1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第一节 数列的概念与简单表示法 考纲传真 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法 (列表、图像、通项公式 ).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 (对应学生用书第 67 页 ) 基础知识填充 1数列的定义 按照 一定顺序 排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 项 从函数观点看，数列可以看成以正整数集 N (或它的有限子集 )为 定义域 的函数 an f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 2数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数 有限 无穷数列 项数 无限 单调性 递增数列 an 1an
2、其中 n N* 递减数列 an 1an 常数列 an 1 an 摆动数列 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 列表法 、 图像法 和 通项公式法 4数列的通项公式 如果数列 an的第 n 项 an与 n 之间的函数关系可以用一个式子 an f(n)来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 5数列的递推公式 如果已知数列的第 1项 (或前几项 )，且从第二项 (或某一项 )开始的任一项 an 与它的前一项 an 1(或前几项 )间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 6 an与 Sn的关系
3、若数列 an的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an， 则 an? S1， n ，Sn Sn 1， n 知识拓展 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1数列 an是递增数列 ?an 1 an恒成立 2数列 an是递减数列 ?an 1 an恒成立 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错 误的打 “”) (1)所有数列的第 n 项都能使用公式表达 ( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个 ( ) (3)如果数列 an的前 n 项和为 Sn，则对任意 n N*，都有 an 1 Sn 1 Sn.( ) (4)若已知数列 an的递推公式为 an 1
4、 12an 1，且 a2 1，则可以写出数列 an的任何一项 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2设数列 an的前 n 项和 Sn n2，则 a8的值为 ( ) A 15 B 16 C 49 D 64 A 当 n 8时， a8 S8 S7 82 72 15. 3把 1,3,6,10,15,21， ? 这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形 (如图 511) 图 511 则第 7个三角形数是 ( ) 【导学号： 00090153】 A 27 B 28 C 29 D 30 B 由题图可知，第 7个三角形数是 1 2 3 4 5 6 7 28. 4 (教材改编 )
5、数列 1， 23， 35， 47， 59， ? 的一个通项公式 an是 _ n2n 1 由已知得，数列可写成 11， 23， 35， ? ，故通项为 n2n 1. 5 (2018 张掖模拟 )数列 an满足 an 1 11 an， a8 2，则 a1 _. 12 由 an 1 11 an，得 an 1 1an 1， a8 2， a7 1 12 12， =【 ;精品教育资源文库 】 = a6 1 1a7 1， a5 1 1a6 2， ? ， an是以 3为周期的数列， a1 a7 12. (对应学生用书第 68 页 ) 由数列的前几项归纳数列的通项公式 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,
6、5,7,9， ? ； (2)12， 34， 78， 1516， 3132， ? ； (3)3,33,333,3 333， ?. (4) 1,1， 2,2， 3,3? 解 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an 2n 1. (2)数列中各项的符号可通过 ( 1)n 1表示每一项绝对值的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23,24， ? ， 所以 an 2n 12n . (3)将数列各项改写为 93， 993 ， 9993 ， 9 9993 ， ? ，分母都 是 3，而分子分别是 10 1,1021,103 1,104 1， ? ， 所以 an 13(10n 1) (4)数列的奇数
7、项为 1， 2， 3， ? 可用 n 12 表示 数列的偶数项为 1,2,3， ? 可用 n2表示 因此 an? n 12 n为奇数，n2 n为偶数 .规律方法 1.求数列通项时，要抓住以下几个特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征； (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来对于正负符号变化，可用 ( 1)n或 ( 1)n 1来调整，可代入验证归纳的正确性 变式训练 1 (1)数列 0， 23， 45， 67，
