1、习题课倒序相加求和、裂项相消法学习目标1.熟练掌握等差数列与等比数列的前n项和公式.2.根据数列的结构形式会用倒序相加法和裂项相消法求和一、倒序相加求和例1已知数列an的通项公式为ann2(nN*)，设f(x)xlog2，则数列f(an)的各项之和为()A36 B33 C30 D27答案D解析由f(x)xlog2，知0，解得2x8.所以2an0，设bnlog2(3an3)，求数列的前n项和解(1)设等比数列an1的公比为q，其前n项和为Tn，因为S22，S416，所以T24，T420，易知q1，所以T24，T420，由得1q25，解得q2.当q2时，a1，所以an12n1；当q2时，a15，所
2、以an1(4)(2)n1(2)n1.所以an1或an(2)n11.(2)因为an0，所以an1，所以bnlog2(3an3)n1，所以，所以数列的前n项和为.反思感悟(1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的(2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止(3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项跟踪训练2设Sn为等差数列an的前n项和，已知S3a7，a82a33.(1)求an；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公差为d，由题意得解得a13，d2，ana1(n1)d2n
3、1.(2)由(1)得Snna1dn(n2)，bn.Tnb1b2bn1bn.1知识清单：(1)倒序相加法求和(2)裂项相消求和2方法归纳：倒序相加法、裂项求和法3常见误区：裂项求和中要关注正项与负项的个数是否相同及相消后前后剩余的项数1已知an，则a1a2a3a80等于()A7 B8 C9 D10答案B解析因为an，所以a1a2a3a801918.2数列，的前n项和为()A. B.C. D.答案B解析由数列通项公式，得前n项和Sn.3已知数列an：，那么数列bn前n项的和为()A4 B4C1 D.答案A解析an，bn4.Sn44.4设函数f(x)lg，则fff_.答案解析若x1，x2(0,1)，
4、且x1x21，则f(x1)f(x2)1lg1，故fff4f4.课时对点练1设函数f，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得fffff的值为()A9 B11 C. D.答案B解析f，ff2，设Sfffff，则Sfffff，两式相加得2S11222，因此，S11.2在a，b中插入n个数，使它们和a，b组成等差数列a，a1，a2，an，b，则a1a2an等于()An(ab) B.C. D.答案B解析令Snaa1a2anb，倒过来写Snbanan1a1a，两式相加得2Sn，故Sn，所以a1a2anSn，故选B.3数列，满足anbn1，ann25n6，nN*，则的前10项之和为()A. B. C.
5、D.答案D解析因为anbn1，ann25n6，故bn，故的前10项之和为.4谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的好玩的数学一书中，有一篇文章五分钟挑出埃及分数，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数(称为埃及分数)则下列埃及分数，的和是()A. B.C. D.答案B解析，.5已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且lg a1lg a2 0210，若f(x)，则f(a1)f(a2)f(a2 021)等于()A2 020 B4 036 C2 021 D4 038答案C解析正项数列是公比不等于1的等比数列，且lg a1lg a2 0210，lg(a1a2 021)0，即a1a2 0211
6、.函数f，f(x)f2.令Tf(a1)f(a2)f(a2 021)，则Tf(a2 021)f(a2 020)f(a1)，2Tf(a1)f(a2 021)f(a2)f(a2 020)f(a2 021)f(a1)22 021，T2 021.6(多选)设等差数列an满足a25，a6a830，公差为d，则下列说法正确的是()Aan2n1Bd2C.D.的前n项和为答案ABD解析设等差数列an的公差为d.an是等差数列，a6a8302a7，解得a715，又a7a25d. d2.又a25，an2n1. 故AB正确；，故C错误；的前n项和为Sn.故D正确7在数列an中，a12，an1anln，nN*，则an_
7、答案2ln n解析an1anln，an1anlnlnln(n1)ln n.又a12，ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2ln 2ln 1ln 3ln 2ln 4ln 3ln nln(n1)2ln nln 12ln n.8设Sn是数列的前n项和，且a1，an12SnSn10，nN*，则S1S2S2S3S9S10_.答案解析因为an12SnSn10，所以Sn1Sn2SnSn10，所以SnSn12SnSn1，所以2.又3，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，所以322n1，所以Sn，所以SnSn1，所以S1S2S2S3S9S10.9已知等差数列an中，2a2a3a520
8、，且前10项和S10100.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和解(1)由已知得解得所以数列an的通项公式为an12(n1)2n1.(2)bn，所以Tn.10已知数列的前n项和Sn2n24(nN*)，函数f(x)对一切实数x总有f(x)f(1x)1，数列满足bnf(0)ffff(1)分别求数列，的通项公式解当n1，a1S121244，当n2，anSnSn12n1，n1时满足上式，故an2n1 .ff1，ff1，bnfffff，bnfffff，由，得2bnn1，bn.11在各项都为正数的等比数列an中，若a12，且a1a564，则数列的前n项和是()A1 B1C1 D1
9、答案A解析在各项都为正数，公比设为q(q0)的等比数列an中，若a12，且a1a564，则4q464，解得q2，则an2n.数列即为.，数列的前n项和是1，故选A.12设S，S表示不大于S的最大整数(例如：2.342，4)，则S等于()A2 019 B2 020 C2 021 D2 022答案B解析因为1，所以S1112 021，所以2 020.13已知F(x)f3是R上的奇函数，anf(0)fff(1)，nN*，则数列的通项公式为()Aann1 Ban3n1Can3n3 Dann22n3答案C解析由题意知Ff3是R上的奇函数，故FF，代入得ff6， 函数f关于点对称，令tx，则x1t，得到f
10、f6，anffff，anffff，倒序相加可得2an6，即an3.14已知数列的前n项和为Sn，且Snn2n，若bnn，则数列的前n项和Tn_.答案Tn解析Snn2n，当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn1n2nn，满足a11，ann，bnnnn，当n为偶数时，Tn1，当n为奇数时，Tn1，Tn15在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45，这些数叫做三角形数设第n个三角形数为an，则下面结论错误的是()Aanan1n(n1)Ba20210C1 024是三角形数D.答案C解析a2a12，a3a23，a4a34，由此可归纳得anan1n(n1)，故A正确；将前面的所有项累加可得ana1，a20210，故B正确；令1 024，此方程没有正整数解，故C错误；22，故D正确16已知等比数列的各项均为正数，且a11，an2an12an.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为Sn，求证：Sn0)，因为an2an12an，所以q2q2(q0)，解得q2，所以an2n1.(2)证明因为，所以Sn213，因为对n1,01,0，33，即Sn3.
