1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 数列求和 考纲传真 1.掌握等差、等比数列的前 n 项和公式 .2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法 (对应学生用书第 74 页 ) 基础知识填充 1公式法 (1)等差数列的前 n 项和公式： Sn n a1 an2 na1 n n2 d； (2)等比数列的前 n 项和公式： Sn? na1， q 1，a1 anq1 q a1 qn1 q ， q1.2分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解 3裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和 (2)裂项时常用
2、的三种变形： 1n n k 1k? ?1n 1n k ； 14n2 1 1n n 12? ?12n 1 12n 1 ； 1n n 1 n 1 n. 4错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前 n 项和可用错位相减法求解 5倒序相加法 如果一个数列 an的前 n项中与首末两端等 “ 距离 ” 的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解 6并项求和法 一个 数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an ( 1)nf(n)类型，可采用两项合并求解 =【 ;精品教育资源文库 】 = 例如， S
3、n 1002 992 982 972 ? 22 12 (100 99) (98 97) ? (2 1) 5 050. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)如果数列 an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sn a1 an 11 q .( ) (2)当 n2 时， 1n2 1 12? ?1n 1 1n 1 .( ) (3)求 Sn a 2a2 3a3 ? nan之和时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得 ( ) (4)如果数列 an是周期为 k(k 为大于 1 的正整数 )的周期数列，那么 Skm mSk.
4、( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )数列 an的前 n 项和为 Sn，若 an 1n n ，则 S5等于 ( ) A 1 B 56 C 16 D 130 B an 1n n 1n 1n 1， S5 a1 a2 ? a5 1 12 12 13 ? 16 56. 3 (2018 开封模拟 )已知等比数列 an中， a2 a8 4a5，等差数列 bn中， b4 b6 a5， 则数列 bn的前 9 项和 S9等于 ( ) 【导学号： 00090174】 A 9 B 18 C 36 D 72 B a2 a8 4a5，即 a25 4a5， a5 4， a5 b4 b6 2b5
5、4， b5 2， S9 9b5 18，故选 B 4若数列 an的通项公式为 an 2n 2n 1，则数列 an的前 n 项和 Sn _. 2n 1 2 n2 Sn 2n1 2 n 2n2 2n 1 2 n2. 5 32 1 42 2 52 3 ? (n 2)2 n _. 4 n 42n 设 S 3 12 4 122 5 123 ? (n 2) 12n， 则 12S 3 122 4 123 5 124 ? (n 2) 12n 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 两式相减得 12S 3 12 ? ?122 123 ? 12n n 22n 1 . S 3 ? ?12 122 ? 12n 1 n
6、22n 312?1?12n 11 12 n 22n 4 n 42n . (对应学生用书第 74 页 ) 分组转化求和 (2016 北京高考 )已知 an是等差数列， bn是等比数列，且 b2 3， b3 9， a1 b1，a14 b4. (1)求 an的通项公式； (2)设 cn an bn，求数列 cn的前 n 项和 解 (1)设等比数列 bn的公比为 q，则 q b3b2 93 3， 所以 b1 b2q 1， b4 b3q 27，所以 bn 3n 1(n 1,2,3， ?) 2 分 设等差数列 an的公差为 D 因为 a1 b1 1， a14 b4 27， 所以 1 13d 27，即 d
7、2. 所以 an 2n 1(n 1,2,3， ?). 5 分 (2)由 (1)知 an 2n 1， bn 3n 1. 因此 cn an bn 2n 1 3n 1. 7 分 从而数列 cn的前 n 项和 Sn 1 3 ? (2n 1) 1 3 ? 3n 1 n 2n2 1 3n1 3 n2 3n 12 . 12 分 规律方法 分组转化法求和的常见类型 (1)若 an bn cn，且 bn， cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求 an的前 n 项和 (2)通项公式为 an? bn， n为奇数，cn， n为偶数 的数列，其中数列 bn， cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和 易错警示
