1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 重点强化训练 (四 ) 直线与圆 A 组 基础达标 (建议用时： 30 分钟 ) 一、选择题 1 (2018 西安五校联考 )命题 p： “ a 2” 是命题 q： “ 直线 ax 3y 1 0 与直线 6x4y 3 0 垂直 ” 成立的 ( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 A 两直线垂直的充要条件是 6a 34 0，解得 a 2，命题 p 是命题 q 成立的充要条件 2 (2018 深圳模拟 )已知直线 l： x my 4 0，若曲线 x2 y2 2x 6y 1 0 上存在两点P， Q 关于直线 l 对称，则 m
2、的值为 ( ) 【导学号： 00090287】 A 2 B 2 C 1 D 1 D 因为曲线 x2 y2 2x 6y 1 0 是圆 (x 1)2 (y 3)2 9，若圆 (x 1)2 (y 3)2 9 上存在两点 P， Q 关于直线 l 对称，则直线 l： x my 4 0 过圆心 ( 1,3)，所以1 3m 4 0，解得 m 1. 3圆 x2 2x y2 4y 3 0 上到直线 x y 1 0 的距离为 2的点共有 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 C 圆的方程化为 (x 1)2 (y 2)2 8，圆心 ( 1， 2)到直线距离 d | 1 2 1|2 2，半径是 2
3、2，结合图形可知有 3 个符合条件的点 4过点 P( 3， 1)的直线 l 与圆 x2 y2 1 有公共点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是( ) A ? ?0， 6 B ? ?0， 3 C ? ?0， 6 D ? ?0， 3 D 因为 l 与圆 x2 y2 1 有公共点，则 l 的斜率存在，设斜率为 k，所以直线 l 的方程为 y 1 k(x 3)， 即 kx y 3k 1 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则圆心到 l 的距离 d | 3k 1|1 k2 . 依题意，得 | 3k 1|1 k2 1 ，解得 0 k 3. 故直线 l 的倾斜角的取值范围是 ? ?0， 3 . 5 (20
4、17 重庆一中模拟 )已知圆 C： (x 1)2 (y 2)2 2， y 轴被圆 C 截得的弦长与直线 y 2x b 被圆 C 截得的弦长相等，则 b ( ) A 6 B 6 C 5 D 5 D 在 (x 1)2 (y 2)2 2 中，令 x 0，得 (y 2)2 1，解得 y1 3， y2 1，则 y 轴被圆 C 截得的弦长为 2，所以直 线 y 2x b 被圆 C 截得的弦长为 2，所以圆心 C(1,2)到直线 y 2x b 的距离为 1， 即 |21 2 b|5 1，解得 b 5. 二、填空题 6经过两条直线 3x 4y 5 0 和 3x 4y 13 0 的交点，且斜率为 2 的直线方程
5、是_ 2x y 7 0 由? 3x 4y 5 0，3x 4y 13 0， 得 ? x 3，y 1， 即两直线的交点坐标为 (3，1)，又所求直线的斜率 k 2. 则所求直线的方程为 y 1 2(x 3)，即 2x y 7 0. 7已知过点 P(2,2)的直线与圆 (x 1)2 y2 5 相切，且与直线 ax y 1 0 垂直，则 a_. 【导学号： 00090288】 2 因为点 P(2,2)为圆 (x 1)2 y2 5 上的点， 由圆的切线性质可知，圆心 (1,0)与点 P(2,2)的连线与过点 P(2,2)的切线垂直 因为圆心 (1,0)与点 P(2,2)的连线的斜率 k 2，故 过点 P
6、(2,2)的切线斜率为 12， 所以直线 ax y 1 0 的斜率为 2，因此 a 2. 8已知直线 x y a 0 与圆心为 C 的圆 x2 y2 2x 4y 4 0 相交于 A， B 两点，且 ACBC，则实数 a 的值为 _ 0 或 6 由 x2 y2 2x 4y 4 0 得 (x 1)2 (y 2)2 9，所以圆 C 的圆心坐标为 C(1,2)，半径为 3，由 AC BC 可知 ABC 是直角边长为 3 的等腰直角三角形故可得圆心C 到直线 x y a 0 的距离为 3 22 .由点到直 线的距离得 | 1 2 a|2 3 22 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 a 0 或
