1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 考纲传真 (教师用书独具 )1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 .2.能正确区分“ 类 ” 和 “ 步 ” ，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题 (对应学生用书第 169 页 ) 基础知识填充 1分类加法计数原理 完成一件事，可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1种方法，在第二类办法中有 m2种方法， ? ，在第 n 类办法中有 mn种方法那么，完成这件事共有 N m1 m2 ? mn种方法 (也称加法原理 ) 2分步乘法计数原理 完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可，做第 一步有 m1种方法，做
2、第二步有 m2种方法， ? ，做第 n 步有 mn种方法那么，完成这件事共有 N m1 m2? mn种方法 3分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种类它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中 的方法可以相同 ( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 ( ) (3)在
3、分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 ( ) (4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有 ( ) A 30 B 20 C 10 D 6 D 从 0,1,2,3,4,5 六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类： 取出的两数都是偶数，共有 3 种方法； 取出的两数都是奇数，共有 3 种方法，故由分类加法计数原理得共有 N 3 3 6 种 3书架的第 1 层放有 4 本不同的语文
4、书，第 2 层放有 5 本不同的数学书，第 3 层放有 6 本不同的体育书从第 1,2,3 层分别各取 1 本书，则不同的取法种数为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 3 B 15 C 21 D 120 D 由分步乘法计数原理知，从第 1,2,3层各取 1本书，不同的取法种数为 456 120.故选 D 4从集合 0,1,2,3,4,5,6中 任取两个互不相等的数 a， b组成复数 a bi，其中虚数有 ( ) A 30 个 B 42 个 C 36 个 D 35 个 C a bi 为虚数， b0 ，即 b 有 6 种取法， a 有 6 种取法， 由分步乘法计数原理知可以组成 66
5、36 个虚数 5如图 1011，从 A 城到 B 城有 3 条路；从 B 城到 D 城有 4 条路；从 A 城到 C 城有 4 条路；从 C 城到 D 城有 5 条路，则某旅客从 A 城到 D 城共有 _条不同的路线 图 1011 32 不同路线共有 34 45 32(条 ) (对应学生用书第 169 页 ) 分 类加法计数原理 (1)某位同学逛书店，发现有三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买的方案有_种 (2)满足 a， b 1,0,1,2，且关于 x 的方程 ax2 2x b 0 有实数解的有序数对(a， b)的个数为 _ (1)7 (2)13 (1)至少买其中一本的实质是买一本或买两
6、本或买三本，故分三类完成第一类：买一本有 3 种；第二类：买两本有 3 种；第三类：买三本有 1 种共有 3 3 1 7(种 )买法 (2) 当 a 0 时，有 x b2， b 1,0,1,2，有 4 种可能； 当 a0 时，则 4 4ab0 ， ab1 ， () 当 a 1 时， b 1,0,1,2，有 4 种可能； () 当 a 1 时， b 1,0,1，有 3 种可能； =【 ;精品教育资源文库 】 = () 当 a 2 时， b 1,0，有 2 种可能 所以有序数对 (a， b)共有 4 4 3 2 13 个 规律方法 应用分类加法计数原理应遵循的两原则 根据题目特点恰当选择一个分类标
7、准 . 分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类 即标准明确，不重不漏 跟踪训练 椭圆 x2my2n 1 的焦点在 x 轴上，且 m1,2,3,4,5 ， n1,2,3,4,5,6,7 ，则这样的椭圆的个数为 _. 【导学号： 79140337】 10 因为焦点在 x 轴上，所以 mn.以 m 的值为标准分类，可分为四类： 第一类， m 5 时，使 mn， n 有 4 种选择； 第二类， m 4 时，使 mn， n 有 3 种选择； 第三类， m 3 时，使 mn， n 有 2 种选择； 第四类， m 2 时，使 mn， n 有 1 种选择 由分类加法原理知，符合
