1、4.3等比数列4.3.1等比数列的概念学习目标1.通过实例，理解等比数列的概念.2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行简单的求值导语同学们，看这一张A4纸，大家也可以随便找一张纸，看看能折叠多少次，大约折叠上7次就折不动了吧，我们可以做一个假设，假如十张纸的厚度为1毫米，如果你能折叠50次的话，你就可以沿着它到达太阳了，因为每折一次，它的厚度就会变为原来的两倍，其厚度的变化为0.1毫米，0.2毫米，0.4毫米，0.8毫米，由其厚度产生的一组数，就是我们今天要研究的等比数列一、等比数列的概念问题观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题我国古代数学名著孙子算经中有一个有趣的问
2、题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”构成数列：9,92,93,94,95,96,97,98.庄子天下中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：，；的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂，依次排成一列数：，；类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？提示我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律对于我们发现9，9，9，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于，；对于，；也有相同的取值规律知识梳理等比数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前
3、一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示(q0)注意点：(1)定义的符号表示：q(nN*且n2)或q(nN*)；(2)定义强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.例1判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比(1)1，；(2)10,10,10,10,10，；(3)，2，3，4，；(4)1,0,1,0,1,0，；(5)1，4,16，64,256，.解(1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为1；(3)是等比数列，公比为；(4)不是
4、等比数列；(5)是等比数列，公比为4.反思感悟判断一个数列是否为等比数列的方法定义法：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论跟踪训练1(多选)以下数列中，不能判定数列是等比数列的有()A数列1,2,6,18，B数列中，已知2，2C常数列a，a，a，D数列中，q(q0)，其中nN*答案ABC解析A，数列不符合等比数列的定义，不是等比数列；B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；C，当a0时，不是等比数列；D，该数列符合等比数列的定义，是等比数列二
5、、等比数列中的基本计算例2(教材144页例2改编)求出下列等比数列中的未知项：(1)4，a,9；(2)1，b，c，8.解(1)根据题意，得，所以a236，所以a6或a6.(2)根据题意，得解得所以b2，c4.反思感悟一般地，如果几个数成等比数列，则按照等比数列的定义构造方程或方程组求值即可，但要注意题目中的要求，比如正项的等比数列或负项的等比数列特别地，如果三个数a，G，b成等比数列，则我们把G称为a，b的等比中项，即G2ab，若G2ab，则三个数a，G，b不一定成等比数列，要考虑0的情况，但要注意的是a，b的符号必须相同且非零，其等比中项有两个，且互为相反数跟踪训练2若1，a,3成等差数列，
6、1，b,4成等比数列，则的值为()A B. C1 D1答案D解析因为1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，所以a2，b2，所以的值为1.三、等比数列的判定与证明例3(教材144页例3改编)(1)已知数列是等比数列，则aa1a3是否成立？(2)若在数列中，有aa1a3，那么数列一定是等比数列吗？解(1)因为数列是等比数列，所以，即aa1a3成立(2)不一定，比如数列0,0,0，或1,2,4,5,6,7，虽然满足aa1a3，但是它们不是等比数列反思感悟若一个数列是等比数列，则在任意连续三项中都有aanan2；反之不能成立，需要考虑特殊情况或任意性跟踪训练3判断下列数列是否为等比数列：(1)a
7、n2n；(2)ann2；(3)an32n；(4)an2n1.解由等比数列的定义可知，q(n2，nN*)，若q是一个与n无关的常数，则数列是等比数列(1)2，是等比数列；(2)，不是常数，故不是等比数列；(3)2，是等比数列；(4)，不是常数，故不是等比数列1知识清单：(1)等比数列的概念(2)根据等比数列的定义进行简单的运算(3)等比数列的判定与证明2方法归纳：定义法，方程(组)思想3常见误区：由a，G，b成等比数列能推出G2ab；但G2ab不能推出a，G，b成等比数列1下列数列是等比数列的是( )A10,100,1 000,1 000 0B4,6,9,12 C1,0,1,2Dlg 2，lg
