1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (十二 ) 实际问题的函数建模 A 组 基础达标 (建议用时： 30 分钟 ) 一、选择题 1 (2018 福州模拟 )在某个物理试验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y 0.99 0.01 0.98 2.00 则对 x， y 最适合的拟合函数是 ( ) A y 2x B y x2 1 C y 2x 2 D y log2 x D 根据 x 0.50， y 0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x 2.01， y 0.98，代入计算，可以排除 B、 C；将各 数据代入函数 y log
2、2 x，可知满足题意 2 (2018 东城模拟 )某商场在 2017 年元旦开展 “ 购物折上折 ” 活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满 500 元再减 100 元，如某商品标价 1 500 元，则购买该商品的实际付款额为 1 5000.8 200 1 000 元设购买某商品的实际折扣率 实际付款额商品的标价100% ，某人欲购买标价为 2 700 元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为 ( ) 【导学号： 00090056】 A 55% B 65% C 75% D 80% B 当购买标价为 2 700 元的商品时， 产品的八折后价格为： 2 7000.8 2 160， 故实际
3、付款： 2 160 400 1 760， 故购买某商品的实际折扣率为： 1 7602 700100%65% ，故选 B. 3一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图 292 甲、乙所示某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图丙所示 图 292 给出以下 3 个论断： 0 点到 3 点只进水不出水； 3 点到 4 点不进水只出水； 4 点到6 点不进水不出水，则一定正确的是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A B C D A 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的 12，所以 0 点到 3 点不出水， 3 点到 4 点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降
4、低， 4 点到 6 点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是 . 4 (2018 衡阳模拟 )将出货单价为 80 元的商品按 90 元一个出售时，能卖出 400 个，已知这种商品每涨价 1 元，其销售量就要减少 20 个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( ) A 85 元 B 90 元 C 95 元 D 100 元 C 设每个售价 定为 x 元，则利润 y (x 80)400 (x 90)20 20(x 95)2 225， 当 x 95 时， y 最大 5将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中， t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 y aent.假设过 5 min 后
5、甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m min 甲桶中的水只有 a4 L，则 m的值为 ( ) A 5 B 8 C 9 D 10 A 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， 函数 y f(t) aent满足 f(5) ae5n 12a， 可得 n 15ln12， f(t) a ? ?12 ， 因此，当 k min 后甲桶中的水只有 a4 L 时， f(k) a ? ?12 14a，即 ? ?12 14， k 10， 由题可知 m k 5 5，故选 A 二、填空题 6在如图 293 所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园 (阴影部分 )，则其边长 x 为 _m. =【 ;精品教育资源文库
6、 】 = 图 293 20 设内接矩形另一边长为 y，则由相似三角形性质可得 x40 40 y40 ，解得 y 40 x，所以面积 S x(40 x) x2 40x (x 20)2 400(0 x 40)，当 x 20 时， Smax400. 7某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过 0.1%，若初时含 杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少 13，至少应过滤 _次才能达到市场要求 (已知 lg 20.301 0 ，lg 30.477 1) 8 设过滤 n 次才能达到市场要求， 则 2%? ?1 13 n0.1% ，即 ? ?23 n 120， 所以 nlg23 1 lg 2，所以 n
7、7.39 ，所以 n 8. 8 (2018 成都模拟 )某食品的保鲜时间 y(单位：小时 )与储藏温度 x(单位： ) 满足函数关系 y ekx b(e 2.718? 为自然对数的底数， k， b 为常数 )若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是 _小时 【导学号： 00090057】 24 由已知条件，得 192 eb， b ln 192.又 48 e22k b e22k ln 192 192e22k192(e11k)2， e11k ? ?4819212 ?141212.设该食品在 33 的保鲜时间是 t 小时，则 t
8、e33kln 192 192e33k 192(e11k)3 192?123 24. 三、解答题 9 (2018 抚顺模拟 )食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人 民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200 万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a(单位：万元 )满足 P 80 4 2a， Q 14a 120，设甲大棚的投入为 x(单位：万元 )，每年两个大棚的总收益为 f(x)(单位：万元 ) =
9、【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求 f(50)的值； (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益 f(x)最大？ 解 (1) 甲大棚投入 50 万元，则乙大棚投入 150 万元， 1 分 f(50) 80 4 250 14150 120 277.5 万元 . 3 分 (2)f(x) 80 4 2x 14(200 x) 120 14x 4 2x 250， 4 分 依题意得? x20200 x20 ?20 x180 ， 6 分 故 f(x) 14x 4 2x 250(20 x180). 7 分 令 t x 2 5， 6 5，则 f(x) 14t2 4 2t 250 14(t 8 2
10、)2 282， 9 分 当 t 8 2，即 x 128 时， f(x)max 282 万元 . 11 分 所以投入甲大棚 128 万元，乙大棚 72 万元时，总收益最大，且最大收益为 282 万元 . 12 分 10国庆期间， 某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 人或 30 人以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元 (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 解 (1)设旅行团人数为
11、x，由题得 00) (1)如果 m 2，求经过多少时间，物体的温度为 5 ； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若物体的温度总不低于 2 ，求 m 的取值范围 解 (1)若 m 2，则 22 t 21 t 2? ?2t 12t ， 当 5 时， 2t 12t 52， 2 分 令 2t x(x1) ，则 x 1x 52， 即 2x2 5x 2 0， 解得 x 2 或 x 12(舍去 )， 2t 2，即 t 1， 经过 1 min，物体的温度为 5 . 5 分 (2)物体的温度总不低于 2 ，即 2 恒成立， 即 m2 t 22t2 恒成立， 亦即 m2 ? ?12t 122t 恒成立 . 7 分 令 12t x，则 0x1 ， m2( x x2). 10 分 x x2 ? ?x 12 2 14 14， m 12. 因此，当物体的温度总不低于 2 时， m 的取值范围是 ? ?12， . 12 分
