1、习题课习题课含参数的函数的最大含参数的函数的最大(小小)值值学习目标1.能利用导数求简单的含参的函数的最值问题.2.能根据最值求参数的值或取值范围.3.初步探究有关探索性的问题一、求含参数的函数的最值例 1已知函数 f(x)x3ax2a2x.求函数 f(x)在0，)上的最小值解f(x)3x22axa2(3xa)(xa)，令 f(x)0，得 x1a3，x2a.当 a0 时，f(x)在0，a)上是减函数，在a，)上是增函数所以 f(x)minf(a)a3.当 a0 时，f(x)3x20，f(x)在0，)上是增函数，所以 f(x)minf(0)0.当 a0 时，f(x)的最小值为a3；当 a0 时，
2、f(x)的最小值为 0；当 a0 时，求函数 f(x)x3ax2a2x 在a,2a上的最值解f(x)(3xa)(xa)(a0)，令 f(x)0，得 x1a3，x2a.所以 f(x)在a，a3 上是增函数，在a3，a上是减函数，在a,2a上是增函数因为 f(a)a3，fa3 527a3，f(a)a3，f(2a)2a3.所以 f(x)maxf(2a)2a3.f(x)minf(a)f(a)a3.反思感悟含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于 0、等于 0、小于 0 三种情况若导
3、函数恒不等于 0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于 0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值跟踪训练 1已知 aR，函数 f(x)x213xa，求 f(x)在区间0,2上的最大值解f(x)13x3ax2，则 f(x)x22ax.令 f(x)0，解得 x10，x22a.令 g(a)f(x)max，当 2a0，即 a0 时，f(x)在0,2上是增函数，从而 g(a)f(x)maxf(2)834a.当 2a2，即 a1 时，f(x)在0,2上是减函数，从而 g(a)f(x)maxf(0)0.当 02a2，即 0a1 时，f(x)在 0,2a上是减函数，在(2
4、a,2上是增函数，从而 g(a)834a，0a23，0，23a23.二、由最值求参数的值或范围例 2已知函数 f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为 3，最小值为29，求 a，b 的值解由题设知 a0，否则 f(x)b 为常数函数，与题设矛盾求导得 f(x)3ax212ax3ax(x4)，令 f(x)0，得 x10，x24(舍去)当 a0，且当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当 x0 时，f(x)取得极大值 b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又 f(1)7a3，f(2)16a3f(1)
5、，f(2)16a329，解得 a2.当 af(1)，f(2)16a293，解得 a2.综上可得，a2，b3 或 a2，b29.反思感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题跟踪训练 2已知函数 h(x)x33x29x1 在区间k,2上的最大值是 28，求 k 的取值范围解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令 h(x)0，得 x13，x21，当 x 变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)h(x)00h(x)284当 x3
6、 时，h(x)取极大值 28；当 x1 时，h(x)取极小值4.而 h(2)3h(3)28，如果 h(x)在区间k,2上的最大值为 28，则 k3.所以 k 的取值范围为(，3三、与最值有关的探究性问题例 3已知 f(x)axln x，aR.(1)当 a1 时，求曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)是否存在实数 a，使 f(x)在区间(0，e上的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由解(1)当 a1 时，f(x)xln x，f(x)11xx1x，所求切线的斜率为 f(2)12，切点为(2,2ln 2)，所求切线的方程为 y(2ln 2)12(x2)，即 x2y
