1、1.2.3直线的一般式方程学习目标1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化导语前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式方程，经过化简后可以发现它们都是二元一次方程现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？一、直线的一般式方程问题直线y2x1可以化成二元一次方程吗？方程2xy30表示一条直线吗？提示y2x1可以化成2xy10的形式，是二元一次方程.2xy30可以化为y2x3，可以表示直线知识梳理方程AxByC0(A，B不全为0)叫作直线
2、的一般式方程注意点：(1)直线一般式方程的结构特征方程是关于x，y的二元一次方程；方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列；x的系数一般不为分数和负数；虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程(2)当直线方程AxByC0的系数A，B，C满足下列条件时，直线AxByC0有如下性质：当A0，B0时，直线与两条坐标轴都相交；当A0，B0，C0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；当A0，B0，C0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；当A0，B0，C0时，直线与x轴重合；当A0，B0，C0时，直线与y轴重合例1根据下列条件分别
3、写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是，且经过点A(5,3)；(2)经过A(1,5)，B(2，1)两点；(3)在x轴、y轴上的截距分别为3，1；(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴解(1)由点斜式，得直线方程为y3(x5)，即xy530.(2)由两点式，得直线方程为，即2xy30.(3)由截距式，得直线方程为1，即x3y30.(4)y20.反思感悟求直线一般式方程的策略在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式跟踪训练1(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式斜率是，且经过点A(8，6)的直线方程为_；在x轴和
4、y轴上的截距分别是和3的直线方程为_；经过点P1(3，2)，P2(5，4)的直线方程为_答案x2y402xy30xy10(2)在y轴上的截距为6，且倾斜角为45的直线的一般式方程为_答案xy60解析设直线的斜截式方程为ykxb(k0)，则由题意得ktan 451，b6，所以yx6，即xy60.二、直线的一般式方程化为其他形式的方程例2(1)已知直线AxByC0(AB0，BC0)，则直线不经过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案A解析直线AxByC0化为yx，又AB0，BC0，所以0，0，则直线不经过第一象限(2)设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y2m6，根据下列条
5、件分别确定m的值：l在x轴上的截距是3；l的斜率是1.解当直线在x轴上的截距为3时，有3，且m22m30，解得m.当斜率为1时，有1，且2m2m10，解得m2.延伸探究对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值解直线l与y轴平行，m.反思感悟含参直线方程的研究策略(1)若方程AxByC0表示直线，则需满足A，B不全为0.(2)令x0可得在y轴上的截距令y0可得在x轴上的截距若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式(3)解分式方程要注意验根跟踪训练2(1)直线xy10与坐标轴所围成的三角形的面积为()A. B2 C1 D.答案D解析由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，1)，故
6、三角形面积为.(2)若a，b，c都大于0，则直线axbyc0的图象大致是图中的()答案D解析直线axbyc0化为yx，因为a，b，c都大于0，所以0，0，所以直线axbyc0的图象大致是图中的D.三、直线一般式方程的应用例3已知直线l：5ax5ya30.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围(1)证明将直线l的方程整理为ya，直线l的斜率为a，且过定点A，又点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限(2)解直线OA的斜率为k3.如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率akOA3，a3.延伸探究1本例中若直线在y轴上的截距为2，求a的值
7、，这时直线的一般式方程是什么？解把方程5ax5ya30化成斜截式方程为yax.由条件可知2，解得a7，这时直线方程的一般式为7xy20.2本例中将方程改为“x(a1)ya20”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？解(1)当a10，即a1时，直线为x3，该直线不经过第二象限，满足要求(2)当a10，即a1时，直线化为斜截式方程为yx，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得综上，可知a1.反思感悟已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤跟踪训练3直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；(2)若
8、l不经过第二象限，求实数a的取值范围解(1)当a1时，直线l的方程为y30，显然不符合题意；当a1时，令x0，则ya2，令y0，则x.l在两坐标轴上的截距相等，a2，解得a2或a0.综上，a的值为2或0.(2)直线l的方程可化为y(a1)xa2，故要使l不经过第二象限，只需解得a1.a的取值范围为(，11知识清单：(1)直线方程的一般式方程(2)直线五种形式方程的互化(3)直线一般式方程的应用2方法归纳：分类讨论法、转化与化归3常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况1直线1化成一般式方程为()Ayx4 By(x3)C4x3y120 D4x3y12答案C2在平面直角坐标系中，直
