1、第三章 导数及其应用,-2-,3.1导数的概念及运算,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,自测点评,1.函数f(x)在点x0处的导数(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点的切线的等于f(x0).,(x0,f(x0),斜率,-5-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,2.函数f(x)的导函数如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x的导数都存在,则称f(x)在区间(a,b)可导.这样,对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f(x).于是,在区间(a,b)内,构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数,记
2、为.,f(x),f(x)(或yx,y),-6-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,3.基本初等函数的导数公式,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,4.导数的运算法则若f(x),g(x)存在,则有:(1)f(x)g(x)=;(2)f(x)g(x)=;,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),2,-8-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)f(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. ()(2)求f(x0)时,可先求f(x0),再求f(x0). ()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公
3、共点. ()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ()(5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同. (),答案,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2. 曲线f(x)=excos x在点(0,f(0)处的切线斜率为(),答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为那么速度为零的时刻是()A.0 sB.1 s末C.2 s末D.1 s末和2 s末,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4.(2017全国,文1
4、4)曲线y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为.,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5.已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.,答案,解析,-13-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f(x)|反映了变化的快慢,|f(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.2.f(x0)与(f(x0)是不一样的,f(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值,不一定为0;而(f(x0)是函数值f(x0)的导
5、数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0)=0.3.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指以点P为切点,斜率为k=f(x0)的切线,是唯一的一条切线;曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过点P.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.,-14-,考点1,考点2,答案,-15-,考点1,考点2,解题心得函数求导应遵循的原则:(1)求导之前,首先应利用代数、三角恒等式变形等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.,-16-,考点1
6、,考点2,对点训练1求下列函数的导数:(1)y=x2sin x;,答案,-17-,考点1,考点2,考向一已知过函数图象上的一点求切线方程例2已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.思考求函数的切线方程要注意什么?,答案,-18-,考点1,考点2,答案,解析,考向二已知切线方程(或斜率)求切点例3已知曲线y=f(x)=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为.思考已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是什么?,-19-,考点1,考点2,考向三已知切线
7、方程(或斜率)求参数的值的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1,f(1),则m的值为()A.-1B.-3C.-4D.-2思考已知切线方程(或斜率)求参数的值关键一步是什么?,答案,解析,-20-,考点1,考点2,解题心得1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程是y-f(x0)=f(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.2.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,最后将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.3.
8、已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.,-21-,考点1,考点2,对点训练2(1)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f(x),且f(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为()A.y=3x+1B.y=-3x C.y=-3x+1D.y=3x-3(2)已知曲线y= -3ln x的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为()A.3B.2C.1D.(3)(2017湖南邵阳一模)已知函数f(x)=ln x-3x,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是.,答案,解析,-22-,考点1,考点2,1.对于函数求导,一般要遵循先
9、化简再求导的基本原则.2.导数的几何意义是函数的图象在切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A(x0,f(x0)求斜率k,即求在该点处的导数值k=f(x0);(2)已知斜率k,求切点B(x,f(x),即解方程f(x)=k;(3)已知切线过某点M(x1,f(x1)(不是切点),求斜率k,常需设出切点A(x0,f(x0),先求导数得出斜率k=f(x0),再列出切线方程代入已知点的坐标求解.,-23-,考点1,考点2,1.利用公式求导时,不要将幂函数的求导公式(xn)=nxn-1与指数函数的求导公式(ax)=axln x混淆.2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,直线与曲线只有一个公共点,不能说明直线就是曲线的切线,反之,直线是曲线的切线,也不能说明此直线与曲线只有一个公共点.3.曲线未必在其切线的同侧,例如直线y=0是曲线y=x3在点(0,0)处的切线.,