8、 ? 的一个通项公式为 ( ) 【导学号： 00090154】 A an n 1n 1(n N*) B an n 12n 1(n N*) C an n2n 1 (n N*) D an 2n2n 1(n N*) (2)数列 an的前 4 项是 32， 1， 710， 917，则这个数列的一个通项公式是 an _. (1)C (2)2n 1n2 1 (1)注意到分子 0,2,4,6 都是偶数，对照选项排除即可 (2)数列 an的前 4 项可变形为 21 112 1 ， 22 122 1 ， 23 132 1 ， 24 142 1 ，故 an 2n 1n2 1. 由 an与 Sn的关系求通项 an
9、(1)若数列 an的前 n 项和 Sn 3n2 2n 1，则数列 an的通项公式 an _. (2)若数列 an的前 n 项和 Sn 23an 13，则 an的通项公式 an _. (1)? 2， n 1，6n 5， n2. (2)( 2)n 1 (1)当 n 1 时， a1 S1 312 21 1 2； 当 n2 时， an Sn Sn 1 3n2 2n 1 3(n 1)2 2(n 1) 1 6n 5，显然当 n 1 时，不满足上式 故数列的通项公式为 an? 2， n 1，6n 5， n2. (2)由 Sn 23an 13，得当 n2 时， Sn 1 23an 1 13， 两式相减，得 a
10、n 23an 23an 1， 当 n2 时， an 2an 1，即 anan 1 2. 又 n 1 时， S1 a1 23a1 13， a1 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = an ( 2)n 1. 规律方法 由 Sn求 an的步骤 (1)先利用 a1 S1求出 a1； (2)用 n 1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，利用 an Sn Sn 1(n2) 便可求出当 n2时 an的表达式； (3)对 n 1 时的结果进行检验，看是否符合 n2 时 an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段函数的形式 易错警示： 利用 an Sn Sn 1求通项时，
11、应注意 n2 这一前提条件，易忽视验证 n 1 致误 变式训练 2 (1)(2018 河南八校联考 )在数列 an中， Sn是其前 n 项和，且 Sn 2an 1，则数列的通项公式 an _. (2)已知数列 an的前 n 项和 Sn 3n 1，则数列的通项公式 an _. 【导学号： 00090156】 (1) 2n 1 (2)? 4， n 1，23 n 1， n2 (1)依题意得 Sn 1 2an 1 1， Sn 2an 1，两式相减得 Sn 1 Sn 2an 1 2an，即 an 1 2an，又 S1 2a1 1 a1，因此 a1 1，所以数列 an是以 a1 1 为首项、 2 为公比的
12、等比数列， an 2n 1. (2)当 n 1 时， a1 S1 3 1 4， 当 n2 时， an Sn Sn 1 3n 1 3n 1 1 23 n 1. 显然当 n 1 时，不满足上式 an? 4， n 1，23 n 1， n2. 由递推公式求数列的通项公式 根据下列条件，确定数列 an的通项公式： (1)a1 2， an 1 an 3n 2； (2)a1 1， an 1 2nan； (3)a1 1， an 1 3an 2. 【导学号： 00090157】 解 (1) an 1 an 3n 2， an an 1 3n 1(n2) ， an (an an 1) (an 1 an 2) ? (
13、a2 a1) a1 n n2 (n2) 当 n 1 时， a1 12(31 1) 2 符合公式， =【 ;精品教育资源文库 】 = an 32n2 n2. (2) an 1 2nan， anan 1 2n 1(n2) ， an anan 1 an 1an 2? a2a1 a1 2n 12 n 2? 21 21 2 3 ? (n 1) 2n n 12 . 又 a1 1 适合上式 ， 故 an 2n n 12 . (3) an 1 3an 2， an 1 1 3(an 1)， 又 a1 1， a1 1 2， 故数列 an 1是首项为 2，公比为 3 的等比数列， an 1 23 n 1，因此 an
14、 23 n 1 1. 规律方法 1.已知 a1，且 an an 1 f(n)，可用 “ 累加法 ” 求 an；已知 a1(a10) ，且 anan 1 f(n)，可用 “ 累乘法 ” 求 an. 2已知 a1，且 an 1 qan b，则 an 1 k q(an k)(其中 k 可由待定系数法确定 )，可转化为 an k为等比数列 易错警示： 本题 (1)， (2)中常见的错误是忽视验证 a1是否适合所求式， (3)中常见错误是忽视判定首项是否为零 变式训练 3 根据下列条件，求数列 an的通项公式 (1)a1 1， an 1 an 2n； (2)a1 12， an n 1n 1an 1(n2
15、) (3)a1 1， an 1 2an 3. 解 (1)由题意知 an 1 an 2n， an (an an 1) (an 1 an 2) ? (a2 a1) a1 2n 1 2n 2 ? 2 1 1 2n1 2 2n 1. (2)因为 an n 1n 1an 1(n2) ， 所以当 n2 时， anan 1 n 1n 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 anan 1 n 1n 1， an 1an 2 n 2n ， ? ， a3a2 24， a2a1 13， 以上 n 1 个式子相乘得 anan 1 an 1an 2? a3a2 a2a1 n 1n 1 n 2n ? 24 13， 即 ana1 1n 1×
