1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第六节 正弦定理和余弦定理 考纲传真 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 (对应学生用书第 50 页 ) 基础知识填充 1正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 公式 asin Absin Bcsin C 2R.(R 为 ABC 外接圆半径 ) a2 b2 c2 2bccos _A； b2 c2 a2 2cacos _B； c2 a2 b2 2abcos _C 公式 变形 (1)a 2Rsin A， b 2Rsin B， c 2Rsin C； (2)a b c sin A sin B sin C； (3)sin A a2R， sin
2、 B b2R， sin C c2R cos A b2 c2 a22bc ； cos B c2 a2 b22ca ； cos C a2 b2 c22ab 2. 在 ABC 中，已知 a、 b 和 A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a bsin A bsin A a b a b a b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3. 三角形常用面积公式 (1)S 12a ha(ha表示边 a 上的高 )； (2)S 12absin C 12acsin B 12bcsin A (3)S 12r(a b c)(r 为内切圆半径 ) 知识拓展 1三角形内角和定理 在 ABC 中
3、， A B C ； =【 ;精品教育资源文库 】 = 变形： A B2 2 C2. 2三角形中的三角函数关系 (1)sin(A B) sin C； (2)cos(A B) cos C； (2)sinA B2 cos C2； (4)cosA B2 sin C2. 3 在 ABC 中 ， sin A sin B?A B?a b cosA cos B?A B?a b 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)在 ABC 中，若 A B，则必有 sin A sin B ( ) (2)在 ABC 中，若 b2 c2 a2，则 ABC 为锐角三角形 (
4、 ) (3)在 ABC 中，若 A 60 ， a 4 3， b 4 2，则 B 45 或 135.( ) (4)在 ABC 中， asin A a b csin A sin B sin C.( ) 解析 (1)正确 A B?a b?sin A sin B (2)错误由 cos A b2 c2 a22bc 0 知， A 为锐角，但 ABC 不一定是锐角三角形 (3)错误由 b a 知， B A (4)正确利用 a 2Rsin A， b 2Rsin B， c 2Rsin C，可知结论正确 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )在 ABC 中，若 sin2A sin2B sin2C
5、，则 ABC 的形状是 ( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定 C 由正弦定理，得 a2R sin A， b2R sin B， c2R sin C，代入得到 a2 b2 c2，由余弦定理得 cos C a2 b2 c22ab 0，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形 3 (2016 全国卷 ) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 a 5， c 2， cos A 23，则 b ( ) A 2 B 3 C 2 D 3 D 由余弦定理得 5 b2 4 2 b2 23， =【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 b 3 或 b 13(舍去 )，
6、故选 D 4 (2017 全国卷 ) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， C 已知 C 60 ， b 6，c 3，则 A _. 75 如图，由正弦定理，得 3sin 60 6sin B， sin B 22 . 又 cb， B 45 ， A 180 60 45 75. 5在 ABC 中， A 60 ， AC 4， BC 2 3，则 ABC 的面积等于 _. 【导学号： 00090109】 2 3 由题意及余弦定理得 cos A b2 c2 a22bc c2 16 1224 c 12，解得 c 2，所以 S12bcsin A 1242sin 60 2 3. (对应学生用书第
7、51 页 ) 利用正、余弦定理解三角形 (1)(2017 全国 卷 ) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， C 已知 sin Bsin A(sin C cos C) 0， a 2， c 2，则 C ( ) A 12 B 6 C 4 D 3 (2)在 ABC 中， BAC 34 ， AB 6， AC 3 2，点 D 在 BC 边上， AD BD，求 AD 的长 B (1)因为 a 2， c 2， 所以由正弦定理 可知， 2sin A 2sin C， 故 sin A 2sin C 又 B (A C)， 故 sin B sin A(sin C cos C) sin(A C) s
8、in Asin C sin Acos C =【 ;精品教育资源文库 】 = sin Acos C cos Asin C sin Asin C sin Acos C (sin A cos A)sin C 0. 又 C 为 ABC 的内角， 故 sin C0 ， 则 sin A cos A 0，即 tan A 1. 又 A (0， ) ，所以 A 34 . 从而 sin C 12sin A 22 22 12. 由 A 34 知 C 为锐角，故 C 6. 故选 B (2)设 ABC 的内角 BAC， B， C 所对边的长分别是 a， b， c， 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos BAC
