1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (十五 ) 导数与函数的极值、最值 A 组 基础达标 (建议用时： 30 分钟 ) 一、选择题 1函数 y ln x x 在 x (0， e上的最大值为 ( ) A e B 1 C 1 D e C 函数 y ln x x 的定义域为 (0， ) 又 y 1x 1 1 xx ，令 y 0 得 x 1， 当 x (0,1)时， y 0，函数单调递增； 当 x (1， e时， y 0，函数单调递减 当 x 1 时，函数取得最大值 1. 2已知函数 f(x) x3 ax2 (a 6)x 1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ( 1,
2、2) B ( ， 3) (6， ) C ( 3,6) D ( ， 1) (2， ) B f( x) 3x2 2ax (a 6)， 由已知可得 f( x) 0 有两个不相等的实根， 4a2 43( a 6) 0，即 a2 3a 18 0， a 6 或 a 3. 3 (2018 太原模拟 )函数 y f(x)导函数的图像如图 2123 所示，则下列说法错误的是( ) 图 2123 A函数 y f(x)在区间 ( 1,3)上是 增加的 B函数 y f(x)在区间 (3,5)上是减少的 C函数 y f(x)在 x 0 处取得极大值 D函数 y f(x)在 x 5 处取得极小值 C 由函数 y f(x)
3、导函数的图像可知： 当 x 1 及 3 x 5 时， f( x) 0， f(x)单调递减； 当 1 x 3 及 x 5 时， f( x) 0， f(x)单调递增 所以 f(x)的单调减区间为 ( ， 1)， (3,5)；单调增区间为 ( 1,3)， (5， ) ， =【 ;精品教育资源文库 】 = f(x)在 x 1,5 处取得极小值，在 x 3 处取得极大值， 故选项 C 错误，故选 C 4 (2018 重庆模 拟 )已知函数 f(x) x3 ax2 bx a2 在 x 1 处有极值 10，则 f(2)等于( ) 【导学号： 00090075】 A 11 或 18 B 11 C 18 D 1
4、7 或 18 C f( x) 3x2 2ax b， ? 3 2a b 01 a b a2 10 ? b 3 2aa2 a 12 0 ? a 4b 11 或 ? a 3b 3 . 当? a 3b 3 时， f( x) 3(x 1)20 ， 在 x 1 处不存在极值； 当? a 4b 11 时， f( x) 3x2 8x 11 (3x 11)(x 1) x ? ? 113 ， 1 ， f( x) 0， x (1， ) ， f( x) 0，符合题意 ? a 4b 11 ， f(2) 8 16 22 16 18. 5 (2018 武汉模拟 )已知 a R，若 f(x) ? ?1x a ex在区间 (0
5、,1)上有且只有一个极值点，则 a 的取值范围是 ( ) A a 0 B a 0 C a1 D a0 B f( x) exx2(ax2 x 1)， 若 f(x)在 (0,1)上有且只有一个极值点， 则 f( x) 0 在 (0,1)上有且只有一个零点， 显然 exx2 0，问题转化为 g(x) ax2 x 1 在 (0,1)上有且只有一个零点， 故 g(0) g(1) 0，即? 1 0a 1 1 0 ，解得： a 0，故选 B 二、填空题 6 (2018 包头模拟 )设函数 f(x) x3 3x 1， x 2,2的最大值为 M，最小值为 m，则M m _. 2 由 f(x) x3 3x 1，得
6、 f( x) 3x2 3 3(x 1)(x 1)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 x ( 2， 1) (1,2)时， f( x) 0，当 x ( 1,1)时， f( x) 0. 函数 f(x)的增区间为 ( 2， 1)， (1,2)；减区间为 ( 1,1) 当 x 1 时， f(x)有极大值 3；当 x 1 时， f(x)有极小值 1. 又 f( 2) 1， f(2) 3. 最大值为 M 3，最小值为 m 1， 则 M m 3 1 2. 7设 a R，若函数 y ex ax 有大于零的极值点，则实数 a 的取值范围是 _ ( ， 1) y ex ax， y ex A 函数 y ex a
