1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 3.6 正弦定理和余弦定理 课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标 1在 ABC 中，若 sinAa cosBb ，则 B 的值为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 解析：由正弦定理知 sinAsinA cosBsinB， sinB cosB， B 45. 答案： B 2在 ABC 中， a， b， c 分别是内角 A， B， C 的对边若 bsinA 3csinB， a 3， cosB 23，则 b ( ) A 14 B 6 C. 14 D 6 解析： bsinA 3csinB?ab 3bc?a 3c?c 1， b2 a2 c2 2accosB
2、 9 1 231 23 6， b 6，故选 D. 答案： D 3 (2017 届重庆适应性测试 )在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a2 b2 c2 ab 3，则 ABC 的面积为 ( ) A. 34 B 34 C. 32 D 32 解析：依题意得 cosC a2 b2 c22ab 12，即 C 60 ，因此 ABC 的面积 S12absinC12 3 32 34，选 B. 答案： B 4 (2017 年山东卷 )在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(1 2cosC) 2sinAcos
3、C cosAsinC，则下列等式成立的是 ( ) A a 2b B b 2a C A 2B D B 2A =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：因为 A B C ， sinB(1 2cosC) 2sinAcosC cosAsinC，所以 sin(A C) 2sinBcosC 2sinAcosC cosAsinC，所以 2sinBcosC sinAcosC.又 cosC0 ，所以 2sinB sinA，所以 2b a，故选 A. 答案： A 5已知 a， b， c 分别为 ABC 三个内角 A， B， C 的对边，且 (b c)(sinB sinC) (a 3c)sinA，则角 B 的大小为
4、( ) A 30 B 45 C 60 D 120 解析：由正弦定理 asinA bsinB csinC及 (b c)(sin B sinC) (a 3c)sinA 得 (bc)(b c) (a 3c)a，即 b2 c2 a2 3ac，所以 a2 c2 b2 3ac，又因为 cosBa2 c2 b22ac ，所以 cosB32 ，所以 B 30. 答案 ： A 6 在 ABC 中 ， 已知 b 40， c 20， C 60 ， 则此三角形的解的情况是 ( ) A 有一解 B有两解 C无解 D有解但解的个数不确定 解析：由正弦定理得 bsinB csinC， sinB bsinCc 40 3220
5、 3 1. 角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在 答案： C 7 (2018 届江西七校一联 )在 ABC 中，若 sin(A B) 1 2cos(B C)sin(A C)，则 ABC 的形状一定是 ( ) A等边三角形 B不含 60 的等腰三角形 C钝角三角形 D直角三角形 解析： sin(A B) 1 2cos(B C)sin(A C) 1 2cosAsinB， sinAcosB cosAsinB 1 2cosAsinB， sinAcosB cosAsinB 1，即 sin(A B) 1，则有 A B 2 ，故三角形=【 ;精品教育资源文库 】 = 为直角三角形 答案： D 8 (20
6、17 届东北三校联考 )已知 ABC 的内 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 c bc asinAsinC sinB，则 B ( ) A. 6 B 4 C. 3 D 34 解析：由 sinA a2R， sinB b2R， sinC c2R，代入整理得 c bc a ac b?c2 b2 ac a2，所以 a2 c2 b2 ac，即 cosB 12，所以 B 3 ，故选 C. 答案： C 9 (2017 年浙江卷 )已知 ABC， AB AC 4， BC 2.点 D 为 AB 延长线上一点， BD 2，连接 CD，则 BDC 的面积是 _， cos BDC _. 解析：由余弦
7、定理得 cos ABC 42 22 42242 14， cos CBD 14， sin CBD 154 ， S BDC 12BD BCsin CBD 1222 154 152 . 又 cos ABC cos2 BDC 2cos2 BDC 1 14， 0 BDC 2 ， cos BDC 104 . 答案： 152 104 10 (2018 届天津红桥质检 )在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 a2 b2 bc， sinC 2sinB，则角 A 为 _ 解析：由 sinC 2sinB，由正弦定理可知 c 2b，代入 a2 b2 bc， 可得 a2 3b2， 所以
