1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.8 曲线与方程 课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标 1已知 M( 2,0)， N(2,0)， |PM| |PN| 4，则动点 P 的轨迹是 ( ) A双曲线 B双曲线左支 C一条射线 D双曲线右支 解析：根据双曲线的定义知动点 P 的轨迹类似双曲线，但不满足 2c2a0 的条件，故动点 P 的轨迹是一条射线 答案： C 2方程 x 1 4y2所表示的曲线是 ( ) A双曲线的一部分 B椭圆的一部分 C圆的一部分 D直线的一部分 解析： x 1 4y2两边平方，可变为 x2 4y2 1(x0) ，表示的曲线为椭圆的一部分 答案： B 3设点 A 为圆 (
2、x 1)2 y2 1 上的动点， PA 是圆的切线，且 |PA| 1，则 P 点的轨迹方程为 ( ) A y2 2x B (x 1)2 y2 4 C y2 2x D (x 1)2 y2 2 解析：如图，设 P(x， y)，圆心为 M(1,0)连接 MA， PM，则 MA PA，且 |MA| 1，又因为 |PA| 1，所以 |PM| |MA|2 |PA|2 2，即 |PM|2 2，所以 (x 1)2 y2 2. 答案： D 4已知 A( 1,0)， B(1,0)两点，过动点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，若 MN 2 AN NB ，当 b0)的离心率为22 ，过左焦点且倾斜角为 45 的直线
3、被椭圆截得的弦长为 4 23 . (1)求椭圆 E 的方程； (2)若动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点，过点 M(1,0)作 l 的垂线，垂足为 Q，求点 Q 的轨迹方程 解： (1)因为椭圆 E 的离心率为 22 ， 所以 a2 b2a 22 ， 解得 a2 2b2，故椭圆 E 的方程可设为 x22b2y2b2 1， 则椭圆 E 的左焦点坐标为 ( b,0)， 过左焦点且倾斜角为 45 的直线方程为 l ： y x b. 设直线 l 与椭圆 E 的交点为 A， B， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由? x22b2y2b2 1，y x b消去 y， 得 3x2 4bx 0， 解得
4、 x1 0， x2 4b3. 因为 |AB| 1 12|x1 x2| 4 2b3 4 23 ， 解得 b 1. 故椭圆 E 的方程为 x22 y2 1. (2) 当切线 l 的斜率存在且不为 0 时，设 l 的方程为 y kx m，联立直线 l 和椭圆 E的方程， 得? y kx m，x22 y2 1， 消去 y 并整理， 得 (2k2 1)x2 4kmx 2m2 2 0. 因为直线 l 和椭圆 E 有且只有一个交点， 所以 16k2m2 4(2k2 1)(2m2 2) 0， 化简并整理，得 m2 2k2 1. 因为直线 MQ 与 l 垂直， 所以直线 MQ 的方程为 y 1k(x 1) 联立
5、方程组? y 1k x ，y kx m，解得? x 1 km1 k2，y k m1 k2，所以 x2 y2 km2 k m 2 k2 2 k2m2 k2 m2 1 k2 2 k2 m2 k2 2 m2 11 k2， 把 m2 2k2 1 代入上式得 x2 y2 2.(*) 当切线 l 的斜率为 0 时， 此时 Q(1,1)或 Q(1， 1)，符合 (*)式 当切线 l 的斜率不存在时，此时 Q( 2， 0)或 Q( 2， 0)，符合 (*)式 =【 ;精品教育资源文库 】 = 综上所述，点 Q 的轨迹方程为 x2 y2 2. 10 (2017 届唐山模拟 )已知 P 为圆 A： (x 1)2
6、y2 8 上的动点，点 B(1,0)线段 PB的垂直平分线与半径 PA 相交于点 M，记点 M 的轨迹为 . (1)求曲线 的方程； (2)当点 P 在第一象限，且 cos BAP 2 23 时，求点 M 的坐标 解： (1)圆 A 的圆心为 A( 1,0)，半径等于 2 2. 由已知 |MB| |MP|， 于是 |MA| |MB| |MA| |MP| 2 22 |AB|， 故曲线 是以 A， B 为焦点，以 2 2为长轴长的椭圆， 即 a 2， c 1， b 1， 所以曲线 的方程为 x22 y2 1. (2)由 cos BAP 2 23 ， |AP| 2 2，得 P? ?53， 2 23
7、. 于是直线 AP 的方程为 y 24 (x 1) 由? x22 y2 1，y 24 x ，整理得 5x2 2x 7 0，解得 x1 1， x2 75. 由于点 M 在线段 AP 上， 所以点 M 坐标为 ? ?1， 22 . 能 力 提 升 1已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在 AB 上，且 AM 13，点 P 在平面 ABCD内，且动点 P到直线 A1D1的距离与动点 P到点 M的距离的平方差为 1，则动点 P的轨迹是 ( ) A直线 B圆 C双曲线 D抛物线 解析：如图，过点 P 在平面 ABCD 内作 PF AD，垂足为 F，过点 F 在平面 AA1D1D
8、内作 FE A1D1，垂足为 E，连接 PE，则有 PE A1D1，即 PE 为点 P 到 A1D1的距离 =【 ;精品教育资源文库 】 = 由题意知 |PE|2 |PM|2 1， 又因为 |PE|2 |PF|2 |EF|2，所以 |PF|2 |EF|2 |PM|2 1， 即 |PF|2 |PM|2，即 |PF| |PM|， 所以点 P 到点 M 的距离等于点 P 到直线 AD 的距离 由抛物线的定义知点 P 的轨迹是以点 M 为焦点， AD 为准线的抛物线，所以点 P 的轨迹为抛物线 答案： D 2 (2018 届郑州质检 )已知动点 P 到定点 F(1,0)和到直线 x 2 的距离之比为
9、22 ，设动点 P 的轨迹为曲线 E，过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A、 B 两点，直线 l： ymx n 与曲线 E 交于 C、 D 两点，与线段 AB 相交于一点 (与 A、 B 不重合 ) (1)求曲线 E 的方程； (2)当直线 l 与圆 x2 y2 1 相切时，四边形 ACBD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线 l 的方程；若没有，请说明理由 解： (1)设点 P(x， y)，由题意可得， x 2 y2|x 2| 22 ， 整理可得 x22 y2 1. 所以曲线 E 的方程是 x22 y2 1. (2)设 C(x1， y1)， D(x2， y2
10、)，由已知可得 |AB| 2. 当 m 0 时，不合题意 当 m0 时，由直线 l 与圆 x2 y2 1 相切， 可得 |n|m2 1 1，即 m2 1 n2. 联立? y mx n，x22 y2 1 消去 y 得 ?m2 12 x2 2mnx n2 1 0， 4m2n2 4? ?m2 12 (n2 1) 2m20， =【 ;精品教育资源文库 】 = x1 2mn 2m2 1 ， x2 2mn 2m2 1 ， S 四边形 ACBD 12|AB|x2 x1| 2|m|2m2 1 22|m| 1|m| 22 ，当且仅当 2|m| 1|m|，即 m 22时等号成立，所以四边形 ACBD 的面积的最大值为 22 ， 此时 n 62 ，经检验可知，直线 y 22 x 62 和直线 y 22 x 62 符合题意
