1、2.2直线与圆的位置关系学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系导语海上日出是非常壮丽的美景在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系一、直线与圆位置关系的判定问题1如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？提示转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解知识梳理1直线与圆的三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只
2、有一个公共点相离没有公共点2.直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddrdrdr代数法：由消元得到一元二次方程的判别式000注意点：直线与圆的位置关系常用几何方法判断例1已知直线yxb与圆x2y22，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？解方法一由消去y得2x22bxb220，判别式(2b)242(b22)4(b2)(b2)当2b2时，0，直线与圆有两个公共点当b2或b2时，0，直线与圆只有一个公共点当b2或b2时，0，方程组没有实数解，直线与圆没有公共点方法二圆的半径
3、r，圆心O(0,0)到直线yxb的距离为d.当dr，即2b2时，圆与直线相交，有两个公共点当dr，|b|2，即b2或b2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点当dr，|b|2，即b2或b2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点反思感悟直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系跟踪训练1已知直线方程为mxym10，圆的方程为x2y24x2y10.当m为何值时，圆与直线：(
4、1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点解方法一将直线mxym10代入圆的方程化简整理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m40.则4m(3m4)(1)当0，即m0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点(2)当0，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点(3)当0，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点方法二已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，即圆心为C(2,1)，半径r2.圆心C(2,1)到直线mxym10的距离d .(1)当d0或m2，即m0，解得k0.又x1x2，x1x2，由斜率公式，得y1y2k(x1x2)AB4.两边平方，整理得2k
5、25k20，解得k或k2，符合题意故直线l的方程为x2y50或2xy50.方法二如图所示，OH是圆心到直线l的距离，OA是圆的半径，AH是弦长AB的一半在RtAHO中，OA5，AHAB42，则OH.，解得k或k2.直线l的方程为x2y50或2xy50.1知识清单：(1)直线与圆的三种位置关系(2)圆的切线方程(3)弦长公式2方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法3常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况1直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离答案B解析圆心到直线的距离d，解得m2.课时对点练1直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关
6、系是()A过圆心 B相切C相离 D相交但不过圆心答案D解析圆心(1，1)到直线3x4y120的距离d0)，则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，此时45，解得k1，此时求得小路长度为100 m.6一条光线从点(2,3)射出，经x轴反射后与圆x2y26x4y120相切，则反射光线所在直线的斜率为()A.或 B.或C.或 D.或答案C解析点(2,3)关于x轴的对称点Q的坐标为(2，3)，圆x2y26x4y120的圆心为(3,2)，半径r1.设过点(2，3)且与已知圆相切的直线的斜率为k，则切线方程为yk(x2)3，即kxy2k30，所以圆心(3,2)到切线的距离dr1，解得k或k.7直线l与圆x2
7、y22x4ya0(a0，n0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则的最小值是()A9 B4 C. D.答案A解析圆的标准方程为(x1)2(y2)24，圆心为C(1,2)，半径为r2，直线被圆截得的弦长为4，则圆心在直线上，所以2m2n2，mn1.又m0，n0，所以(mn)5529，当且仅当，即m，n时等号成立，所以的最小值是9.14在平面直角坐标系xOy中，若直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)2相交于A，B两点，且ABC为正三角形，则实数a的值是_. 答案0解析直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且ABC为正三角形，圆心C(1，a)，半径r，所以圆心到直线axy20的距离d，
8、解得a0.15直线yxb与曲线x有且只有一个交点，则b满足()A|b| B1b1或bC1b1 D非以上答案答案B解析曲线x含有限制条件，即x0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分在同一平面直角坐标系中，画出yxb与曲线x(就是x2y21，x0)的图象，如图所示相切时，b，其他位置符合条件时需1b1.16已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2.且被直线l：4x3y30截得的弦长为2.(1)求圆C的方程；(2)设P是直线xy40上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标解(1)设圆心C(a,0)(a0)，则圆心到直线l：4x3y30的距离d，由题意可得，d2()222，即34，解得a2或a(舍去)圆C的方程为(x2)2y24.(2)P是直线xy40上一点设P(m，m4)，PA为圆C的切线，PAAC，即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆设圆上任一点Q(x，y)，则0，(xm，ym4)，(x2，y)，(xm)(x2)y(ym4)0，即x2y22x4ym(xy2)0，令解得或经过A，P，C三点的圆必过定点(1，3)和(2,0)