7、22ln 20.(2)假设存在实数 a，使 f(x)axln x 在区间(0，e上的最小值是 3，f(x)a1xax1x.当 a0 时，f(x)在(0，e上是减函数，故 f(x)minf(e)ae13，解得 a4e(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数 a；当 01a1e时，f(x)在0，1a 上是减函数，在1a，e上是增函数，故 f(x)minf1a 1ln a3，解得 ae2，满足条件；当1ae，即 00 时，令 f(x)0，得 xa3或 x0，令 f(x)0，得 0 xa3，即函数 f(x)在(，0)和a3，上是增函数，在0，a3 上是减函数；当 a0，得 x0 或 xa3，令 f(x)
8、0，得a3x0 时，函数 f(x)在(，0)和a3，上是增函数，在0，a3 上是减函数；当 a0 时，函数 f(x)在0，a3 上是减函数，在a3，上是增函数；当a31，即 a3 时，函数 f(x)在0，1上是减函数，f(x)的最大值为 f(0)1，最小值为 f(1)2a11，解得 a4，满足题意；当 0a31，即 0a3，不符合题意综上可得，a 的值为 4.1.知识清单：(1)求含参的函数的最值(2)由最值求参数的值或取值范围(3)与最值有关的探究性问题2.方法归纳：转化法、分类讨论3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏1已知函数 f(x)ax3c，且 f(1)6，函数在1
9、,2上的最大值为 20，则 c 的值为()A1B4C1D0答案B解析由题意得，f(x)3ax2，则 f(1)3a6，解得 a2，所以 f(x)6x20，故 f(x)在1,2上是增函数，则 f(2)223c20，解得 c4.2函数 f(x)xaex的最大值为()AaB.(a1)eCe1aDea1答案D解析f(x)xaex，则 f(x)1xaex，所以当 x0，当 x1a 时，f(x)0)在1，)上的最大值为33，则 a 的值为()A.31B.34C.43D.31答案A解析由 f(x)xx2a，得 f(x)ax2(x2a)2，当 a1 时，若 x a，则 f(x)0，f(x)单调递减，若 1x0，
10、f(x)单调递增，故当 x a时，函数 f(x)有最大值12 a33，解得 a341，不符合题意当 a1 时，函数 f(x)在1，)上是减函数，最大值为 f(1)12，不符合题意当 0a1 时，函数 f(x)在1，)上是减函数此时最大值为 f(1)1a133，解得 a 31，符合题意故 a 的值为 31.4已知函数 f(x)2x36x2a 在2,2上有最小值37，则 a 的值为_，f(x)在2,2上的最大值为_答案33解析f(x)6x212x6x(x2)由 f(x)0，得 x0 或 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)40a
11、极大值 a8a所以当 x2 时，f(x)min40a37，所以 a3.所以当 x0 时，f(x)取得最大值 3.课时对点练课时对点练1若函数 f(x)asin x13sin 3x 在 x3处有最值，则 a 等于()A2B1C.2 33D0答案A解析f(x)在 x3处有最值，x3是函数 f(x)的极值点又 f(x)acos xcos 3x，f3 acos3cos 0，解得 a2.2若函数 yx332x2m 在2,1上的最大值为92，则 m 等于()A0B1C2D.52答案C解析y3x23x3x(x1)，易知当1x0 时，y0，当2x1 或 0 x0，所以函数 yx332x2m 在(2，1)，(0
12、,1)上是增函数，在(1,0)上是减函数，又当 x1时，ym12，当 x1 时，ym52，所以最大值为 m5292，解得 m2.3函数 f(x)3xx3在0，m上的最大值为 2，最小值为 0，则实数 m 的取值范围为()A1，3B1，)C(1，3D(1，)答案A解析f(x)3xx3，f(x)33x23(1x)(1x)，令 f(x)0，则 x1 或 x1(舍去)，当 0 x0，f(x)单调递增；当 x1 时，f(x)0，当 a0 时，f(x)0 恒成立，故函数 f(x)单调递增，不存在最大值；当 a0 时，令 f(x)0,得 x1a，当 x0，1a 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，当 x
