1、课时过关检测(五十五) 圆锥曲线中的定点、定值问题1已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别为C的右顶点和上顶点，若ABF1的面积是ABF2的面积的3倍，且3(1)求C的标准方程；(2)若过点且斜率不为0的直线与C交于M，N两点，点P在直线x6上，且NP与x轴平行，求证：直线MP恒过定点解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则F1(c,0)，F2(c,0)，点A，B分别为C的右顶点和上顶点，A(a,0)，B(0，b)，则(ac,0)，(c，b)又ABF1的面积是ABF2的面积的3倍，且3，解得a2，c1，则b，C的标准方程为1(2)证明：设直线MN的方程为xmy，M，N(x
2、2，y2)，则P(6，y2)由消去x，整理得(3m24)y24my0，0恒成立，由根与系数的关系得，y1y2，y1y2，my1y2(y1y2)又直线MP的方程为yy2(x6)，令y0，得x6x1my1，x6，则x，故直线MP恒过定点2(2022洛阳统考)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点P(4，m)(m0)是抛物线C上一点，且|PF|5(1)求抛物线C的方程；(2)若A，B为抛物线 C上异于P的两点，且PAPB记点A，B到直线y4的距离分别为a，b，求证：ab为定值解：(1)由抛物线的定义知|PF|45，解得p2，所以抛物线C的方程为y24x(2)证明：由P(4，m)(m0)是抛物线
3、C上一点，得m4，易知直线PA斜率存在且不为0，设直线PA的方程为x4t(y4)(t0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去x得y24ty16(t1)0，16(t2)20，所以t2，所以y14t4，所以a|y1(4)|4t|因为PAPB，所以用代替t(t0，t2，2)，得y24，b|y2(4)|，所以ab16，即ab为定值3ABC中，已知B(，0)，C(，0)，ADBC交BC于点D，H为AD中点，满足BHAC，点H的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过点M作直线l交曲线C于P，Q两点，求证：以PQ为直径的圆恒过定点解：(1)设H(x，y)，则A(x,2y)，(x，y)，(x，2y)
4、，因为BHAC，所以0，即(x)(x)2y20，整理得x22y22，即y21因为在ABC中，三顶点不可能共线，所以y0，故曲线C的方程为y21(y0)(2)证明：若直线l斜率不存在，可得圆：x2y21，若直线l斜率为0，可得圆：x22两个圆的公共点为N(0，1)，若直线l斜率存在且不为0时，设其方程为ykx(k0)，由可得(2k21)x2kx0，0恒成立，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得(x1，y11)(x2，y21)x1x2(y11)(y21)x1x2(k21)x1x2k(x1x2)0，即NPNQ，所以以PQ为直径的圆经过定点N(0，1)综上所述，以PQ为直径的圆恒
5、过定点N(0，1)4已知抛物线C：y22px(p0)经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值解：(1)因为抛物线y22px过点P(1,2)，所以2p4，即p2故抛物线C的方程为y24x由题意知，直线l的斜率存在且不为0设直线l的方程为ykx1(k0)，由得k2x2(2k4)x10依题意(2k4)24k210，解得k0或0k1又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2)从而k3所以直线l的斜率的取值范围是(，3)(3,0)(0,1)(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)知x1x2，x1x2直线PA的方程为y2(x1)令x0，得点M的纵坐标为yM22同理得点N的纵坐标为yN2由，得1yM，1yN所以2所以为定值
