1、单元卷八平面解析几何(基础巩固卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2021安徽亳州一模“直线ax2y40与直线x(a1)y20平行”是“a1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.2022河南开封一模已知双曲线y21(m0)的焦距为4，则该双曲线的渐近线方程为()A.yx B.yxC.yx D.yx3.2021吉林长春一模已知直线l将圆C：x2y2x2y10平分，且与直线x2y30垂直，则l的方程为()A.2xy0 B.2xy30C.2x
2、y40 D.2xy204.2021八省联考椭圆1(m0)的焦点为F1，F2，上顶点为A.若F1AF2，则m()A.1 B. C. D.25.2022江西景德镇一模已知圆C1：x2y22xmy10(mR)关于直线x2y10对称，圆C2的标准方程是(x2)2(y3)216，则圆C1与圆C2的位置关系是()A.相离 B.相切 C.相交 D.内含6.2022广东湛江一模已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，M是C上的一点，点M到直线y2p的距离是点M到C的准线距离的2倍，且|MF|6，则p()A.4 B.6 C.8 D.107.2021江西红色七校联考已知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线与圆x
3、2y22x0相切，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.8.2021安徽百所名校联考已知双曲线1(a0，b0)的右顶点为A，直线yx与双曲线相交，过A作双曲线两条渐近线的平行线，分别与直线yx交于点Q，R，若O为坐标原点，|ab，则双曲线的离心率为()A. B.或 C. D.或二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2022湖北七市教研协作体联考已知抛物线：x24y的焦点为F，过F与y轴垂直的直线交抛物线于点M，N，则下列说法正确的有()A.点F的坐标为(1，0)B.抛物线
4、的准线方程为y1C.线段MN的长为4D.直线yx2与抛物线相切10.2022山东淄博二模设椭圆C：y21的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是()A.离心率eB.|的最大值为3C.PF1F2面积的最大值为2D.|的最小值为211.2021广东深圳一模设F1，F2分别是双曲线C：1的左、右焦点，且|F1F2|4，则下列结论正确的有()A.m2B.当n0时，C的离心率是2C.点F1到渐近线的距离随着n的增大而减小D.当n1时，C的实轴长是虚轴长的两倍12.2021山东临沂期末已知圆C：x2y24，直线l：(3m)x4y33m0(mR)，则下列四个说法正确的是()A.直线l
5、恒过定点(3，3)B.当m0时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1C.若圆C与曲线x2y26x8ym0恰有三条公切线，则m16D.当m13时，若由直线l上一个动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2021浙江绍兴嵊州期末已知直线xy10和圆x2y22x2y10相交于A，B两点，则该圆的圆心坐标为_，弦长|AB|_.14.2021河北“五个一名校联盟”监测已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，过F1作直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|F2B|12，则|AB|_.15.2022山东潍坊一模已知抛物线C：y24
6、x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，PQ垂直l于点Q，QF与y轴交于点T，O为坐标原点，且|OT|2，则|PF|_.16.2022山西太原一模已知F是双曲线C：1(a0，b0)的左焦点，点Q在直线l1：yx上，点P在直线l2：yx上，O为坐标原点，2，0，FOP的面积为，则双曲线C的标准方程为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)2021重庆沙坪坝模拟已知圆C：x2(y3)28和动圆P：(xa)2y28交于A，B两点.(1)若直线AB过原点，求a；(2)若直线AB交x轴于Q，当PQC面积最小时，求|AB|.18.(12分)2021
7、广东中山二模已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，过双曲线C的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为N，且FON(O为坐标原点)的面积为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若P，Q是双曲线C上的两点，且P，Q关于原点对称，M是双曲线上异于P，Q的点.若直线MP和直线MQ的斜率均存在，则kMPkMQ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19.(12分)2022安徽合肥一模已知F是抛物线E：y22px(p0)的焦点，直线l：yk(xm)(m0)与抛物线E交于A，B两点，与抛物线E的准线交于点N.(1)当k1时，|AB|4，求抛物线E的方程.(2)是否存在常数k，对于任意的正数m，都有|F
