1、课时过关检测(七) 函数的奇偶性与周期性A级基础达标1设函数f(x)在(，)内有定义，下列函数必为奇函数的是()Ay|f(x)| Byxf(x2)Cyf(x)Dyf(x)f(x)解析：B对A，y|f(x)|中，|f(x)|与|f(x)|不一定相等，故不一定为奇函数，故错误；对B，yg(x)xf(x2)中，因为g(x)xf(x)2xf(x2)g(x)，所以函数为奇函数，故正确；对C，yf(x)中，f(x)与f(x)不一定相等，故不一定为奇函数，故错误；对D，yf(x)f(x)为偶函数，故错误故选B2(2022青岛模拟)已知f(x)x5ax3bx8(a，b是常数)，且f(3)5，则f(3)()A2
2、1B21C26D26解析：B设g(x)x5ax3bx，则g(x)为奇函数由题设可得f(3)g(3)85，得g(3)13又因为g(x)为奇函数，所以g(3)g(3)13，于是f(3)g(3)8138213(2022白银模拟)已知f(x)ax2x(a2)为奇函数，则“m0”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：B因为f(x)ax2x(a2)为奇函数，所以f(x)f(x)0，ax2xax2x0，(ax2x)0恒成立，(2a)x1，a，f(x)2x2x为R上的减函数，且f(0)0，所以f(m)0时，m0，因此“m0”的充分不必要条件故选B4(2022湖北高三月考)
3、已知定义在R上的奇函数f(x)在(，0上单调递减，若f(2)1，则满足|f(2x)|1的x的取值范围是()A1,1B2,2C(，11，)D(，22，)解析：A根据奇函数的性质，得f(x)在R上单调递减，且f(2)1由|f(2x)|1，得1f(2x)1，即f(2)f(2x)f(2)，所以22x2，解得1x1，故选A5(多选)已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()Ayf(|x|)Byf(x)Cyxf(x)Dyf(x)x解析：BD由奇函数的定义f(x)f(x)验证，A项，f(|x|)f(|x|)，为偶函数；B项，f(x)f(x)f(x)，为奇函数；C项，xf(x)xf(x)
4、xf(x)，为偶函数；D项，f(x)(x)f(x)x，为奇函数可知B、D正确6(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，f(x1)是偶函数，则()Af(0)1Bf(x)是周期函数Cf(x3)为奇函数Df(x5)为偶函数解析：BD因为f(x1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于x1对称，即f(x)f(2x)，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)，f(0)0，于是f(2x)f(x)，即有f(4x)f(x2)f(x)，所以函数f(x)的一个周期为4，故A错误，B正确；设g(x)f(x3)，则g(x)f(x3)f(1x)f(x3)，即g(x)g(x)，所以f(x3)为
5、偶函数，C错误；设h(x)f(x5)，则h(x)f(x5)f(x3)f(x5)，即h(x)h(x)，所以f(x5)为偶函数，D正确故选B、D7(2022广东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(0，)时，f(x)x2x1，则当x(，0)时，f(x)_解析：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(0，)时，f(x)x2x1，则当x(，0)时，x(0，)，f(x)(x)2(x)1x2x1，故f(x)f(x)x2x1答案：x2x18已知实数a，b满足(a1)5(b3)52 020(1a)32 020(3b)3，则ab_解析：因为(a1)5(b3)52 020(1a)32 020(3b)3
6、，所以(a1)52 020(a1)3(3b)52 020(3b)3，令f(x)x52 020x3，则f(x)在R上为单调递增的奇函数，又f(a1)f(3b)，所以a13b，所以ab4答案：49设函数yf(x)的定义域为R，则下列命题：若yf(x)是偶函数，则yf(x2)的图象关于y轴对称；若yf(x2)是偶函数，则yf(x)的图象关于直线x2对称；若f(x2)f(2x)，则函数yf(x)的图象关于直线x2对称；yf(x2)与yf(2x)的图象关于直线x2对称其中正确命题的序号为_解析：yf(x2)是将函数yf(x)的图象向左平移两个单位长度得到的，故yf(x)的图象关于直线x2对称，错误，正确
7、；若f(x2)f(2x)，由0得函数yf(x)的图象关于直线x0对称，错误，正确答案：10(2022重庆模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式解：(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即当x2,4时，f(x)x26x8B级综合应用11已知定义在R上的偶函数f(x)满足在0，)上单调递增
8、，f(3)0，则关于x的不等式0的解集为()A(5，2)(0，)B(，5)(0,1)C(3,0)(3，)D(5,0)(1，)解析：D因为定义在R上的偶函数f(x)满足在0，)内单调递增，所以f(x)满足在(，0)内单调递减，又f(3)0，所以f(3)f(3)0作出函数f(x)的草图如图，由0，得0，得0，所以或所以或解得x1或5x0的解集为(5,0)(1，)故选D12(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)与f(x1)都为奇函数，则()Af(x1)为奇函数Bf(x)为周期函数Cf(x3)为奇函数Df(x2)为偶函数解析：ABC由题意知：f(x1)f(x1)0且f(x1)f(x1)0，f(1
9、x)f(1x)，即f(x1)f(x1)，可得f(x)f(x2)，f(x)是周期为2的函数，且f(x1)，f(x2)为奇函数，故A、B正确，D错误；由上知：f(x1)f(x3)，即f(x3)为奇函数，C正确故选A、B、C13已知函数f(x)满足：f(0)0；在1,3上是减函数；f(1x)f(1x)请写出一个满足以上条件的f(x)_解析：由f(1x)f(1x)可得f(x)关于直线x1对称，所以开口向下，对称轴为x1，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件答案：x22x(答案不唯一)14设f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x
10、)的图象与x轴所围成图形的面积解：(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(x)为奇函数，所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4(2)由f(x)是奇函数且f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44C级迁移创新15(1)已知函数f(x)，xR，若a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)，求证
11、：f(x)为奇函数；(2)已知函数f(x)，xR，若x1，x2R，都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)，求证：f(x)为偶函数；(3)设函数f(x)定义在(l，l)上，证明：f(x)f(x)是偶函数，f(x)f(x)是奇函数证明：(1)令a0，则f(b)f(0)f(b)，f(0)0令ax，bx，则f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)f(x)是奇函数(2)令x10，x2x，得f(x)f(x)2f(0)f(x)，令x20，x1x，得f(x)f(x)2f(0)f(x)，由得f(x)f(x)f(x)f(x)，即f(x)f(x)，f(x)是偶函数(3)x(l，l)，x(l，l)可见，f(x)的定义域也是(l，l)设F(x)f(x)f(x)，G(x)f(x)f(x)，则F(x)与G(x)的定义域也是(l，l)，显然是关于原点对称的F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)F(x)，G(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)G(x)，F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)f(x)是偶函数，f(x)f(x)是奇函数
