1、第2课时数学归纳法的综合应用学习目标1.能用数学归纳法证明数学中的一些简单问题.2.能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的问题一、用数学归纳法证明不等式例1用数学归纳法证明：1(n2，nN*)证明(1)当n2时，左边，右边1.显然，所以不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时，不等式成立，即1，则当nk1时，111k(k为正整数)，则n0k1.(2)证明不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求
2、比较它们的大小对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立，得nk1时成立，主要方法有比较法、放缩法等跟踪训练1求证：(n2)证明(1)当n2时，左边0右边，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时，不等式成立即成立那么当nk1时，当nk1时，不等式成立由(1)(2)可知，不等式对一切nN*且n2时成立二、归纳猜想证明例2在数列an中，a11，a2，且an1(n2，nN*)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明解a2，且an1(n2)，a3，a4.猜想：a
3、n(nN*)下面用数学归纳法证明猜想正确：(1)当n1,2时易知猜想正确(2)假设当nk(k2，kN*)时猜想正确，即ak.当nk1时，ak1.当nk1时猜想也正确由(1)(2)可知，猜想对任意nN*都正确反思感悟(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式跟踪训练2已知数列，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想前n项和Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明解S1；S2；S3；S4.可以看出，上面表示四
4、个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n1.于是可以猜想Sn.下面我们用数学归纳法证明这个猜想(1)当n1时，左边S1，右边，猜想成立(2)假设当nk(kN*)时猜想成立，即，当nk1时，所以当nk1时猜想也成立根据(1)和(2)，可知猜想对任何nN*都成立三、整除问题例3证明：当nN*时，f(n)32n28n9能被64整除证明(1)当n1时，f(1)348964能被64整除(2)假设当nk(k1，kN*)时，f(k)32k28k9能被64整除，则当nk1时，f(k1)32(k1)28(k1)9932k28k179(32k28k9)64k64.故f(k1)也能被64整除综合(
5、1)(2)，知当nN*时，f(n)32n28n9能被64整除反思感悟用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当nk1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及nk时的代数式，根据归纳假设即可证明跟踪训练3用数学归纳法证明当n为正奇数时，xnyn能被xy整除证明(1)当n1时，xnynxy显然能被xy整除(2)假设当nk(kN*且k为奇数)时命题成立，即xkyk能被xy整除，当nk2时，xk2yk2x2(xkyk)yk2x2ykx2(xkyk)yk(xy)(xy)又根据假设xkyk能被xy整除，x2(xkyk)能被xy整除又(xy)(xy)yk能被xy整除，x2(xkyk)yk(xy)
6、(xy)能被xy整除，当nk2时命题成立由(1)(2)知，命题成立1知识清单：(1)利用数学归纳法证明不等式(2)归纳猜想证明(3)利用数学归纳法证明整除问题2方法归纳：数学归纳法3常见误区：从nk到nk1时，注意两边项数的变化1用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A12 B12C13 D13答案B解析由题意得，当n2时，不等式为1，11,1，12,1，由此猜测第n个不等式为_(nN*)答案1课时对点练1用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步应验证()An1 Bn2 Cn3 Dn4答案C解析由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立2已知87,169,3211，则
7、有()A2n2n1 B2n12n1C2n22n5 D2n32n7答案C解析由87,169,3211可知第一项为87212215，第二项为169222225，第三项为3211232235，以此类推第n项为2n22n5.3用数学归纳法证明“(3n1)7n1能被9整除”，在假设nk时命题成立之后，需证明nk1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项能被9整除()A37k6 B37k16C37k3 D37k13答案B解析假设nk时命题成立，即(3k1)7k1能被9整除，当nk1时，7k117k1(3k1)7k7k1(3k1)7k7k137k1(3k1)7k67k37k1637k16(3k1
