1、第2课时等比数列前n项和的性质及应用学习目标1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题导语同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质一、等比数列前n项和公式的灵活应用问题1类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？提示若等比数列的项数有2n项，则其偶数项和为S偶a2a4a2n，其奇数项和为S奇a1a3a2n1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，
2、即S偶a1qa3qa2n1qqS奇，所以有q.若等比数列的项数有2n1项，则其偶数项和为S偶a2a4a2n，其奇数项和为S奇a1a3a2n1a2n1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇a1a3a2n1a2n1a2qa4qa2nqqS偶，即S奇a1qS偶知识梳理若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：在其前2n项中，q；在其前2n1项中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1(q1)；S奇a1qS偶例1(1)已知等比数列an共有2n项，其和为240，且(a1a3a2n1)(a2a4a2n)80，则公比q_.答案2解析由题意知S奇S偶240，S奇
3、S偶80，S奇80，S偶160，q2.(2)若等比数列共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为_答案300解析由2，S偶S奇100可知S偶200，S奇100，故S2n300.反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)若等比数列共有2n项，要抓住q和S偶S奇S2n这一隐含特点；若等比数列共有2n1项，要抓住S奇a1qS偶和S偶S奇S2n1这一隐含特点要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质跟踪训练1(1)若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和
4、为341，则这个数列的公比为_，项数为_答案29解析由性质S奇a1qS偶可知3411170q，所以q2，S2n1341170511，解得n4，即这个等比数列的项数为9.(2)一个项数为偶数的等比数列an，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an_.答案12n1，nN*解析设数列an的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇S偶4S偶，即S奇3S偶，因为数列an的项数为偶数，所以有q.又因为a1a1qa1q264，所以aq364，即a112，故所求通项公式为an12n1，nN*.二、等比数列中的片段和问题问题2你能否用等比数列
5、中的Sm，Sn来表示Smn?提示思路一：Smna1a2amam1am2amnSma1qma2qmanqmSmqmSn.思路二：Smna1a2anan1an2anmSna1qna2qnamqnSnqnSm.问题3类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2nSn，S3nS2n(n为偶数且q1除外)的关系吗？提示Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，证明如下：思路一：当q1时，结论显然成立；当q1时，Sn，S2n，S3n.S2nSn，S3nS2n，而22，Sn(S3nS2n)，故有2Sn(S3nS2n)，所以Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列思路二：由性质SmnSm
6、qmSn可知S2nSnqnSn，故有S2nSnqnSn，S3nS2nq2nSn，故有S3nS2nq2nSn，故有2Sn(S3nS2n)，所以Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列知识梳理1若an是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm(n，mN*)2数列an为公比不为1的等比数列(或公比为1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍构成等比数列注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn0.例2在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.解方法一S2n2Sn，q1，由已知得得1qn，即qn，代入得64，S3n6463.方法二an为等比数列，显然公
7、比不等于1，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，S3nS2n6063.方法三由性质SmnSmqmSn可知S2nSnqnSn，即604848qn，得qn，S3nS2nq2nSn6048263.反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)充分利用SmnSmqmSn和Sn，S2nSn，S3nS2n(n为偶数且q1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元跟踪训练2已知等比数列an的前n项和为Sn，S41，S83，则a9a1
8、0a11a12等于()A8 B6 C4 D2答案C解析S4，S8S4，S12S8成等比数列即1,2，a9a10a11a12成等比数列a9a10a11a124.三、等比数列前n项和公式的实际应用例3算法统宗是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地那么该人第1天所走路程里数为()A96 B126 C192 D252答案C解析由题意得，该人每天走的路程形成
9、以a1为首项，以为公比的等比数列，因为该人6天后到达目的地，则有S6378，解得a1192，所以该人第1天所走路程里数为192.反思感悟(1)解应用问题的核心是建立数学模型(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型(3)注意问题是求什么(n，an，Sn)跟踪训练3我国数学巨著九章算术中，有如下问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺问日织几何？其大意为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是()A2 B3 C4 D1答案B解析依题意，每天的织布数构成一个公比q2的等
10、比数列an，其前n项和为Sn，则S55，Sm，S55，解得a1.Sm，解得m3.1知识清单：(1)等比数列奇数项和、偶数项和的性质(2)片段和性质(3)等比数列前n项和的实际应用2方法归纳：公式法、分类讨论3常见误区：应用等比数列片段和性质时易忽略其成立的条件1设等比数列an的前n项和为Sn，若S10S512，则S15S5等于()A34 B23C12 D13答案A解析在等比数列an中，S5，S10S5，S15S10，成等比数列，因为S10S512，所以S52S10，S15S5，得S15S534，故选A.2有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细
