1、10.2事件的相互独立性 1.结合有限样本空间,了解两个随机事件相互独立的含义.2.结合古典概型,利用独立性计算概率.3.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.相互独立的定义 对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立 ,简称为独立.相互独立的性质条件A与B是相互独立事件结论也相互独立 相互独立事件同时发生的概率公式 设两个相互独立事件A,B,它们同时发生的概率为 P(AB)=P(A)P(B).1.不可能事件与任何一个事件相互独立.()2.必然事件与任何一个事件相互独立.()3.“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A,B相互
2、独立”的充要条件.()4.一枚硬币掷两次,A=“有正面向上,也有反面向上”,B=“最多一次反面向下”,则A,B相互独立.()判断正误，正确的画“”，错误的画“”.提示：一枚硬币掷两次的样本点为(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),这时A=(正,反),(反,正),B=(正,正),(正,反),(反,正),AB=(正,反),(反,正),于是P(A)=,P(B)=,P(AB)=.由此可知P(AB)P(A)P(B),所以事件A,B不相互独立.判断事件的独立性 甲箱里装有3个白球、2个黑球,乙箱里装有2个白球、2个黑球.从这两个箱子里分别摸出1个球,记事件A为“从甲箱里摸出白球”,事件B为“从乙
3、箱里摸出白球”.1.事件A发生与否影响事件B发生的概率吗?提示:不影响.2.P(A),P(B),P(AB)的值分别为多少?提示:P(A)=,P(B)=,P(AB)=.3.P(AB)与P(A),P(B)有什么关系?事件A与事件B是否相互独立?提示:P(AB)=P(A)P(B).由独立性的定义知,事件A与事件B相互独立.判断两个事件是否相互独立的方法 1.直接法:直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.2.定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.3.转化法:由判断事件A与事件B是否相互独立,转化为判断A与,与B,与是否具有独立性.判断下列各对事件是不是相互独立事件.(1)甲组
4、有3名男生、2名女生,乙组有2名男生、3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;(2)容器内装有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的是白球”.思路点拨(1)由一个事件的发生与否是否影响另一事件发生的概率直接判断.(2)中两事件的独立性不能直接判断,可用定义判断.解析 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件发生与否不影响乙组中的试验结果,因此对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.(2)“从8个球中任意取出1个,不放回再取一球
5、”,画树状图得相关事件的样本点数.设“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”为事件A,“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的是白球”为事件B,则P(A)=,P(B)=,P(AB)=,故P(AB)P(A)P(B),所以两者不是相互独立事件.利用事件的独立性求复杂事件的概率 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为,;两人租车时
6、间都不会超过四小时.1.设A1=“甲不超过两小时还车”,A2=“甲两小时以上且不超过三小时还车”,A3=“甲租车时间三小时以上且不超过四小时”,写出事件A1,A2,A3的概率.提示:依题意得,P(A1)=,P(A2)=,且=A1+A2,因此1-P(A3)=P(A1)+P(A2)=+=,所以P(A3)=.2.设B1=“乙不超过两小时还车”,B2=“乙两小时以上且不超过三小时还车”,B3=“乙租车时间三小时以上且不超过四小时”,写出事件B1,B2,B3的概率.提示:依题意得,P(B1)=,P(B2)=,且=B1+B2,因此1-P(B3)=P(B1)+P(B2)=+=,所以P(B3)=.3.如何利用
7、已知事件的概率求甲、乙两人都不超过两小时还车的概率.提示:设“甲、乙两人都不超过两小时还车”为事件A,则A=A1B1,且A1,B1相互独立,因此P(A)=P(A1)P(B1)=.由简单事件通过运算得到复杂事件,进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率.解题时要注意:1.对事件进行分解,一方面分解为互斥的几类简单事件求概率;另一方面分解为独立的几步,利用事件同时发生(乘法)求出概率.2.对事件分解时,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.已知两个事件A,B,那么:(1)A,B中至少有一个发生为事件A+B.(2)A,B都发
8、生为事件AB.(3)A,B都不发生为事件 .(4)A,B恰有一个发生为事件A+B.(5)A,B中至多有一个发生为事件A +B+.甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和 ,求:(1)两个人都译不出密码的概率;(2)恰有1个人译出密码的概率;(3)至多1个人译出密码的概率.思路点拨首先判定事件是相互独立的,然后利用相互独立事件的性质,互斥事件、对立事件的概率公式计算.解析 记“甲独立地译出密码”为事件A,“乙独立地译出密码”为事件B,A,B为相互独立事件,且P(A)=,P(B)=.(1)两个人都译不出密码的概率为P()=P()P()=1-P(A)1-P(B)=.(2)恰有1个人译出密码包括甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出,且两个事件为互斥事件,所以恰有1个人译出密码的概率为P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=+=.(3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”,所以至多1个人译出密码的概率为1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-=.
