1、12.2直线的两点式方程学习目标1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程.2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围导语某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东侧的P处，如图所示公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A，B两处，并使区商业中心O到A，B两处的距离之和最短在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定？一、直线的两点式方程问题1我们知道已知两点也可以确定一条直线，若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y
2、2)(x1x2，y1y2)，你能否得出直线的方程呢？提示知识梳理经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2，y1y2)的直线方程 ，叫作直线的两点式方程注意点：(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1x2)或斜率为0(y1y2)时，不能用两点式方程表示(2)两点式方程与这两个点的顺序无关(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等例1(1)过(1,2)，(5,3)的直线方程是()A. B.C. D.(2)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点(1,0)，(1,4)，则直线l的两点式方程是_答案(1)B(2)解析(
3、1)直线过(1,2)，(5,3)，所以由两点式得直线的方程为.(2)根据两点式方程可得.反思感悟利用两点式求直线的方程首先要判断是否满足两点式方程的适用条件若满足即可考虑用两点式求方程在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程跟踪训练1(1)过点A(2,1)，B(3，3)的直线方程为_答案4x5y30解析因为直线过点(2,1)和(3，3)，所以，即，化简得4x5y30.(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程解由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在(1)当直线斜率不存在，即m1时，直线方程为x1；(2)当
4、直线斜率存在，即m1时，利用两点式，可得直线方程为，即x(m1)y10.综上可得，当m1时，直线方程为x1；当m1时，直线方程为x(m1)y10.二、直线的截距式方程问题2若给定直线上两点A(a,0)，B(0，b)(a0，b0)，你能否得出直线的方程呢？提示1.知识梳理方程1，其中b称为直线在y轴上的截距，a称为直线在x轴上的截距这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程注意点：(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图(3)与坐标轴平行和过原点
5、的直线都不能用截距式表示(4)过原点的直线的横、纵截距都为零例2求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程解(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为1.又l过点A(3,4)，所以1，解得a1.所以直线l的方程为1，即xy10.(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为ykx，因为l过点(3,4)，所以4k3，解得k，直线l的方程为yx，即4x3y0.综上，直线l的方程为xy10或4x3y0.延伸探究1若将点A的坐标改为“A(3，4)”，其他条件不变，又如何求解？解(1)当直线l在两坐标轴上的截距互
6、为相反数且不为0时，设直线l的方程为1，又l过点A(3，4)，所以1，解得a1.所以直线l的方程为1，即xy10.(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为ykx，由于l过点(3，4)，所以4k(3)，解得k.所以直线l的方程为4x3y0.综上，直线l的方程为xy10或4x3y0.2若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？解(1)当截距不为0时，设直线l的方程为1，又l过点(3,4)，所以1，解得a7，所以直线l的方程为xy70.(2)当截距为0时，设直线l的方程为ykx，又l过点(3,4)，所以4k3，解得k，所以直线l的方程为yx，即4x
7、3y0.综上，直线l的方程为xy70或4x3y0.反思感悟截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直(3)要注意截距式方程的逆向应用跟踪训练2直线l过点P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点当AOB的周长为12时，求直线l的方程解设直线l的方程为1(a0，b0)，由题意知，ab12.所以12ab.两边平方整理得ab12(ab)720.又因为直线l过点P.所以1，整理得3ab6a4b.由，得或所以直线l的方程为3x4y120或15x8y
8、360.三、直线方程的灵活应用例3过点P(1,4)作直线l，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为原点(1)若ABO的面积为9，求直线l的方程；(2)若ABO的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线l的方程解设A(a,0)，B(0，b)，其中a0，b0，则由直线的截距式方程得直线l的方程为1.将P(1,4)代入直线l的方程，得1.(*)(1)依题意得，ab9，即ab18，由(*)式得，b4aab18，从而b184a，a(184a)18，整理得，2a29a90，解得a13，a2，则b16，b212.因此直线l的方程为1或1，整理得，2xy60或8xy120.(2)Sabab2(88)8
9、，当且仅当，即a2，b8时取等号，因此S的最小值为8，且此时直线l的方程为1，即4xy80.反思感悟直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决跟踪训练3一束光线从点A(3,2)发出，经x轴反射，通过点B(1,6)，分别求入射光线和反射光线所在直线的方程解易知点A(3,2)关于x
10、轴的对称点为A(3，2)由已知可得反射光线所在直线为直线AB，其方程为，即2xy40.点B(1,6)关于x轴的对称点为B(1，6)由已知可得入射光线所在直线为直线AB，其方程为，即2xy40.故入射光线所在直线的方程为2xy40，反射光线所在直线的方程为2xy40.1知识清单：(1)直线的两点式方程(2)直线的截距式方程2方法归纳：分类讨论法、数形结合法3常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解1在x轴、y轴上的截距分别是3,4的直线方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案A2过点(1,2)，(5,3)的直线方程是()A. B.C. D.答案B解析所求直线过点(1,2)，(5
