苏教版高中数学选择性必修一第4章4.1第2课时《数列的递推公式》教案.docx

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1、第2课时数列的递推公式学习目标1.能根据数列的通项公式解决简单的问题.2.理解递推公式的含义,能根据递推公式求数列的前几项.3.进一步理解数列与函数的关系导语同学们,上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式,我们知道了数列与现代生活密不可分,其实,当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时,数列就应运而生了,因此,数列应用广泛,大家先看本学案上的例1.一、数列的通项公式的简单应用例1已知数列an的通项公式是an2n2n,nN*.(1)写出数列的前3项;(2)判断45是否为数列an中的项,3是否为数列an中的项解(1)在通项公式中依次取n1,2,3,可得an的前3项分别为

2、1,6,15.(2)令2n2n45,得2n2n450,解得n5或n(舍去),故45是数列an中的第5项令2n2n3,得2n2n30,解得n1或n,故3不是数列an中的项反思感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程若方程的解为正整数,则是数列的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的一项跟踪训练1已知数列an的通项公式为anqn,nN*,且a4a272.(1)求实数q的值;(2)判断81是否为此数列中的

3、项解(1)由题意知q4q272,则q29或q28(舍去),q3.(2)当q3时,an3n.显然81不是此数列中的项;当q3时,an(3)n.令(3)n81,无解,81不是此数列中的项二、数列的递推公式问题1如图所示,有三根针和套在一根针上的n个金属片,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上(1)每次只能移动一个金属片;(2)在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为an,你能发现an与an1之间的关系吗?提示其实把n1个金属片从1号针移到3号针,只需3步即可完成,第一步:把最大金属片上面的n个金属片移到2号位,需

4、要an步;第二步:把最大的金属片移到3号位,需要1步;第三步:把2号位上的n个金属片移到3号位,需要an步,故an12an1.知识梳理一般地,如果已知一个数列的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫作这个数列的递推公式注意点:(1)通项公式反映的是an与n之间的关系;(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系,需要知道首项,即可求数列中的每一项例2若数列an满足a12,an1,nN*,求a2 021.解a23,a3,a4,a52a1,an是周期为4的数列,a2 021a45051a12.反思感悟递推公式反映的是相

5、邻两项(或n项)之间的关系对于通项公式,已知n的值即可得到相应的项,而递推公式则要已知首项(或前几项),才可依次求得其他的项若项数很大,则应考虑数列是否具有规律性跟踪训练2已知数列an的首项a11,且满足an1an,则此数列的第3项是()A1 B. C. D.答案C解析a11,a2a11,a3a2.三、由递推公式求通项公式例3(1)在数列an中,a11,an1an,则an等于()A. B. C. D.答案B解析方法一(归纳法)数列的前5项分别为a11,a2112,a32,a42,a52,又a11,由此可得数列的一个通项公式为an.方法二(迭代法)a2a11,a3a2,anan1(n2),则an

6、a112(n2)又a11也适合上式,所以an(nN*)方法三(累加法)an1an,a11,a2a11,a3a2,a4a3,anan1(n2),以上各项相加得an11.所以an(n2)因为a11也适合上式,所以an(nN*)(2)已知数列满足a11,an1an,则an等于()An1 BnC. D.答案D解析由题意,因为数列满足an1an,所以,所以ana11.反思感悟由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式(2)迭代法、累加法或累乘法,递推公式对应的有以下几类:an1an常数,或an1anf(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或

7、迭代法;an1pan(p为非零常数),或an1f(n)an(f(n)是可以求积的),使用累乘法或迭代法;an1panq(p,q为非零常数),适当变形后转化为第类解决跟踪训练3(1)已知数列an满足a11,anan1(n2),求an.解因为anan1(n2),所以anan1.所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1()()()11.又a11也符合上式,所以an1,nN*.(2)已知数列an满足a11,ln anln an11(n2),求an.解因为ln anln an11,所以ln1,即e(n2)所以ana11en1(n2),又a11也符合上式,所以anen1,nN*.四、数列的函

8、数特征问题2在数列的通项公式中,给定任意的序号n,就会有唯一确定的an与其对应,这种情形与以往学的哪方面的知识有联系?提示函数知识梳理通项公式就是数列的函数解析式,以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的,而数列是自变量为离散的数的函数注意点:(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数解析式(2)数列还可以用列表法、图象法表示例4已知数列an的通项公式是an(n1)n,nN*.试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由解方法一an1an(n2)n1(n1)n,当n0,即an1an;当n9时,an1an0,即an1an;当n9

9、时,an1an0,即an1an.则a1a2a3a11a12,故数列an有最大项,为第9项和第10项,且a9a10109.方法二根据题意,令即解得9n10.又nN*,则n9或n10.故数列an有最大项,为第9项和第10项,且a9a10109.反思感悟求数列最值的方法(1)函数的单调性法:令anf(n),通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项(2)不等式组法:先假设有最大(小)项不妨设an最大,则满足(n2),解不等式组便可得到n的取值范围,从而确定n的值;求最小项用不等式组(n2)求得n的取值范围,从而确定n的值跟踪训练4已知数列ann26n5,则该数列中最小项的序号是()A3 B4 C5

