1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题突破练 (三 ) 数列中的高考热点问题 1 (2017 北京高考 )已知等差数列 an和等比数列 bn满足 a1 b1 1， a2 a4 10， b2b4a5. (1)求 an的通项公式； (2)求和： b1 b3 b5 b2n 1. 解 (1)设等差数列 an的公差为 d. 因为 a2 a4 10，所以 2a1 4d 10， 解得 d 2，所以 an 2n 1. (2)设等比数列 bn的公比为 q， 因为 b2b4 a5，所以 b1qb1q3 9，解得 q2 3， 所以 b2n 1 b1q2n 2 3n 1. 从而 b1 b3 b5 b2n 1 1 3
2、32 3n 1 3n 12 . 2已知二次函数 y f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为 f( x) 6x 2，数列 an的前n 项和为 Sn，点 (n， Sn)(n N )均在函数 y f(x)的图像上 (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn 3anan 1，试求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解 (1)设二次函数 f(x) ax2 bx(a0) ， 则 f( x) 2ax b. 由 f( x) 6x 2，得 a 3， b 2， 所以 f(x) 3x2 2x. 又因为点 (n， Sn)(n N )均在函数 y f(x)的图像上， 所以 Sn 3n2 2n. 当 n2 时， an
3、Sn Sn 1 3n2 2n 3(n 1)2 2(n 1) 6n 5； 当 n 1 时， a1 S1 31 2 21 61 5， 所以 an 6n 5(n N ) (2)由 (1)得 bn 3anan 1 3(6n 5)6(n 1) 5 12? ?16n 5 16n 1 ， 故 Tn 12? ? ?1 17 ? ?17 113 ? ?16n 5 16n 1 12?1 16n 1 3n6n 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a1 1， S3 6.正项数列 bn满足 b1 b2 b3 bn 2Sn. (1)求数列 an， bn的通项公式； (2)
4、若 b nan，对 n N 均成立，求实数 的取值范围 . 【导学号： 79140187】 解 (1) 等差数列 an中， a1 1， S3 6， d 1，故 an n. 由? b1 b2 b3 bn 2Sn，b1 b2 b3 bn 1 2Sn 1， 得 bn 2Sn Sn 1 2an 2n(n2) ， b1 2S1 21 2，满足通项公式， 故 bn 2n. (2)b nan恒成立，即 n2n恒成立， 设 cn n2n，则 cn 1cn n 12n ， 当 n1 时， cn 1 cn， cn单调递减， ( cn)max c1 12，故 12， 的取值范围是 ? ?12， . 4 (2017
5、山东高考 )已知 xn是各项均为正数的等比数列，且 x1 x2 3， x3 x2 2. (1)求数列 xn的通项公式； (2)如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1(x1,1)， P2(x2,2)， ， Pn 1(xn 1， n 1)得到折线 P1P2 Pn 1，求由该折线与直线 y 0， x x1， x xn 1所围成的区域的面积 Tn. 图 1 解 (1)设数列 xn的公比为 q. 由题意得? x1 x1q 3，x1q2 x1q 2， 所以 3q2 5q 2 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由已知得 q0，所以 q 2， x1 1. 因此数列 xn的通项公式为 x
6、n 2n 1. (2)过 P1， P2， ， Pn 1向 x 轴作垂线，垂足分别为 Q1， Q2， ， Qn 1. 由 (1)得 xn 1 xn 2n 2n 1 2n 1. 记梯形 PnPn 1Qn 1Qn的面积为 bn. 由题意得 bn (n n 1)2 2 n 1 (2n 1)2 n 2， 所以 Tn b1 b2 bn 32 1 52 0 72 1 (2n 1)2 n 3 (2n 1)2 n2. 又 2Tn 32 0 52 1 72 2 (2n 1)2 n 2 (2n 1)2 n 1. 得 Tn 32 1 (2 22 2n 1) (2n 1)2 n 1 32 2(1 2n 1)1 2 (2n 1)2n 1， 所以 Tn (2n 1)2n 12 .