11、,3)，所求直线方程是.3过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_答案2xy0或xy10解析当直线过原点时，得直线方程为2xy0；当在坐标轴上的截距不为零时，可设直线方程为1，将x1，y2代入方程可得a1，得直线方程为xy10.直线方程为2xy0或xy10.4过(1，1)和(1,3)两点的直线在x轴上的截距为_，在y轴上的截距为_答案1解析由已知得直线的方程为，化简得2xy10，令x0，得y1，令y0，得x，解得直线在x轴、y轴上的截距分别为，1.课时对点练1过两点(2,1)和(1,4)的直线方程为()Ayx3 Byx1Cyx2 Dyx2答案A解析代入两点式得直线方程为，整理得
12、yx3.2已知直线l：axy20在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是()A1 B1C2或1 D2或1答案A解析显然a0.把直线l：axy20化为1.直线l：axy20在x轴和y轴上的截距相等，2，解得a1.3若直线1过第一、二、三象限，则()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0答案C解析因为直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a0.4经过点A(2,5)，B(3,6)的直线在x轴上的截距为()A2 B3C27 D27答案D解析由两点式得直线方程为，即x5y270，令y0，得x27.5下列说法正确的是()A经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程
13、yy0k(xx0)表示B经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示C不经过原点的直线都可以用方程1表示D经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示答案D解析选项A不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点P0(x0，y0)的直线不可以用方程yy0k(xx0)表示；选项B不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点A(0，b)的直线不可以用方程ykxb表示；选项C不正确，当直线与x轴平行或者与y轴平行时，虽然不经过原点但不可以用方程1表示；选项D正确，斜率有可能不存在，截距也有可能为0，但都能用方程(yy1)(x2x
14、1)(xx1)(y2y1)表示6经过点P(1,2)并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有()A0条 B1条 C2条 D3条答案D解析直线l经过原点时，可得直线方程为y2x.直线l不经过原点时，设直线方程为1，把点P(1,2)代入可得1，当ab时，1，解得a1，b1，可得方程为xy1.当ab时，1，解得a3，b3，可得方程为yx3.综上可得，满足条件的直线的条数为3.7若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，2)，则直线l的方程为_答案y1或1解析设直线l在y轴上的截距为a(a0)，则在x轴上的截距为a1(a1)，则l的方程为1，代入点A(6，2)得1，即a23a20，a
15、2或a1，直线l的方程为y1或1.8过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当OAOB取最小值时，直线l的方程为_答案x2y60解析设直线l的方程为1(a0，b0)由P点在直线l上，得1，OAOBab(ab)5529.当且仅当，即a6，b3时取“”直线l的方程为1，即x2y60.9已知三角形的顶点坐标是A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程解由两点式可得直线AB：，即3x8y150.同理可得直线BC：5x3y60，直线AC：2x5y100.10求过点P(6，2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程解设直线的截
16、距式方程为1，则1，解得a2或a1，则直线的截距式方程是1或1，即1或y1.11(多选)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为()Axy5Bxy5Cx4y0Dx4y0答案AC解析当直线过点(0,0)时，直线方程为yx，即x4y0；当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为1.把(4,1)代入，解得a5，所以直线方程为xy5.综上可知，直线方程为xy5或x4y0.12已知ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(4,0)，C(6，0)，则过点B将ABC的面积平分的直线方程为()A2xy40 Bx2y40C2xy40 Dx2y40答案D解析由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中点坐标为D
17、(4,4)，则过点B将ABC的面积平分的直线过点D(4,4)，则所求直线方程为，即x2y40.13直线1与1(mn)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()答案B解析易知直线1的斜率为，直线1的斜率为，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足14已知直线l过点(2,3)，且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为_答案3x2y0或x2y80解析若l在坐标轴上的截距均为0，即l过原点，满足题意，此时l的方程为yx，即3x2y0.当l在坐标轴上的截距不为0时，设其在y轴上的截距为b，则l的方程为1，把(2,3)代入，解得
18、b4，所以l的方程为x2y80.综上，直线l的方程为3x2y0或x2y80.15已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_答案3解析直线AB的方程为1，则x3y，xy3yy2(y24y)(y2)243.即当P点坐标为时，xy取得最大值3.16若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程解直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a0)，则直线方程为1，即xya0.|a|a|18，即a236，a6.直线l的方程为xy60.若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为a(a0)，故直线方程为1，即xya0.|a|a|18，即a236，a6，直线的方程为xy60.综上所述，直线l的方程为xy60或xy60.