11、菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A6秒钟 B7秒钟C8秒钟 D9秒钟答案C解析根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要n秒细菌可将病毒全部杀死，则1222232n1200，200，2n201，结合nN*，解得n8，即至少需8秒细菌将病毒全部杀死3我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_答案3解析设塔的顶层共有a1盏灯，则数列an是公比为2的等比数列，S7381，解得a13.4若等比数列an的公比为，且
12、a1a3a9960，则an的前100项和为_答案80解析令Xa1a3a9960，Ya2a4a100，则S100XY，由等比数列前n项和性质知q，所以Y20，即S100XY80.课时对点练1已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为( )A8 B2 C4 D2答案D解析由q，可知q2.2一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为()A6 B8 C10 D12答案B解析设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则q2，又它的首项为1，所以通项为
13、an2n1，中间两项的和为anan12n12n24，解得n4，所以项数为8.3设等比数列an的前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A. B C. D.答案A解析易知q1，因为a7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)1，即S9S6，所以a7a8a9.4某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为()A1.14a B11(1.151)aC1.15a D10(1.161)a答案B解析从今年起到第5年，这个厂的总产值为a1.1a1.12a1.13a1.14a1
14、.15a11a(1.151)5中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？()A. B. C. D.答案D解析5斗50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S350，则50，解得a1，所以牛主人
15、应偿还粟的量为a322a1.6(多选)下列结论不正确的是()A若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列B等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数C等比数列的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列D如果数列的前n项和为Sn，则对nN*，都有an1Sn1Sn答案BC解析对于A选项，根据等差数列的定义可知A选项正确；对于B选项，对任意nN*，an1，则数列为等差数列，且该数列的前n项和Snn，B选项错误；对于C选项，若等比数列的公比q1，且当n为正偶数时，则Sn0，所以SnS2nSnS3nS2n0，此时，Sn，S2nSn，S3nS2n不
16、成等比数列，C选项错误；对于D选项，对任意的nN*，Sn1an1Snan1，可得an1Sn1Sn，D选项正确7某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_答案6解析每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn2n12.由2n12100，得2n1102.由于2664,27128，则n17，即n6.8设等比数列an中，a1a2a33，a4a5a681，则数列an的公比为_答案3解析易得a4a5a6q3(a1a2a3)，故q327，则q3.9一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和
17、为170，求此数列的公比和项数解方法一设原等比数列的公比为q，项数为2n(nN*)由已知a11，q1，有由，得q2，85,4n256，n4.故公比为2，项数为8.方法二S偶a2a4a2na1qa3qa2n1q(a1a3a2n1)qS奇q，q2.又Sn85170255，由Sn，得255，2n256，n8.即公比q2，项数n8.10已知等比数列的前n项和为Sn，且满足S37，S663.(1)求数列的通项公式；(2)若bnanlog2an，求数列的前n项和Tn.解(1)由题意知S62S3，q1，由等比数列的前n项和等距分段的性质知，q38，故q2，S37，代入q可得a11，an2n1.(2)由(1)
18、知bn2n1n1，Tn12(n1) 2n1.11已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12等于()A40 B60 C32 D50答案B解析由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4,8，S9S6，S12S9是等比数列，因此S1248163260.12若数列xn满足lg xn11lg xn(nN*)，且x1x2x100100，则lg(x101x102x200)的值等于()A200 B120 C110 D102答案D解析因为lg xn11lg xn，所以lg xn1lg xnlg 1，所以10，所以数列是等比数列，公
19、比为10，所以lg(x101x102x200)lglg102.13等比数列an的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n1)，则Tn的最大值为()A. B. C1 D2答案D解析设数列an共有(2m1)项，由题意得S奇a1a3a2m1，S偶a2a4a2m，因为项数为奇数时，q，即2q，所以q.所以Tna1a2anaq12n1，故当n1或2时，Tn取最大值2.14如图，画一个边长为4 cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，这样一共画了5个正方形，则这5个正方形的面积的和是_ cm2.答案31解析记这些正方形的边长为an，
20、则a14，a22，故这些正方形的面积是以16为首项，以为公比的等比数列，所以这5个正方形面积的和为S53231.15设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)f(y)f(xy)若a1，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项和Sn_.答案1解析令xn，y1，则f(n)f(1)f(n1)，又anf(n)，f(1)a1，数列an是以为首项，为公比的等比数列，Sn1.16已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：SSSn(S2nS3n)证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，SSn2a4n2a5n2a，Sn(S2nS3n)na1(2na13na1)5n2a，SSSn(S2nS3n)当q1时，Sn(1qn)，S2n(1q2n)，S3n(1q3n)，SS2(1qn)2(1q2n)22(1qn)2(22qnq2n)又Sn(S2nS3n)2(1qn)(2q2nq3n)2(1qn)2(22qnq2n)，SSSn(S2nS3n)方法二根据等比数列的性质有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，SSSSn(1qn)2S(22qnq2n)，Sn(S2nS3n)S(22qnq2n)SSSn(S2nS3n)