9、(3 2)2 62 23 26cos 34 18 36 ( 36) 90， 所以 a 3 10. 又由正弦定理得 sin B bsin BACa 33 10 1010 ， 由题设知 0 B 4 ， 所以 cos B 1 sin 2B 1 110 3 1010 . 在 ABD 中，因为 AD BD，所以 ABD BAD， 所以 ADB 2B， 故由正弦定理得 AD ABsin B 2B 6sin B2sin Bcos B 3cos B 10. 规律方法 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的 2 (1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用
10、 (2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两 解，注意 “ 大边对大角 ” 在判定中的应用 变式训练 1 (1)(2017 郑州模拟 )已知 a， b， c 分别为 ABC 三个内角 A， B， C 的对边， 且 (b c)(sin B sin C) (a 3c)sin A，则角 B 的大小为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 30 B 45 C 60 D 120 (2)(2016 全国卷 ) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 cos A 45， cos C 513， a 1，则
11、 b _. (1)A (2)2113 (1)由正弦定理 asin A bsin B csin C及 (b c)(sin B sin C) (a3c)sin A 得 (b c)(b c) (a 3c)a，即 b2 c2 a2 3ac， a2 c2 b2 3aC 又 cos B a2 c2 b22ac ， cos B32 ， B 30. (2)在 ABC 中， cos A 45， cos C 513， sin A 35， sin C 1213， sin B sin(A C) sin Acos C cos Asin C 35 513 45 1213 6365. 又 asin A bsin B， b
12、asin Bsin A 1 636535 2113. 判断三角形的形状 (1)(2017 东北三省四市二联 )在 ABC 中， a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，满足 acos A bcos B，则 ABC 的形状为 ( ) 【导学号： 00090110】 A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 (2)(2018 广州模拟 )在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 b2 c2 a2bc，若 sin Bsin C sin2A，则 ABC 的形状是 ( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形
13、(1)D (2)C (1)因为 acos A bcos B，由正弦定理得 sin Acos A sin Bcos B，即 sin 2A sin 2B，所以 2A 2B 或 2A 2B ，即 A B 或 A B 2 ，所以 ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选 D =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由 b2 c2 a2 bc 得 cos A b2 c2 a22bc bc2bc12. A (0， ) ， A 3. 由 sin Bsin C sin2A 得 bc a2，代入 b2 c2 a2 bc 得 (b c)2 0，即 b c，从而 ABC 是等边三角形 规律方法 1.判定三角形形状的途
14、径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系 (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正 (余 )弦定理是转化的桥梁 2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形 状的可能 变式训练 2 设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 2sin Acos B sin C，那么 ABC 一定是 ( ) A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 B 法一：由已知得 2sin Acos B sin C sin(A B) sin Acos B cos Asin B，即 sin(A B) 0，因为 A B ，所以 A
15、 B 法二：由正弦定理得 2acos B c，再由余弦定理得 2a a2 c2 b22ac c?a2 b2?a B 与三角形面积有关的问题 (2015 全国卷 )已知 a， b， c 分别为 ABC 内角 A， B， C 的对边， sin2B 2sin Asin C (1)若 a b，求 cos B； (2)设 B 90 ，且 a 2，求 ABC 的面积 解 (1)由题设及正弦定理可得 b2 2aC 2 分 又 a b，可得 b 2c， a 2C 由余弦定理可得 cos B a2 c2 b22ac 14. 5 分 (2)由 (1)知 b2 2aC 7 分 因为 B 90 ，由勾股定理得 a2 c2 b2， 故 a2 c2 2ac，进而可得 c a 2. 9 分 所以 ABC 的面积为 12 2 2 1. 12 分 规律方法 三角形面积公式的应用方法： (1)对于面积公式 S 12absin C 12acsin B 12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一=【 ;精品教育资源文库 】 = 个公式 (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行 边和角的转化 变式训练 3 (2016 全国卷 ) AB
