1、【人教版八上数学Flash课件配套教案】最短路径问题一、教学目标(一)知识与技能：通过对最短路径的探素，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.(二)过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径的思想方法.(三)情感态度与价值观：在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心.二、教学重点、难点重点：应用所学知识解决最短路径问题.难点：选择合理的方法解决问题.三、教学过程引言 以前我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选
2、择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”及“造桥选址问题”.问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦. 有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地. 牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 如图，点A，B分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点C，使得点C到点A、点B的距离的和最短？ 连接AB，与直线 l 相交于一点，根据“两点之间，线段最短”可知这个交点即为所求. 现在，要解决的问题是：点A，B分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l
3、上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 如图，作出点B关于 l 的对称点B，利用轴对称的性质，可以得到CB=CB. 这样，问题就转化为：当点C在 l 的什么位置时，AC与CB的和最小？ 在连接A，B两点的线中，线段AB最短. 因此，线段AB与直线 l 的交点C的位置即为所求.你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线 l 上任取一点C(与点C不重合)，连接AC，BC，BC.由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC. AC+BC=AC+BC=AB AC+BC=AC+BC在ABC中，ABAC+BC AC+BCAC+BC即AC+BC最短.问题2 (造桥选址问题)如图，A和
4、B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.) 我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. 这样问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？ 如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A，则
5、AA=MN，AM+NB=AN+NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？ 在连接A，B两点线中，线段AB最短. 因此，线段AB与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的. 你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？ 为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N，过N作NMa，垂足为M，连接AM，AN，NB，证明AM+MN+NBAM+MN+NB.证明：如图，由平移的性质可知：AM=AN，AM=AN，MN=MN在ABN中，ABAN+NB AN+NBAM+NB AM+NBAM+NB AM+MN+NBAM+MN+NB归纳 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思 通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值. 在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题. 体会在解决问题中与他人合作的重要性. 体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识.