8、)7k1能被9整除要证上式能被9整除，还需证明37k16也能被9整除4在数列an中，a12，an1(nN*)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出数列an的通项公式为()A. B.C. D.答案B解析a12，a2，a3，a4，可推测an.5(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)k1成立时，总有f(k1)k2成立则下列命题总成立的是()A若f(5)6成立，则f(6)7成立B若f(3)4成立，则当k1时，均有f(k)k1成立C若f(2)对任意nk的自然数都成立，则以下满足条件的k的值为()A1 B2 C3 D4答案CD解析取n1，则，不成立；取n2，则，不成立；取n3
9、，则，成立；取n4，则，成立；证明：当n3时，成立当n3，则，成立；设当nk时，有成立，则当nk1时，有，令t，则3，因为t，故3，因为0，所以，所以当nk1时，不等式也成立，由数学归纳法可知，对任意的n3都成立7已知f(n)1(nN*)，用数学归纳法证明f(2n)时，f(2k1)f(2k)_.答案解析f(2k1)1f(2k)，f(2k1)f(2k).8已知Sn，nN*，则S1_，S2_，S3_，S4_，猜想Sn_.答案解析当n1时，S1；当n2时，S2；当n3时，S3；当n4时，S4.观察猜想得Sn.9已知数列an满足a1，前n项和Snan.(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想an的表达
10、式，并用数学归纳法证明解(1)a1，前n项和Snan，令n2，得a1a23a2，a2a1.令n3，得a1a2a36a3，a3.令n4，得a1a2a3a410a4，a4.(2)猜想an，下面用数学归纳法给出证明当n1时，结论成立；假设当nk(kN*，k1)时，结论成立，即ak，Skak，则当nk1时，Sk1ak1，即Skak1ak1，ak1ak1，ak1，ak1，当nk1时结论成立由可知，对一切nN*都有an成立10求证：(n2，nN*)证明(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时不等式成立，即.则当nk1时，.所以当nk1时不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式对一
11、切n2，nN*都成立11在用数学归纳法证明f(n)1(nN*，n3)的过程中：假设当nk(kN*，k3)，不等式f(k)1成立，则需证当nk1时，f(k1)1也成立若f(k1)f(k)g(k)，则g(k)等于()A. B.C. D.答案B解析当nk1时，f(k1)，又f(k)，所以g(k)，故选B.12已知数列an满足a1，an1，nN*，则下列结论成立的是()Aa2 019a2 020a2 018 Ba2 020a2 019a2 018Ca2 019a2 018a2 020 Da2 018a2 019a1，所以1a2a1，所以1，即a1a3a2，所以，即a3a4a2，所以猜想当连续三项的下标
12、最大项为偶数2n时，有a2n1a2na2n2，以下为证明：当n2时，a3a4a2成立，设当nk时，a2k1a2ka2k2成立，当nk1时，因为a2k1a2ka2k2，所以有，即a2k1a2k1a2k成立所以，即a2k1a2k2a2k.所以当nk1时，猜想也成立故当连续三项的下标最大项为偶数2n时，有a2n1a2na2n2，所以a2 019a2 0201(nN*，n2)时，以下说法正确的是()A第一步应该验证当n1时不等式成立B从“nk到nk1”左边需要增加的代数式是C从“nk到nk1”左边需要增加2k项D从“nk到nk1”左边需要增加的代数式是答案D解析第一步应该验证当n2时不等式成立，所以A
13、不正确；因为，所以从“nk到nk1”左边需要增加的代数式是，所以B不正确，D正确；所以从“nk到nk1”左边需要增加2k1项，所以C不正确14用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3答案A解析假设当nk时，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可15已知f3n9，存在自然数m，使得对任意nN*，都能使m整除f，则最大的m的值为()A30 B9 C36
14、 D6答案C解析由f(n)(2n7)3n9，得f(1)36，f(2)336，f(3)1036，f(4)3436，由此猜想m36.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，显然成立(2)假设nk时，f(k) 能被36整除，即f(k)(2k7)3k9能被36整除；当nk1时，2(k1)73k1931823k1318.3k11是2的倍数，18能被36整除，当nk1时，f(n)也能被36整除由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)(2n7)3n9能被36整除，m的最大值为36. 16试比较2n2与n2的大小(nN*)，并用数学归纳法证明你的结论解当n1时，2124n21，当n2时，2226n24，当n3时，23210n29，当n4时，24218n216，由此可以猜想，2n2n2(nN*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，左边2124，右边1，所以左边右边，所以原不等式成立当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边右边(2)假设当nk时(k3且kN*)时，不等式成立，即2k2k2.那么当nk1时，2k1222k22(2k2)22k22.又2k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，即2k22(k1)2，故2k12(k1)2成立根据(1)和(2)，原不等式对于任意nN*都成立