8、A|FB|FN|2？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.20.(12分)2021四川成都一模已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且直线 1与圆x2y22相切.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上，记AOM，BOP的面积分别为S1，S2，求的取值范围.21.(12分)2022山东泰安模拟已知椭圆C：1(ab0)的离心率为 e，椭圆C上一点P到它的左、右焦点F1，F2的距离之和为4，且2a2eb2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F2的直线l交椭圆C于A，B两点，求F1AB面
9、积的最大值.22.(12分)2021江苏南通一模已知点A，B在椭圆1(ab0)上，点A在第一象限，O为坐标原点，且OAAB.(1)若a，b1，直线OA的方程为x3y0，求直线OB的斜率；(2)若OAB是等腰三角形(点O，A，B按顺时针排列)，求的最大值.单元卷八平面解析几何(基础巩固卷)1.C当直线ax2y40与直线x(a1)y20平行，12(a1)a0，解得a2或a1，当a2，直线2x2y40和直线xy10重合，舍去，所以a1.故“直线ax2y40与直线x(a1)y20平行”是“a1”的充要条件，故选C.2.B由题意知，b21，c24，双曲线的渐近线方程为yxxx，故选B.3.D化圆C的方程
10、为标准方程，得(y1)2，故圆C的圆心为.因为直线l将圆C平分，所以直线l过圆心.又kl2，所以直线l的方程为y12，即2xy20，故选D.4.C法一如图，由椭圆方程可知，椭圆的焦点在x轴上，a2m21，b2m2，所以c2a2b21，即c1.所以|OF2|c1.因为F1AF2，所以OAF2，所以|OA|b，即m23, 又m0，所以m，故选C.法二由F1AF2bca2c2b24c2，所以又m0，所以m，故选C. 5.Bx2y22xmy10即(x1)2，圆心，因为圆C1关于直线x2y10对称，所以圆心在直线x2y10上，即1210，解得m2，所以圆C1的方程为(x1)2(y1)21，圆心(1，1)
11、，半径为1，由圆C2的方程(x2)2(y3)216，得圆心(2，3)，半径为4，圆心间距离为5，因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆C1与圆C2的位置关系是外切，故选B.6.A由题意，设M(x0，y0)，由2py02，得y0p，所以|MF|p6，解得p4，故选A.7.C不妨取双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，即bxay0，化圆x2y22x0的方程为标准方程，得(x1)2y2，则圆心坐标为(1，0)，半径为.由题意可得，即，即，所以c25a2，所以双曲线C的离心率e，故选C.8.C由题意可设直线AR的方程为y(xa)，联立，得R，同理可得Q，则|ab.由题意知1，所以ba，所以
12、|ab，解得2或(舍去)，所以e，故选C.9.BC由抛物线：x24y，可得2p4，即p2，且焦点在y轴上，所以焦点为F(0，1)，准线方程为y1，所以A不正确，B正确；令y1，可得x24，解得x2，所以|MN|4，所以C正确；联立方程整理得x24x80，(4)2480，所以直线yx2与抛物线没有公共点，所以D不正确.故选BC.10.AD因为椭圆C：y21，所以a24，b21，所以a2，b1，c，所以F1(，0)，F2(，0)，e，故A正确；当点P与左顶点重合时，|取最大值，此时|maxac2，故B错误；因为SPF1F2|y|2c|y|2|y|，又1y1，所以当y1，即P在短轴端点时，PF1F2
13、的面积取得最大值，即(SPF1F2)max1，故C错误；|2|22，因为2x2，所以114，所以2|4，故D正确.故选AD.11.AC对于选项A，由双曲线的方程可得a2mn，b2mn，所以c2a2b2mnmn2m，又因为2c4，所以c2，所以c22m4，可得m2，故选项A正确；对于选项B，当n0时，双曲线C：1，此时a2b22，c24，所以离心率e，故选项B不正确；对于选项C，由选项A得，m2，则a22n，b22n(2n2)，渐近线方程为yx，又焦点F1(2，0)，则点F1到渐近线的距离db(2n2)，所以点 F1到渐近线的距离随着n的增大而减小，故选项C正确；对于选项D，当n1时，a，b1，
14、所以实轴长为2，虚轴长为2，C的实轴长是虚轴长的倍，故选项D不正确.故选AC.12.ACD(3m)x4y33m0可化为3x4y3m(x3)0，由可得故直线l恒过定点(3，3)，故A正确；当m0时，直线l：3x4y30，圆心C到该直线的距离d，且圆C的半径R2，所以Rd1，故圆C上有且仅有四个点到直线l的距离都等于1，故B错误；因为圆C与曲线x2y26x8ym0恰有三条公切线，所以两圆外切，所以两圆圆心的距离为52，解得m16，故C正确；当m13时，直线l：4xy90，设P(a，4a9)，则以CP为直径的圆的方程为x(xa)y(y4a9)0，所以直线AB的方程为ax(4a9)y40，整理得a(x