13、1a，时，f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围是()A(1，)B(，1)C1，)D(，1答案A解析f(x)ex1，令 f(x)0，解得 x0，令 f(x)0，解得 x0 恒成立，则 1a0，解得 a1，故选 A.6(多选)函数 f(x)x33axa 在(0,1)内有最小值，则 a 的值可以为()A0B.13C.12D1答案BC解析f(x)3x23a，且 f(x)0 有解，ax2.又x(0,1)，0a0，则令 f(x)0，解得 x a.因为 x0,1，所以只考虑 x a的情况若 0 a1，即 0a1，则当 x a时，f(x)有最大值 f(a)2a a.(如下表所示)x0(0，a)a(a，1
14、)1f(x)0f(x)02a a3a1若 a1，即 a1，则当 0 x1 时，f(x)0，函数 f(x)在0,1上是增函数，当 x1 时，f(x)有最大值 f(1)3a1.综上可知，当 a0，x0 时，f(x)有最大值 0，当 0a3)上的最小值解(1)f(x)2ex(x2)，由 f(x)0，得 x2；由 f(x)0，得 x3，t12.当3t2 时，f(x)在t，2)上是减函数，在(2，t1上是增函数，f(x)minf(2)2e2.当 t2 时，f(x)在t，t1上是增函数，f(x)minf(t)2et(t1)f(x)min2e2，3t2，2ett1，t2.11若存在 x1e，e，使得不等式
15、2xln xx2mx30 成立，则实数 m 的最大值为()A.1e3e2B.3ee2C4De21答案A解析2xln xx2mx30，m2ln xx3x，设 h(x)2ln xx3x，则 h(x)2x13x2(x3)(x1)x2，当1ex1 时，h(x)0，h(x)单调递减，当 10，h(x)单调递增存在 x1e，e，m2ln xx3x成立，mh(x)max，h1e 21e3e，h(e)2e3e，h1e h(e).m1e3e2.12已知函数 f(x)sin2x6 x22mx 在0，6 上是减函数，则实数 m 的最小值是()A 3B32C.32D.3答案D解析由 f(x)sin2x6 x22mx
16、在0，6 上是减函数，得 f(x)2cos2x6 xm0 x0，6，即 2cos2x6 xm x0，6，令 g(x)2cos2x6 x x0，6，则 g(x)4sin2x6 1 x0，6，当 x0，6 时，62x62，则 24sin2x6 4，所以54sin2x6 13，即 g(x)0，kx，x0.若x0R 使得 f(x0)f(x0)成立，则实数 k 的取值范围是()A.(，1B.，1eC.1，)D.1e，答案D解析由题意可得，存在实数 x00，使得 f(x0)f(x0)成立，假设 x00，则x00，即 ln x1，解得 xe，令 h(x)0，即 ln x1，解得 0 x12，当 x(2,0)
17、时，f(x)的最小值为 1，则 a 的值为_答案1解析由题意知，当 x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令 f(x)1xa0，得 x1a，当 0 x0；当1ax2 时，f(x)1)，若对于任意的 x1,1，都有 f(x)0 成立，则实数 a的值为_答案4解析由题意得，f(x)3ax23，当 a1 时，令 f(x)3ax230，解得 xaa，aa1,1当1x0，f(x)单调递增；当aaxaa时，f(x)0，f(x)单调递减；当aa0，f(x)单调递增所以只需 faa 0，且 f(1)0 即可，由 faa 0，得 aaa33aa10，解得 a4，由 f(1)0，可得 a4，综上可得 a4.16已
18、知函数 f(x)ln xax.(1)当 a0 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在1，e上的最小值是32，求 a 的值解函数 f(x)ln xax的定义域为(0，)，f(x)1xax2xax2，(1)a0，故函数在(0，)上是增函数f(x)的增区间为(0，)，无减区间(2)当 x1，e时，分如下情况讨论：当 a1 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，其最小值为 f(1)a1，这与函数在1，e上的最小值是32相矛盾；当 1ae 时，函数 f(x)在1，a)上有 f(x)0，f(x)单调递增，函数 f(x)的最小值为 f(a)ln a1，由 ln a132，得 a e；当 ae 时，显然函数 f(x)在1，e上是减函数，其最小值为 f(e)1ae2，与最小值是32相矛盾综上所述，a 的值为 e.
