1、42.2等差数列的通项公式学习目标1.掌握等差数列的通项公式，能利用等差数列的通项公式进行基本的运算.2.能在实际问题中抽象出等差数列，并解决一些简单的问题导语同学们，前面我们学习过数列的通项公式，我们是根据一个数列的前几项猜测或归纳出的这个数列的通项公式，但对于等差数列，就像是“一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花”一样富有规律性和连续性，我们今天就一起来探讨等差数列的通项公式一、等差数列的通项公式问题你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？提示设一个等差数列的首项为a1，公差为d，由等差数列的定义可知，anan1d(n2)，思路一：anan1d，故有a2a1d，a3a2da12
2、d，a4a3da13d，归纳可得，ana1(n1)d(n2)思路二：a2a1d，a3a2d，a4a3d，anan1d，左右两边分别相加可得，ana1(n1)d，即ana1(n1)d(n2)知识梳理首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式为ana1(n1)d.注意点：(1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式；(2)等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一二、等差数列中的基本计算例1在等差数列an中，(1)已知a51，a82，求a1与d；(2)已知a1a612，a47，求an.解(1)由题意知解得(2)设等差数列的公差为d，由题意知解得所以ana1(n1)d1(n
3、1)22n1，nN*. 反思感悟等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可(2)等差数列an的通项公式ana1(n1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”跟踪训练1在等差数列an中，求解下列各题：(1)已知公差d，a78，则a1_.(2)已知a30，a72a41，则公差d_.(3)已知an的前3项依次为2,6,10，则a15_.答案(1)10(2)(3)58解析(1)由a7a16d，得8a16，故a
4、110.(2)设首项为a1，公差为d，则解得(3)由题意得，d624，把a12，d4代入ana1(n1)d，得an2(n1)44n2，a15415258.三、等差数列的实际应用例2某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1200，an1an20(nN*)，每年的利润构成一个等差数列an，从而ana1(n1)d200(n1)(20)22020n.若an0，则该公司经销这一产品将亏损由an2
5、2020n11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损反思感悟解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题跟踪训练2一架飞机在起飞时，第一秒滑行了2 m，以后每秒都比前一秒多滑行4 m，又知离地前一秒滑行了58 m，则这架飞机起飞所用的时间为_秒答案15解析飞机起飞前每秒滑行的距离组成等差数列，记为an，其中a12，d4，an58，代入等差数列的通项公式ana1(n1)d，得24(n1)58，所以n15(秒)1知识清单：(1)等差
6、数列通项公式的推导(2)等差数列基本量的运算(3)等差数列的实际应用2方法归纳：定义法，累加法，公式法3常见误区：实际问题中项数的确定1在等差数列中，a3a932，a24，则a10等于()A25 B28 C31 D34答案B解析因为在等差数列中，a3a932，a24，所以2a110d32，a1d4，解得a11，d3，所以a10a19d28.2设an是公差为正数的等差数列，若a25，a1a316，则数列an的通项公式为()A3n1 B3n1 C2n9 D2n1答案B解析设公差为d，d0，则解得a12，d3，ana1(n1)d2(n1)33n1.32 020是数列2,4,6,8，的第()A1 00
7、8项 B1 009项 C1 010项D2 020项答案C解析数列2,4,6,8，为等差数列，设等差数列为，由等差数列2,4,6可知其首项为2，公差为2，通项公式为an2(n1)22n，令2n2 020，n1 010.4某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，则需要支付车费_元答案23.2解析根据题意知，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元所以可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2，表示4 km处的车费，公差d1.2
8、，那么当出租车行至14 km处时，n11，此时需要支付车费a1111.2(111)1.223.2(元)课时对点练1数列中，a15，an1an3，那么这个数列的通项公式是()A3n1 B3n2C3n2 D3n1答案B解析因为an1an3，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，则an533n2，nN*.2九章算术有如下问题：“今有金棰，长五尺斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺
9、的质量是()A.斤 B.斤C.斤 D3斤答案B解析依题意，得金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a14，则a52，设公差为d，则244d，解得d，所以a24.3已知在等差数列中，a11，d3，则当an298时，n等于()A90 B96 C98 D100答案D解析由题意知13(n1)298，解得n100.4(多选)已知在等差数列an中，a12，且a4a8a，则公差d等于()A0 B. C1 D2答案AB解析根据题意知，a4a8aa13da17d(a12d)2.又a12，则410d(22d)2，解得d或d0.5在数列an中，若，a18，则数列an的通项公式为()Aan2(n1)2 Ban
10、4(n1)Can8n2 Dan4n(n1)答案A解析由题意得，故数列是首项为2，公差为的等差数列，所以2(n1)n，故an2(n1)2.6在数列an中，an1，a12，则a20等于()A. B. C. D.答案D解析对an1取倒数得3，3，是以为首项，3为公差的等差数列(n1)33n，an，a20.7在等差数列中，若a24，a42，则a6_.答案0解析由题意知，解得a6a15d0.8体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，则队伍里一共有_人答案20解析由题意知，每位同学报的数是一个等差数列，其中首项为
11、17，公差为7，末项为150，设末项为第n项，则177(n1)150，解得n20，则队伍里一共有20人9在等差数列an中，(1)已知a12，d3，n10，求an；(2)已知a13，an21，d2，求n.解(1)a10a1(101)d29329.(2)由ana1(n1)d，得32(n1)21，解得n10.10在等差数列an中，a1a58，a47.(1)求数列的第10项；(2)问112是数列an的第几项？(3)在80到110之间有多少项？解设数列an的公差为d，则解得(1)a10a19d22725.(2)an2(n1)33n5，由1123n5，解得n39.所以112是数列an的第39项(3)由80
12、3n5110，解得28n38，所以n的取值为29,30，38，共10项11数列是等差数列，且a11，a3，那么a2 021等于()A. B C. D答案D解析设等差数列的公差为d，又a11，a3，1，3，312d，解得d1.1n1n，an1.那么a2 0211.12首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析设an24(n1)d，nN*，由解得0，则an_.答案(nN*)解析由aa4，知数列a成等差数列，且a1，a1(n1)44n3(nN*)又an0，an(nN*)15意大利数学家斐波那契于1202年在他撰写的算盘全书中提出一个数列：1,
13、1,2,3,5,8,13,21,34，这个数列称为斐波那契数列，该数列与自然界的许多现象有密切关系，在科学研究中有着广泛的应用，该数列an满足a1a21，an2anan1(nN*)，则该数列的前1 000项中，为奇数的项共有()A333项 B334项C666项 D667项答案D解析因为a1a21为奇数，a32为偶数，a43，a55为奇数，a68为偶数，依此类推，a9，a12，a999为偶数由99933(n1)3n，可得为偶数的项共有333项，那么为奇数的项共有667项16某商场用如下方法促销某品牌的上衣：原销售价为每件280元，改为买一件的单价为265元，买两件的单价为250元，依此类推，每多买一件，则所买各件的单价均再减少15元，但每件的价格不低于160元设an为购买n件这类上衣所花费的金额(元)，求an.解设购买n件商品时，每件的单价为bn元，则数列组成以b1265为首项，15为公差的等差数列又单价不能低于160元，则265(n1)(15)160.解得n8.所以当n8时，bn160.综上所述，得bnnN*.从而annN*.