15、4y)9y40，由可得故直线AB经过点，故D正确.故选ACD.13.(1，1)由x2y22x2y10，得(x1)2(y1)21，所以圆心为(1，1)，半径为1.所以圆心(1，1)到直线xy10的距离d，所以|AB|22.14.8根据椭圆的定义可得，|F1A|F2A|F1B|F2B|4a20，又|F2A|F2B|12，|AB|F1A|F1B|20128.15.5设准线l与x轴的交点为E，由题意可知TOFQEF，又|TO|2，|OF|1，|EF|2，所以|QE|4，所以可知点P的纵坐标满足|yP|4，代入抛物线方程得424x，解得x4，所以|PF|45.16.x21由2，0，得OQ是线段FP的垂直
16、平分线，所以FOQPOQPOx60，所以.|OQ|OF|c，|FP|c，所以FOP的面积为c2，解得c2，又a2b2c2，所以a1，b，所以双曲线C的标准方程为x21.17.解(1)由圆C：x2(y3)28和动圆P：(xa)2y28，可得圆心坐标分别为C(0，3)，P(a，0)，半径都是r2，因为圆C：x2(y3)28和动圆P：(xa)2y28交于A，B两点，可得圆心距小于半径之和，0|PC|4，即a29(4)2，解得a.又由两圆相减，可得公共弦直线AB：2axbya290，因为直线AB过原点，可得a29，解得a3，检验成立，所以实数a的值为3.(2)由直线AB：2ax6ya290，令y0.即
17、2axa29，解得xQ，即Q，则|PQ|，所以SPQC|PQ|3，当且仅当a3时取得等号，且满足a(，)，此时直线AB：yx，又由圆心到直线距离d，所以弦长|AB|2.综上，当PQC面积最小时，|AB|.18.解(1)双曲线C的渐近线方程为yx，即bxay0，所以点F(c，0)到渐近线的距离为b.所以FON的面积为|NF|ON|bba，即ab2.因为双曲线C的离心率为，所以，即ba.代入ab2，解得a2，所以b，故双曲线C的标准方程为1.(2)kMPkMQ是定值，理由如下：设P(x1，y1)，M(x0，y0)，则Q(x1，y1)，xx，所以两式相减并整理得，所以kMPkMQ.所以kMPkMQ是
18、定值，且该定值为.19.解(1)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y得k2x22(k2mp)xk2m20.l与抛物线E交于两点，k0.又m0，p0，8k2mp4p20恒成立，当k1时，|AB|4，|AB|x1x2|24，化简得(p2m2)(p2)0.p0，m0，p2，抛物线E的方程为y24x.(2)假设存在常数k满足题意.抛物线E的方程为y22px，其焦点为F，准线为x，N，从而|FN|2p2k2.由抛物线的定义得，|FA|x1，|FB|x2，|FA|FB|x1x2(x1x2).由|FA|FB|FN|2，得p2k2，即(k21)0.0，0，k210，解得k1.存在k1，使得|F
19、A|FB|FN|2对于任意的正数m都成立.20.解(1)椭圆的离心率为，(c为半焦距).直线1与圆x2y22相切，.又c2b2a2，a26，b23.椭圆C的方程为1.(2)M为线段AB的中点，.当直线l的斜率不存在时，由题意知OAOB，结合椭圆的对称性，不妨设OA所在直线的方程为yx，得x2.则x2，x6，.当直线l的斜率存在时，设直线l：ykxm(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y，得(2k21)x24kmx2m260，16k2m28(2k21)(m23)8(6k2m23)0，即6k2m230.x1x2，x1x2.O点在以AB为直径的圆上，0，即x1x2y1y20，x1x2
20、y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m20，(1k2)kmm20，化简，得m22k22，经检验满足0成立.线段AB的中点M.当k0时，m22，此时.(当k0时，直线OM的斜率不存在)当k0时，射线OM所在的直线方程为yx，由消去y，得x，y，.，.综上，的取值范围为.21.解(1)因为点P到椭圆左、右焦点F1，F2的距离之和为4，所以2a4，即a2，又因为2a2eb2，a2b2c2，所以2a2a2c2，即4c4c2，所以c1，所以b2a2c23，所以椭圆C的方程为1.(2)易知直线l的斜率为0时不满足题意，所以设直线l的方程为：xmy1，由消x，得(3m24)y26my90，(6m)23
21、6(3m24)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，|y1y2|.所以SF1AB|F1F2|y1y2|2.令t，则m2t21(t1)，于是SF1AB.令f(t)3t(t1)，则f(t)30(t1)恒成立，所以f(t)3t在1，)上单调递增，所以当t1时，f(t)min314，所以SF1AB3(t1时取等号)，所以F1AB面积的最大值为3.22.解(1)由a，b1，得椭圆方程为y21.由得或因为点A在第一象限，所以A.又OAAB，所以直线AB的方程为y3，即3xy50.由得或(舍).所以B，所以直线OB的斜率为kOB.(2)设直线OA的斜率为k(k0)，则直线AB的斜率为.因为OAB是等腰直角三角形(点O，A，B按顺时针排列)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，y10，x1x2)，又|OA|AB|，所以，得|y1|x1x2|.所以y1x2x1，即x2x1y1.又由OAAB，得1，所以y2y1x1.因为点A(x1，y1)，B(x1y1，y1x1)在椭圆1上，所以所以，整理得b22(a2b2)a20.所以4(a2b2)24a2b20，即(a2b2ab)(a2b2ab)0.因为a2b2ab0，所以a2b2ab0，即10，所以，当k1时，取最大值.