7、x 有大于零的极值点， 则方程 y ex a 0 有大于零的解， x 0 时， ex 1， a ex 1. 8某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价为 p 元，销量 Q(单位：件 )与零售价 p(单位：元 )有如下关系： Q 8 300 170p p2，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为 _元 【导学号： 00090076】 30 23 000 设该商品的利润为 y 元，由题意知， y Q(p 20) p3 150p2 11 700p 166 000， 则 y 3p2 300p 11 700， 令 y 0 得 p 30 或 p 130(舍 )， 当 p (0
8、,30)时， y 0，当 p (30， ) 时， y 0， 因此当 p 30 时， y 有最大值， ymax 23 000. 三、解答题 9已知函数 f(x) x3 ax2 b(a， b R) (1)要使 f(x)在 (0,2)上单调递增，试求 a 的取值范围； (2)当 a0)现已知相距 18 km 的 A， B 两家化工厂 (污染 源 )的污染强度分别为 a， b，它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染指数之和设 AC x(km) (1)试将 y 表示为 x 的函数； (2)若 a 1，且 x 6 时， y 取得最小值，试求 b 的值 解 (1)设点 C 受 A
9、 污染源污染程度为 kax2，点 C 受 B 污染源污染程度为 kb x 2，其中 k 为比例系数，且 k0，从而点 C 处受污染程度 y kax2 kb x 2. 5 分 (2)因为 a 1，所以 y kx2 kb x 2， y k? ? 2x3 2b x 3 ， 8 分 令 y 0，得 x 181 3 b， 又此时 x 6，解得 b 8，经验证符合题意， 所以，污染源 B 的污染强度 b 的值为 8. 12 分 B 组 能力提升 (建议用时： 15 分钟 ) 1 (2018 石家庄模拟 )已知函数 f(x) 12x2 aln x 1 在 (0,1)内有最小值，则 a 的取值范围是 ( )
10、A 0 a 1 B 1 a 1 C 0 a 1 D 0 a 12 C 函数 f(x) 12x2 aln x 1， (a R)， f( x) x ax， 函数 f(x)在 (0,1)内有最小值， f( x) 0 在 (0,1)上有解函数有极小值也为最小值 =【 ;精品教育资源文库 】 = x ax 0， x (0,1)? a 1， a (0,1) 并且 x (0， a)， f( x) 0， x ( a， 1)， f( x) 0， 即 x a时函数取得最小值，也是极小值 0 a 1. 2 (2018 郴州模拟 )已知奇函数 f(x)? exx x ，h x x ，则函数 h(x)的最大值为_ 1
11、e 先求出 x 0 时， f(x) exx 1 的最小值当 x 0 时， f( x)ex xx2 ， x (0,1)时， f( x) 0，函数单调递减， x (1， ) 时， f( x) 0，函数单调递增， x 1 时，函数取得极小值即最小值，为 e 1， 由已知条件得 h(x)的最大值为 1 e. 3已知函数 f(x) ax3 bx c 在点 x 2 处取得极值 c 16. (1)求 a， b 的值； (2)若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在 3,3上的最小值 【导学号： 00090077】 解 (1)因为 f(x) ax3 bx c， 故 f( x) 3ax2 B 2 分 由于 f
12、(x)在点 x 2 处取得极值 c 16， 故有? f 0，f c 16， 即 ? 12a b 0，8a 2b c c 16， 化简得? 12a b 0，4a b 8， 解得 ? a 1，b 12. 5 分 (2)由 (1)知 f(x) x3 12x c， f( x) 3x2 12 3(x 2)(x 2)， 令 f( x) 0，得 x1 2， x2 2. 当 x ( ， 2)时， f( x) 0， 故 f(x)在 ( ， 2)上是增加的； 7 分 当 x ( 2,2)时， f( x) 0， 故 f(x)在 ( 2,2)上是减少的； 8 分 当 x (2， ) 时， f( x) 0， 故 f(x)在 (2， ) 上是增加的 由此可知 f(x)在 x 2 处取得极大值， =【 ;精品教育资源文库 】 = f( 2) 16 c， f(x)在 x 2 处取得极小值 f(2) c 16. 由题设条件知 16 c 28，解得 c 12. 10 分 此时 f( 3) 9 c 21， f(3) 9 c 3， f(2) 16 c 4， 因此 f(x)在 3,3上的最小值为 f(2) 4. 12 分