8、3，lg 6，lg 18答案A解析A满足等比数列的定义，其余均不满足2(多选)已知a是1,2的等差中项，b是1，16的等比中项，则ab等于()A6 B6 C12 D12答案AB解析a，b2(1)(16)16，b4，ab6，故选AB.3(多选)下列说法正确的有()A等比数列中的项不能为0B等比数列的公比的取值范围是RC若一个常数列是等比数列，则公比为1D22,42,62,82，成等比数列答案AC解析A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；由于，故不是等比数列，D错误4若数列an3n1a2是等比数列，则a_.答案2解析由题意a1a1，a2a1，a3a7，所以有(a1)2(a1)(
9、a7)，解得a2.课时对点练1下列数列是等比数列的是()A1,11,111,1111 B1，2,4，8C1,5,25，125 D22,32,42,52答案B解析由等比数列的定义可知，只有B满足题意，其余均不是2若2，a,6成等比数列，则a等于()A1 B2 C2 D2答案B解析由等比中项的性质可得，a22612，所以a2.3在等比数列an中，a18，a464，则a3等于()A16 B16或16C32 D32或32答案C解析根据等比数列的定义即解得a332.4在数列an中，若an13an，a12，则a4为()A108 B54 C36 D18答案B解析因为an13an，所以数列an是公比为3的等比
10、数列，则a433a154.5已知数列和满足bn，则“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案A解析若数列为等比数列，公比为q，则|q|，为等比数列，充分性成立，若为等比数列，公比q2，若数列为：2,4,8，16，32，满足2，但不是等比数列，必要性不成立，“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件6(多选)在等比数列an中，a1，q2，则a4与a8的等比中项为()A4 B4 C D.答案AB解析由题意a2，a3，a41，a52，a64，a78，a816，设a4与a8的等比中项为x，则有x216，所以x4.7若an
11、为等比数列，且a3a44，a22，则公比q_.答案1或2解析由q，所以a3a2q2q，由q，所以a4a3q2q2，所以2q22q4，即q2q20，解得q1或q2.8在ABC中，若sin A，sin B，sin C成公比为的等比数列，则cos B_.答案解析由sin A，sin B，sin C成公比为的等比数列，即sin Bsin A，sin C2sin A，由正弦定理可知ba，c2a，所以cos B.9已知数列的通项公式，判断它是否为等比数列(1)an3n；(2)an532n；(3)ann1；(4)an3.解由等比数列的定义可知，q(n2，nN*)，若q是一个与n无关的常数，则数列是等比数列(
12、1)，不是常数，故不是等比数列；(2)，是等比数列；(3)，不是常数，故不是等比数列；(4)1，是等比数列10已知在等比数列中，a21，求a1a3的取值范围解设等比数列的公比为q，由等比数列的定义可知a1，a3q，所以a1a3q，当q0时，a1a3q22，当且仅当q1时，等号成立；当q0时，a1a322，当且仅当q1时，等号成立；综上所述，a1a3的取值范围是(，22，)11在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2ac”是“a，b，c成等比数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案C解析因为a，b，c是ABC的三边，所以a，b，c均不为
13、0，则由b2ac，可得，所以a，b，c成等比数列，反之：当a，b，c成等比数列，可得b2ac，所以“b2ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件12“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自庄子天下篇，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则等于()A18 B20 C22 D24答案D解析设这根木棰总长为1, 每天截取其一半，剩下的部分记为an，则an构成a1，公比q的等比数列，所以a1，a2，a5，所以24.13已知不等式x25x60的解集中有三个整数解，构成等比数
14、列的前三项，则数列的第四项是()A8 B. C8或2 D8或答案D解析不等式x25x60的解集为x|1x6，其中成等比数列的三个整数为1,2,4，若数列前3项为1,2,4，则第4项为8，若数列前3项为4,2,1，则第4项为.14在等比数列a,2a2,3a3，中，a_.答案4解析由题意，得2a，解得a4或a1，当a1时，2a20,3a30，不满足条件当a4时，等比数列为：4，6，9，满足条件15已知在等差数列an中，a2a416，a11，a21，a41成等比数列，把各项按如图所示排列则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为_答案275或8解析设公差为d，由a2a416，得a12d8，由a11，a21，a41成等比数列，得(a21)2(a11)(a41)，解得d3或d0，当d3时，a12，an3n1.由题图可得第10行第11个数为数列an中的第92项，a923921275.当d0时，an8，a928.16在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2c2acbc，求A的大小及的值解(1)a，b，c成等比数列，b2ac，又a2c2acbc，a2c2b2bc，即b2c2a2bc，在ABC中，由余弦定理得cos A ，A60.(2)在ABC中，由正弦定理得：sin B，b2ac，A60，sin A.