10、D6答案A解析因为an424,所以当n3时,an取得最小值1知识清单:(1)数列的递推公式(2)由递推公式求数列的通项公式(3)数列的函数特征2方法归纳:归纳法、迭代法、累加法、累乘法3常见误区:累加法、累乘法中不注意检验首项是否符合通项公式1已知在数列an中,a12,an1ann(nN*),则a4的值为()A5 B6 C7 D8答案D解析因为a12,an1ann,所以a2a11213,a3a22325,a4a33538.2在数列中,an,则()A是常数列 B不是单调数列C是递增数列 D是递减数列答案D解析在数列中,an1,由反比例函数的性质得是递减数列3已知数列an中,a11,a22,且an

11、an2an1(nN*),则a2 021的值为()A2 B1 C. D.答案C解析anan2an1(nN*),由a11,a22,得a32,由a22,a32,得a41,由a32,a41,得a5,由a41,a5,得a6,由a5,a6,得a71,由a6,a71,得a82,由此推理可得数列an是一个周期为6的周期数列,所以a2 021a33665a5.4323是数列n(n2)的第_项答案17解析由ann22n323,解得n17(负值舍去)323是数列n(n2)的第17项课时对点练1已知数列an满足an4an13(n2,nN*),且a10,则此数列的第5项是()A15 B255 C16 D63答案B解析由

12、递推公式,得a23,a315,a463,a5255.2数列,的第n项an与第n1项an1的关系是()Aan12an Ban12anCan1an Dan1an答案D3在数列中,a1,an11,则a2 021等于()A. B1 C2 D3答案B解析当n1时,a211;当n2时,a312;当n3时,a41a1;a511a2;a62;所以数列an是一个周期为3的周期数列,故a2 021a36732a21.4已知数列an满足a12,an1an10(nN*),则此数列的通项公式an等于()An21 Bn1C1n D3n答案D解析an1an1.当n2时,ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)22(1

13、)(n1)3n.当n1时,a12也符合上式故数列的通项公式an3n(nN*)5下列给出的图形中,星星的个数构成一个数列,则该数列的一个递推公式可以是()Aan1ann,nN*Banan1n,nN*,n2Can1an,nN*,n2Danan1,nN*,n2答案B解析结合图象易知,a11,a23a12,a36a23,a410a34,anan1n,nN*,n2.6已知在数列an中,an2n225n30(nN*),则数列中最大项的值是()A107 B108 C108 D109答案B解析由已知得an2n225n3022108,由于nN*,故当n取距离最近的正整数6时,an取得最大值108.数列an中最大

14、项的值为a6108.7已知在数列an中,a1a2ann2(nN*),则a9_.答案解析a1a2a882,a1a2a992,得,a9.8数列的通项公式是ann27n50,则数列中的最小项是_答案38解析数列的通项公式ann27n502,因为nN*,所以当n3或n4时,an最小,此时a3a438,则数列中的最小项是38.9在数列中,a11,an1(nN*)(1)求a2,a3,a4;(2)猜想an(不用证明)解(1)a11,an1,a2,a3,a4.(2)猜想:an.10在数列an中,a12,a1766,通项公式是关于n的一次函数(1)求数列an的通项公式;(2)求a2 021.解(1)设anknb

15、(k0),则有解得an4n2,nN*.(2)a2 02142 02128 082.11已知数列an满足a10,且an1an,则数列an的最大项是()Aa1 Ba9Ca10 D不存在答案A解析因为a10,且an1an,所以an0,所以1,所以an10,an1an0,(n1)an1nan0,(n2),.又a11,ana1.又a11也适合上式,an,nN*.方法二(迭代法)同方法一,得,an1an,anan1an2an3a1a1.又a11,an.方法三(构造特殊数列法)同方法一,得,(n1)an1nan,数列nan是常数列,nan1a11,an(nN*)15在一个数列中,如果对任意nN*,都有ana

16、n1an2k(k为常数),那么这个数列叫作等积数列,k叫作这个数列的公积已知数列an是等积数列,且a11,a22,公积为8,则a1a2a3a12_.答案28解析依题意得数列an是周期为3的数列,且a11,a22,a34,因此a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28.16已知数列an满足:a1m(m为正整数),an1若a44,求m所有可能的取值解若a3为奇数,则3a314,a31.若a2为奇数,则3a211,a20(舍去),若a2为偶数,则1,a22.若a1为奇数,则3a112,a1(舍去),若a1为偶数,2,a14;若a3为偶数,则4,a38.若a2为奇数,则3a218,a2(舍去),若a2为偶数,则8,a216.若a1为奇数,则3a1116,a15,若a1为偶数,则16,a132.故m所有可能的取值为4,5,32.

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