7、a 6. 三、解答题 9已知圆 C： x2 y2 8y 12 0，直线 l： ax y 2a 0. (1)当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切； (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A， B 两点，且 |AB| 2 2时，求直线 l 的方程 . 【导学号： 00090289】 解 将圆 C 的方程 x2 y2 8y 12 0 配方得标准方程为 x2 (y 4)2 4，则此圆的圆心为 (0,4)，半径为 2. 2 分 (1)若直 线 l 与圆 C 相切，则有 |4 2a|a2 1 2，解得 a 34. 5 分 (2)过圆心 C 作 CD AB，则根据题意和圆的性质， 得? |CD| |4
8、2a|a2 1，|CD|2 |DA|2 |AC|2 22，|DA| 12|AB| 2，8 分 解得 a 7 或 a 1. 故所求直线方程为 7x y 14 0 或 x y 2 0. 12 分 10在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 y x2 6x 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上，求圆 C 的方程 解 曲线 y x2 6x 1 与 y 轴的交点为 (0,1)，与 x 轴的交点为 (3 2 2， 0)， (3， 2 2， 0)， 2 分 设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)， 则有? 1 E F 0， 2 2 2 D 2 2 F 0， 2 2 2 D 2 2 F
9、 0，解得? D 6，E 2，F 1，故圆的方程是 x2 y2 6x 2y 1 0. 6 分 所以 x2 x0 32 ， y2 y0 42 ， 整理得? x0 x 3，y0 y 4. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又点 N(x 3， y 4)在圆 x2 y2 4 上， 10 分 所以 (x 3)2 (y 4)2 4. 所以点 P 的轨迹是以 ( 3,4)为圆心， 2 为半径的圆 (因为 O， M， P 三点不共线，所以应除去两点 ? ? 95， 125 和 ? ? 215 ， 285 . 12 分 B 组 能力提升 (建议用时： 15 分钟 ) 1直线 l： y kx 1 与圆 O： x2
10、 y2 1 相交于 A， B 两点，则 “ k 1” 是 “ OAB 的面积为12” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条 件 A 将直线 l 的方程化为一般式得 kx y 1 0， 所以圆 O： x2 y2 1 的圆心到该直线的距离 d 1k2 1. 又弦长为 2 1 1k2 1 2|k|k2 1， 所以 S OAB 12 1k2 1 2|k|k2 1 |k|k2 1 12， 解得 k 1. 因此可知 “ k 1” 是 “ OAB 的面积为 12” 的充分不必要条件 2过点 P(1,1)的直线将圆形区域 (x， y)|x2 y24 分为两部分，使得
11、这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 _ x y 2 0 设过 P 点的直线为 l，当 OP l 时，过 P 点的弦最短，所对的劣弧最短，此时，得到的两部分的面积之差最大 由点 P(1,1)知 kOP 1， 所以所求直线的斜率 k 1. 由点斜式得，所求直线方程为 y 1 (x 1)，即 x y 2 0. 3已知圆 C： x2 y2 6x 4y 4 0，直线 l1被圆所截得的弦的中点为 P(5,3) (1)求直线 l1的方程； (2)若直线 l2： x y b 0 与圆 C 相交，求 b 的取值范围； (3)是否存在常数 b，使得直线 l2被圆 C 所截得的弦的中点落在直线 l1上？若存在
12、，求=【 ;精品教育资源文库 】 = 出 b 的值；若不存在，说明理由 解 (1)圆 C 的方程化为标准方程为 (x 3)2 (y 2)2 9，于是圆心 C(3,2)，半径 r 3. 1 分 若设直线 l1的斜率为 k，则 k 1kPC 112 2. 所以直线 l1的方程为 y 3 2(x 5)，即 2x y 13 0. 3 分 (2)因为圆的半径 r 3，所以要使直线 l2与圆 C 相交，则有 |3 2 b|2 3， 5 分 所以 |b 5|3 2， 于是 b 的取值范围是 3 2 5b3 2 5. 8 分 (3)设直线 l2被圆 C 截得的弦的中点为 M(x0， y0)，则直线 l2与 CM 垂直， 于是有 y0 2x0 3 1， 整理可得 x0 y0 1 0. 又因为点 M(x0， y0)在直线 l2上，所以 x0 y0 b 0. 所以由? x0 y0 1 0，x0 y0 b 0， 解得? x0 1 b2 ，y0 1 b2 .10 分 代入直线 l1的方程得 1 b 1 b2 13 0， 于是 b 253 ( 3 2 5,3 2 5)， 故存在满足条件的常数 B 12 分