9、线xy30的倾斜角是()A30 B60 C150 D120答案C解析直线斜率k，所以倾斜角为150，故选C.3已知直线l：kxy12k0(kR)，则该直线过定点_答案(2,1)解析直线l：kxy12k0，即k(x2)(y1)0，当x20，y10时过定点，x2，y1，该直线过定点(2,1)4若直线(2m25m2)x(m24)y5m0的倾斜角是45，则实数m的值是_答案3解析由已知得m3.课时对点练1过点(2,1)，斜率k2的直线方程为()Ax12(y2) B2xy10Cy22(x1) D2xy50答案D解析根据直线方程的点斜式可得，y12(x2)，即2xy50.2如果axbyc0表示的直线是y轴
10、，则系数a，b，c满足条件()Abc0 Ba0Cbc0且a0 Da0且bc0答案D解析y轴方程表示为x0，所以a，b，c满足的条件为bc0，a0.3直线l1：axyb0，l2：bxya0(a0，b0，ab)在同一坐标系中的图象大致是()答案C解析将l1与l2的方程化为l1：yaxb，l2：ybxa.A中，由l1的图象可知，a0，b0，由l2的图象可知，b0，两者矛盾，故A错误；B中，由l1的图象可知，a0，由l2的图象知，b0，a0，两者矛盾，故B错误；C中，由l1的图象可知，a0，b0，由l2的图象可知，a0，b0，故C正确；D中，由l1的图象可知，a0，b0，b0，两者矛盾，故D错误4直线
11、axbyc0经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()Aab0，bc0 Bab0，bc0Cab0 Dab0，bc0答案B解析直线axbyc0化为yx，因为直线axbyc0经过第一、第二、第四象限，所以0，所以ab0，bc0.5已知直线axby10在y轴上的截距为1，且它的倾斜角是直线xy0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为()A，1 B.，1 C，1 D.，1答案A解析原方程化为1，1，b1.axby10的斜率ka，xy0的倾斜角为60，ktan 120，a，故选A.6已知直线a1xb1y10和直线a2xb2y10都过点A(2,1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方
12、程是()A2xy10 B2xy10C2xy10 Dx2y10答案A解析因为点A(2,1)在直线a1xb1y10上，所以2a1b110，由此可知点P1(a1，b1)在直线2xy10上因为点A(2,1)在直线a2xb2y10上，所以2a2b210，由此可知点P2(a2，b2)在直线2xy10上，所以过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2xy10.7斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为_答案2xy10解析由y32(x1)得2xy10.8已知直线(a2)x(a22a3)y2a0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为_答案解析把(3,0)代入已知方程，得(a2)3
13、2a0，a6，直线方程为4x45y120，令x0，得y.9已知直线l：x2y2m20.若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4，求实数m的值解直线l与两坐标轴的交点分别为(2m2,0)，(0，m1)，则所围成的三角形的面积为|2m2|m1|，由题意可知|2m2|m1|4，化简得(m1)24，解得m3或m1.10已知在ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x2y10和y10，求ABC各边所在直线的方程解设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，点B在中线BE：y10上，设B点坐标为(x,1)又A点坐标为(1,3)，D为AB的
14、中点，由中点坐标公式得D点坐标为.又点D在中线CD：x2y10上，2210，解得x5，B点坐标为(5,1)同理可求出C点的坐标是(3，1)故可求出ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x2y70，x4y10和xy20.11直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析k，1k0.倾斜角的取值范围是.12设A(2,2)，B(1,1)，若直线l：axy10与线段AB有交点，则a的取值范围是()A.2，)B.C(，2D.答案C解析由axy10得，yax1，因此直线l过定点P(0，1)，且斜率ka，如图所示，当直线l由直线PA按顺时针方向旋转到直线PB的位置时，符
15、合题意易得kPB2，kPA.结合图形知，a2或a，解得a2或a.故选C.13已知两条直线a1xb1y40和a2xb2y40都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为_答案2x3y40解析两条直线a1xb1y40和a2xb2y40都过点A(2,3)，2a13b140,2a23b240，因此过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为2x3y40.14若直线(m1)x(m2m2)ym1在y轴上的截距等于1，则实数m的值为_答案3解析由题意可知直线过点(0,1)，代入可得m2m2m1，变形可得m22m30，解得m3或m1，当m1时，m1m2m20，不
16、满足题意，所以m3.15如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为_答案x4y140解析过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略)四边形ACGH为正方形，RtAMHRtCOA，OC1，AMOC1，又MHOA2，OMOAAM3，点H的坐标为(2,3)，同理得到F(2,4)，直线FH的方程为，化为一般式方程为x4y140.16已知方程(m22m3)x(2m2m1)y62m0(mR)(1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围；(2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程；(3)若方程表示的直线在x轴上的截距为3，求实数m的值；(4)若方程表示的直线的倾斜角是45，求实数m的值解(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m22m30，解得m1或m3；令2m2m10，解得m1或m.所以若方程表示一条直线，则m1.即实数m的取值范围为m|m1(2)由(1)知当m时，方程表示的直线的斜率不存在，且直线方程为x.(3)依题意，得3，所以3m24m150，m22m30，所以m.(4)因为直线的倾斜角是45，所以斜率为1，所以1,2m2m10，解得m，所以若方程表示的直线的倾斜角为45，则m.