8、 cosA b2 c2 a22bc 12， 0A ， =【 ;精品教育资源文库 】 = A 3. 答案： 3 11 (2017 年全国卷 ) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 ABC 的面积为 a23sinA. (1)求 sinBsinC； (2)若 6cosBcosC 1， a 3，求 ABC 的周长 解： (1)因为 ABC 的面积为 a23sinA， 所以 a23sinA12absinC， 所以 sinAsinA3sinA 12sinAsinBsinC， 所以 sinBsinC 23. (2)由题设及 (1)得 cosBcosC sinBsinC 12，
9、 即 cos(B C) 12，所以 B C 23 ，故 A 3. 由题设得 12bcsinA a23sinA，即 bc 8. 由余弦定理得 b2 c2 bc 9，即 (b c)2 3bc 9， 得 b c 33. 故 ABC 的周长为 3 33. 12 (2017 届海口调研 )在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 (a 3b)cosC c(3cosB cosA) (1)求 sinBsinA的值； (2)若 c 7a，求角 C 的大小 解： (1)由正弦定理得， (sinA 3sinB)cosC sinC(3cosB cosA)， sinAcosC cosAs
10、inC 3sinCcosB 3cosCsinB， 即 sin(A C) 3sin(C B)，即 sinB 3sinA， sinBsinA 3. (2)由 (1)知 b 3a， c 7a， =【 ;精品教育资源文库 】 = cosC a2 b2 c22ab a2 9a2 7a22 a3 a 3a26a212， C (0， ) ， C 3. 能 力 提 升 1 (2017 届上海杨浦质量调研 )设锐角 ABC 的三内角 A， B， C 所对边的边长分别为 a，b， c，且 a 1， B 2A，则 b 的取值范围为 ( ) A ( 2， 3) B (1， 3) C ( 2， 2) D (0,2) 解
11、析：由 asinA bsinB bsin2A，得 b 2cosA. 2 A B 3A ，从而6 A3.又 2A2 ， 所以 A 4 ，所以 6 A 4 ， 22 cosA 32 ，所以 2 b 3. 答案： A 2对于 ABC，有如下命题： 若 sin2A sin2B，则 ABC 为等腰三角形； 若 sinA cosB，则 ABC 为直角三角形； 若 sin2A sin2B cos2C 1，则 ABC 为钝角三角形其中正确命题的序号是 _ (把你认为所有正确的都填上 ) 解析： sin2A sin2B， A B? ABC 是等腰三角形，或 2A 2B 即 A B 2 ，故 ABC 是直角三角形
12、故 不对 sinA cosB， A B 2 或 A B 2. ABC 不一定是直角三角形 sin2A sin2B 1 cos2C sin2C， a2 b2 c2. ABC 为钝角三角形 答案： 3 (2018 届上高县 质检 )在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 ba c1 sinCsinA sinB，且 b 5， CA CB 5. (1)求 ABC 的面积； (2)已知等差数列 an的公差不为零，若 a1cosA 1，且 a2， a4， a8成等比数列，求 ? ?8anan 2=【 ;精品教育资源文库 】 = 的前 n 项和 Sn. 解： (1) 在 A
13、BC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， ba c 1sinCsinA sinB，且 b 5， CA CB 5. 由正弦定理得 ba c 1 ca b，即 b2 c2 a2 bc， 由余弦定理得 cosA b2 c2 a22bc bc2bc12. 又 0A ， A 3 ， 且 b 5， CA CB 5， 即 5acosC 5， 即 5aa2 b2 c22ab 5， 与 cos 3 25 c2 a210c 联立解得 c 12， ABC 的面积是 12512sin A 15 3. (2)数列 an的公差为 d 且 d0 ，由 a1cosA 1，得 a1 2， 又 a2， a4
14、， a8成等比数列，得 a24 a2 a8，解得 d 2， an 2 (n 1)2 2n，有 an 2 2(n 2)， 则 8anan 2 2n n 1n 1n 2， Sn ? ?1 13 ? ?12 14 ? ?13 15 ? ?1n 1 1n 1 ? ?1n 1n 2 32 1n 1 1n 2. 4 (2017 届衡水中学调研 )设 ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别为 a， b， c，且有2sinBcosA sinAcosC cosAsinC. (1)求角 A 的大小； (2)若 b 2， c 1， D 为 BC 的中点，求 AD 的长 解： (1)解法一：由题设知， 2si
15、nBcosA sin(A C) sinB，因为 sinB0 ，所以 cosA 12. 由于 0 A ，故 A 3. 解法二：由题设可知， 2b b2 c2 a22bc aa2 b2 c22ab cb2 c2 a22bc ，于是 b2 c2 a2 bc， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 cosA b2 c2 a22bc 12. 由于 0 A ，故 A 3. (2)解法一：因为 AD 2 ? ?AB AC22 14(AB 2 AC 2 2AB AC ) 14?1 4 212cos 3 74， 所以 |AD | 72 ，从而 AD 72 . 解法二：因为 a2 b2 c2 2bccosA 4 1 221 12 3， 所以 a2 c2 b2， B 2. 因为 BD 32 ， AB 1，所以 AD 1 34 72 .
