两个顶则其直观图中这两个顶点之间的距离为点之间的距离为cm.cm.【解析【解析】由空间直观图的画法知由空间直观图的画法知,在在z z轴上或平行于轴上或平行于z z轴的线段长度保持不变轴的线段长度保持不变,所所以两顶点间的距离为以两顶点间的距离为2+3=5(cm).2+3=5(cm).答案答案:5 5