8、： 注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论 =【 ;精品教育资源文库 】 = 变式训练 1 (2016 浙江高考 )设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S2 4， an 1 2Sn 1， n N*. (1)求通项公式 an； (2)求数列 |an n 2|的前 n 项和 解 (1)由题意得? a1 a2 4，a2 2a1 1， 则 ? a1 1，a2 3. 2 分 又当 n2 时，由 an 1 an (2Sn 1) (2Sn 1 1) 2an，得 an 1 3an， 所以数列 an的通项公式为 an 3n 1， n N*. 5 分 (2)设 bn |3n 1 n 2|， n N*，则 b
9、1 2， b2 1. 当 n3 时，由于 3n 1n 2，故 bn 3n 1 n 2， n3. 8 分 设数列 bn的前 n 项和为 Tn，则 T1 2， T2 3， 当 n3 时， Tn 3 3n 21 3 n n2 3n n2 5n 112 ， 所以 Tn? 2， n 1，3n n2 5n 112 ， n2 ， n N*. 12 分 裂项相消法求和 (2018 郑州模拟 )若 An和 Bn分别表示数列 an和 bn的前 n项的和，对任意正整数 n，an 2(n 1)， 3An Bn 4n. (1)求数列 bn的通项公式； (2)记 cn 2An Bn，求 cn的前 n 项和 Sn. 解 (
10、1)由于 an 2(n 1)， an为等差数列，且 a1 4. 2 分 An n a1 an2 n 2n2 n2 3n， Bn 3An 4n 3(n2 3n) 4n 3n2 5n， 当 n 1 时 ， b1 B1 8， 当 n2 时 ， bn Bn Bn 1 3n2 5n 3(n 1)2 5(n 1) 6n 2.由于 b1 8 适合上式 ， bn 6n 2. 5 分 (2)由 (1)知 cn 2An Bn 24n2 8n 14? ?1n 1n 2 ， 7 分 Sn 14? ? ?11 13 ? ?12 14 ? ?13 15 =【 ;精品教育资源文库 】 = ? ?14 16 ? ? ?1n
11、1 1n 1 ? ?1n 1n 2 14? ?1 12 1n 1 1n 2 38 14? ?1n 1 1n 2 . 12 分 规律方法 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的 2消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 变式训练 2 (2017 全国卷 )设数列 an满足 a1 3a2 ? (2n 1)an 2n. (1)求 an的通项公式； (2)求数列 ? ?an2n 1 的前 n 项和 . 【导学号： 00090175】 解 (1)因为 a1 3a2
12、? (2n 1)an 2n，故当 n2 时， a1 3a2 ? (2n 3)an 1 2(n 1)， 2 分 两式相减得 (2n 1)an 2， 所以 an 22n 1(n2). 4 分 又由题设可得 a1 2，满足上式， 所以 an的通项公式为 an 22n 1. 6 分 (2)记 ? ?an2n 1 的前 n 项和为 Sn. 由 (1)知 an2n 1 2n n 12n 1 12n 1， 9 分 则 Sn 11 13 13 15 ? 12n 1 12n 1 2n2n 1. 12 分 错位相减法求和 (2016 山东高考 )已知数列 an的前 n 项和 Sn 3n2 8n， bn是等差数列，
13、且 anbn bn 1. (1)求数列 bn的通项公式； (2)令 cn ann 1bn n ，求数列 cn的前 n 项和 Tn. 解 (1)由题意知当 n2 时， an Sn Sn 1 6n 5. 当 n 1 时， a1 S1 11，符合上式 所以 an 6n 5. 2 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 设数列 bn的公差为 D 由? a1 b1 b2a2 b2 b3， 即 ? 11 2b1 d，17 2b1 3d， 解得? b1 4，d 3. 所以 bn 3n 1. 5 分 (2)由 (1)知 cn nn 1n n 3(n 1)2n 1. 7 分 又 Tn c1 c2 ? cn， 得
14、Tn 322 2 32 3 ? (n 1)2 n 1， 2Tn 322 3 32 4 ? (n 1)2 n 2， 9 分 两式作差，得 Tn 322 2 23 24 ? 2n 1 (n 1)2 n 2 3 ? ?4 4 1 2n1 2 n 1 2n 2 3n2 n 2， 所以 Tn 3n2 n 2. 12 分 规律方法 1.如果数列 an是等差数列， bn是等比数列，求数列 an bn的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 bn的公比，若 bn的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况讨论 2在书写 “ Sn” 与 “ qSn” 的 表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” ，即公比 q 的同次幂项相减，转化为等比数列求和 变式训练 3 (2017 天津高考 )已知 an为等差数列，前 n 项和为 Sn(n N*)， bn是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0， b2 b3 12， b3 a4 2a1， S11 11b4. (1)求 an和 bn的通项公式； (2)求数列 a2nbn的前 n 项和 (n N*) 解 (1)设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q. 由已知 b2 b3 12，得 b1(q q2) 12. 而 b1 2，