8、条件的椭圆共有 4 3 2 1 10 个 分步乘法计 数原理 (1)(2016 全国卷 ) 如图 1012，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( ) 图 1012 A 24 B 18 C 12 D 9 (2)从 1,0,1,2 这四个数中选三个不同的数作为函数 f(x) ax2 bx c 的系数，则可组成 _个不同的二次函数，其中偶函数有 _个 (用数字作答 ) (1)B (2)18 6 (1)分两步，第一步，从 E F，有 6 条 可以选择的最短路径；第二步，从 F G，有 3 条可以选择
9、的最短路径由分步乘法计数原理可知有 63 18条可以选择的最短路程 (2)一个二次函数对应着 a， b， c(a0) 的一组取值， a 的取法有 3 种， b 的取法有 3=【 ;精品教育资源文库 】 = 种， c 的取法有 2 种，由分步乘法计数原理知共有 332 18(个 )二次函数若二次函数为偶函数，则 b 0，同上可知共有 32 6(个 )偶函数 规律方法 利用分步乘法计数原理应注意以下三点 要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的 . 各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都 完成才算完成这件事 . 对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定 . 跟踪训练 (1) (20
10、18 北京西城区二模 )大厦一层有 A， B， C， D 四部电梯， 3 人在一层乘坐电梯上楼，其中 2 人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有 _种 (用数字作答 ) (2)设集合 A 1,0,1， B 0,1,2,3，定义 A*B (x， y)|x A B， y A B，则 A*B 中元素的个数为 _ (1)36 (2)10 (1)从 3 人中选择两人同乘一部电梯有 C23 3 种选择，这两人乘坐的电梯有 4种选择，最后 1个乘坐的电梯有 3种选择，所以不同的乘坐方式有 343 36 种 (2)易知 A B 0,1， A B 1,0,1,2,3， 所以 x 有 2 种取法， y 有 5
11、种取法， 由分步乘法计数原理， A*B 的元素有 25 10 个 两个计数原理的综合应用 (1)(2018 郑州第二次质量预测 )将数字 “124467” 重新排列后得到不同的偶数个数为 ( ) A 72 B 120 C 192 D 240 (2)如图 1013 所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要 求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为 ( ) 图 1013 A 24 B 48 C 72 D 96 (1)D (2)C (1)个位数字是 2 或 6 时，不同的偶数个数为 C12 A552 120；个位数字=【 ;精品教育资源文库 】 = 是 4，不同的偶数
12、个数为 A55 120，则不同的偶数共有 120 120 240 个，故选 D (2)分两种情况： A， C 不同色，先涂 A 有 4 种， C 有 3 种， E 有 2 种， B， D 有 1 种，有 432 24(种 )涂法 A， C 同色，先涂 A 有 4 种， E 有 3 种， C 有 1 种， B， D 各有 2 种，有 4322 48(种 )涂法 故共有 24 48 72 种涂色方法 规律方法 与两个计数原理有关问题的解题策略 在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理 . 对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表
13、格，化抽象为直观 . 跟踪训练 (1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个 “ 正交线面对 ” 在一个正方体中，由两个顶点确定的 直线与含有四个顶点的平面构成的 “ 正交线面对 ” 的个数是 ( ) A 48 B 18 C 24 D 36 (2)(2017 杭州调研 )已知集合 M 1,2,3,4，集合 A， B 为集合 M 的非空子集，若对任意 x A， y B， xy 恒成立，则称 (A， B)为集合 M 的一个 “ 子集对 ” ，则集合M 的 “ 子集对 ” 共有 _个 . 【导学号： 79140338】 (1)D (2)17 (1)分类讨论：第一类，对于每一条棱，都可以与两个面构成 “ 正交线面对 ” ，这样的 “ 正交线面对 ” 有 212 24(个 )； 第二类，对于每一条面对 角线，都可以与一个对角面构成 “ 正交线面对 ” ，这样的“ 正交线面对 ” 有 12 个 所以正方体中 “ 正交线面对 ” 共有 24 12 36(个 ) (2)当 A 1时， B 有 23 1 种情况；当 A 2时， B 有 22 1 种情况；当 A 3时，B 有 1 种情况；当 A 1,2时， B 有 22 1 种情况；当 A 1,3， 2,3， 1,2,3时， B 均有 1 种情况， 所以满足题意的 “ 子集对 ” 共有 7 3 1 3 3 17(个 )
