1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (十一 ) 函数与方程 A 组 基础达标 一、选择题 1若函数 f(x) ax b 有一个零点是 2，那么函数 g(x) bx2 ax 的零点是 ( ) A 0,2 B 0， 12 C 0， 12 D 2， 12 C 由题意知 2a b 0，即 b 2a. 令 g(x) bx2 ax 0，得 x 0 或 x ab 12. 2已知函数 y f(x)的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 33 74 24.5 36.7 123.6 则函数 y f(x)在区间 1,6上的零点至少有 ( ) A 2 个
2、B 3 个 C 4 个 D 5 个 B 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数 f(x)在区间 (2,3)， (3,4)， (4,5)内均有零点，所以 y f(x)在 1,6上至少有 3 个零点故选 B. 3 (2017 广东揭阳一模 )曲线 y ? ?13x与 y x12的交点横坐标所在区间为 ( ) 【导学号： 79140063】 A.? ?0， 13 B.? ?13， 12 C.? ?12， 23 D.? ?23， 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 4已知三个函数 f(x) 2x x， g(x) x 2， h(x) log2x x 的零点依次为 a， b， c，则 ( ) A a
3、 b c B a c b C b a c D c a b B 由于 f( 1) 12 1 12 0， f(0) 1 0，且 f(x)为 R 上的增函数，故 f(x)2x x 的零点 a( 1,0) 因为 g(x)是 R 上的增函数， g(2) 0，所以 g(x)的零点 b 2. 因为 h? ?12 1 12 12 0， h(1) 1 0，且 h(x)为 (0， ) 上的增函数，所以h(x)的零点 c ? ?12， 1 ，因此 a c b. 5 (2018 合肥第一次质检 )从 2,2中随机选取一个实数 a，则函数 f(x) 4x a2 x 1 1 有零点的概率是 ( ) A.14 B.13 C
4、.12 D.23 A 函数 f(x)有零点，即 f(x) 4x 2a2 x 1 0 有解，则 2a 2x 12x2 ， a1 ，当且仅当 x 0 时，等号成立所求概率为 2 12 2 14，故选 A. 二、填空题 6已知关于 x 的方程 x2 mx 6 0 的一个根比 2 大，另一个根比 2 小，则实数 m 的取值范围是 _ ( ， 1) 设函数 f(x) x2 mx 6，则根据条件有 f(2) 0，即 4 2m 6 0，解得 m 1. 7函数 f(x)? x2 x 2， x0 ， 1 ln x， x 0 的零点所构成的集合为 _ 2， e 由 f(x) 0 得 ? x0 ，x2 x 2 0
5、或 ? x 0， 1 ln x 0， 解得 x 2 或 x e. 8若函数 f(x) |2x 2| b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是 _. 【导学号： 79140064】 =【 ;精品教育资源文库 】 = (0,2) 由 f(x) |2x 2| b 0 得 |2x 2| b. 在同一平面直角坐标系中画出 y |2x 2|与 y b 的图像，如图所示， 则当 0b2 时，两函数图像有两个交点，从而函数 f(x) |2x 2| b 有两个零点 三、解答题 9已知函数 f(x) x3 x2 x2 14.证明：存在 x0 ? ?0， 12 ，使 f(x0) x0. 证明 令 g(x) f(x)
6、 x. g(0) 14， g? ?12 f? ?12 12 18， g(0) g? ?12 0. 又函数 g(x)在 ? ?0， 12 上连续， 存在 x0 ? ?0， 12 ，使 g(x0) 0， 即 f(x0) x0. 10设函数 f(x) ? ?1 1x (x 0) (1)作出函数 f(x)的图像； (2)当 0 a b，且 f(a) f(b)时，求 1a 1b的值； (3)若方程 f(x) m 有两个不相等的正根，求 m 的取值范围 解 (1)如图所示 (2)因为 f(x) ? ?11x 故 f(x)在 (0,1上是减函数，而在 (1， ) 上是增函数，由 0 a b 且 f(a) f
7、(b)，=【 ;精品教育资源文库 】 = 得 0 a 1 b，且 1a 1 1 1b，所以 1a 1b 2. (3)由函数 f(x)的图像可知，当 0 m 1 时，方程 f(x) m 有两个不相等的正根 B 组 能力提升 11已知 f(x)是奇函数且是 R 上的单调函数，若函数 y f(2x2 1) f( x)只有一个零点，则实数 的值是 ( ) A.14 B.18 C 78 D 38 C 令 y f(2x2 1) f( x) 0，则 f(2x2 1) f( x) f(x )，因为 f(x)是 R 上的单调函数，所以 2x2 1 x 只有一个实根，即 2x2 x 1 0 只有一个实根，则 1
8、8(1 ) 0，解得 78.故选 C. 12 (2018 杭州质检 )设方程 x ln(ax)(a0 ， e 为自然对数的底数 )，则 ( ) A当 a 0 时，方程没有实数 根 B当 0 a e 时，方程有一个实数根 C当 a e 时，方程有三个实数根 D当 a e 时，方程有两个实数根 D 由 x ln(ax)得 ex ax，则函数 y ex， y ax 图像的交点个数是原方程根的个数当 a 0 时，在第二象限有一个根， A 错误；设过原点的直线与 y ex相切的切点坐标为 (x0， ex0)，则 ex0 ex0x0 ， x0 1，则切线斜率为 e，所以当 0 a e 时，方程无根；当 a
9、 e 时，方程有一个实数根；当 a e 时，方程有两个实数根， D 正确，故选D. 13已知函数 f(x)? log2(x 1)， x 0， x2 2x， x0 ， 若函数 g(x) f(x) m 有 3 个零点，则实数 m的取值范围是 _ (0,1) 函数 g(x) f(x) m 有 3 个零点，转化为 f(x) m 0 的根有 3 个，进而转化为 y f(x)， y m 的交点有 3 个画出函数 y f(x)的图像，则直线 y m 与其有 3个公共点又抛物线顶点为 ( 1,1)，由图可知实数 m 的取值范围是 (0,1) 14 已知二次函数 f(x)的最小值为 4，且关于 x 的不等式 f
10、(x)0 的解集为 x| 1 x3 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = x R (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 g(x) f(x)x 4ln x 的零点个数 . 【导学号： 79140065】 解 (1) f(x)是二次函数，且关于 x 的不等式 f(x)0 的解集为 x| 1 x3 ，x R， f(x) a(x 1)(x 3) ax2 2ax 3a，且 a 0. f(x)min f(1) 4a 4， a 1.故函数 f(x)的解析式为 f(x) x2 2x 3. (2) g(x) x2 2x 3x 4ln x x3x 4ln x 2(x 0)， g( x) 13x24x(x 1)(x 3)x2 . 令 g( x) 0，得 x1 1， x2 3. 当 x 变化时， g( x)， g(x)的取值变化情况如下： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3， ) g( x) 0 0 g(x) 极大值 极小值 所以当 0 x3 时， g(x) g(1) 4 0. 又因为 g(x)在 (3， ) 上单调递增，且 g(3) 0， g(e3) 0，所以 g(x)在 (3， )上只有 1 个零点故 g(x)在 (0， ) 上仅有 1 个零点
