苏教版高一数学选择性必修一第1章1.5.2第3课时《对称问题》教案及课件.zip

第第 3 课时对称问题课时对称问题学习目标 1.学会点点、点线、线线对称问题.2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题一、几类常见的对称问题例 1已知直线 l：y3x3，求：(1)点 P(4,5)关于 l 的对称点的坐标；(2)直线 yx2 关于 l 的对称直线的方程；(3)直线 l 关于点 A(3,2)的对称直线的方程解(1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P(x，y)，则线段 PP的中点在直线 l 上，且直线 PP垂直于直线 l，即Error!Error!解得Error!Error!点 P的坐标为(2,7)(2)解方程组Error!Error!得Error!Error!则点(52，92)在所求直线上在直线 yx2 上任取一点 M(2,0)，设点 M 关于直线 l 的对称点为 M(x0，y0)，则Error!Error!解得Error!Error!点 M(175，95)也在所求直线上由两点式得直线方程为y929592x5217552，化简得 7xy220，即为所求直线方程(3)在直线 l 上取两点 E(0,3)，F(1,0)，则 E，F 关于点 A(3,2)的对称点分别为 E(6,1)，F(7,4)因为点 E，F在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为y141x676，即 3xy170.反思感悟对称问题的解决方法(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式点 P(x，y)关于 Q(a，b)的对称点为 P(2ax,2by)(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求设 l 的方程为 AxByC0(A2B20)，点 P(x0，y0)，则 l 关于 P 点的对称直线方程为 A(2x0 x)B(2y0y)C0.(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”设 P(x0，y0)，l：AxByC0(A2B20)，P 关于 l 的对称点 Q 可以通过条件：PQl；PQ 的中点在 l 上来求得(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题跟踪训练 1已知 P(1,2)，M(1,3)，直线 l：y2x1.(1)求点 P 关于直线 l 的对称点 R 的坐标；(2)求直线 PM 关于直线 l 的对称直线方程解(1)设点 P 关于直线 l 的对称点 R 的坐标为(x，y)，则有Error!Error!解得 R(75，45).(2)因为 M(1,3)的坐标满足直线 l 的方程，又点 P 关于直线 l 的对称点为 R(75，45)，则直线 MR 为所求的直线，方程为 11x2y170.二、光的反射问题例 2一束光线从原点 O(0,0)出发，经过直线 l：8x6y25 反射后通过点 P(4,3)，求反射光线的方程及光线从 O 点到达 P 点所走过的路程解设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a，b)，由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得Error!Error!解得Error!Error!点 A 的坐标为(4,3)反射光线的反向延长线过 A(4,3)，又由反射光线过 P(4,3)，A，P 两点纵坐标相等，故反射光线所在直线的方程为 y3.联立Error!Error!解得Error!Error!由于反射光线为射线，故反射光线的方程为 y3(x 78).由光的性质可知，光线从 O 到 P 的路程即为 AP 的长度 AP，由 A(4,3)，P(4,3)知，AP4(4)8，即光线从 O 经直线 l 反射后到达 P 点所走过的路程为 8.反思感悟根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的利用点的对称关系可以求解跟踪训练 2如图所示，已知点 A(4，0)，B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到点 P，则光线所经过的路程是()A210 B6 C33 D25答案A解析由题意知，AB 所在直线的方程为 xy40.如图，点 P 关于直线 AB 的对称点为D(4,2)，关于 y 轴的对称点为 C(2,0)，则光线所经过的路程为 CD210.三、利用对称解决有关最值问题例 3在直线 l：xy10 上求两点 P，Q.使得：(1)P 到 A(4,1)与 B(0,4)的距离之差最大；(2)Q 到 A(4,1)与 C(3,0)的距离之和最小解(1)如图，设点 B 关于 l 的对称点 B的坐标为(a，b)，连接 BB，则 kBBkl1，即b4a11，ab40，BB的中点(a2，b42)在直线 l 上，a2b4210，即 ab60.由得Error!Error!点 B的坐标为(5，1)于是 AB所在直线的方程为y111x454，即 2xy90.易知|PBPA|PBPA|，当且仅当 P，B，A 三点共线时，|PBPA|最大联立直线 l 与 AB的方程，解得 x103，y73，即 l 与 AB的交点坐标为(103，73).故点 P 的坐标为(103，73).(2)如图，设点 C 关于 l 的对称点为 C，可求得 C的坐标为(1,2)，AC所在直线的方程为 x3y70.易知 QAQCQAQC，当且仅当 Q，A，C三点共线时，QAQC最小联立直线 AC与 l 的方程，解得 x52，y32，即 AC与 l 的交点坐标为(52，32).故点 Q 的坐标为(52，32).反思感悟利用对称性求距离的最值问题由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线 l 上求一点，使这点到两定点 A，B 的距离之差最大的问题，若这两点 A，B 位于直线 l 的同侧，则只需求出直线 AB 的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若 A，B 两点位于直线 l 的异侧，则先求 A，B 两点中某一点，如 A 关于直线 l 的对称点 A，得直线 AB 的方程，再求其与直线 l 的交点即可对于在直线 l 上求一点 P，使 P 到平面上两点 A，B 的距离之和最小的问题可用类似方法求解跟踪训练 3在平面直角坐标系中，点 A，B 分别是 x 轴、y 轴上两个动点，又有一定点M(3,4)，则 MAABBM 的最小值是()A10 B11 C12 D13答案A解析如图，设点 M(3,4)关于 y 轴的对称点为 P(3,4)，关于 x 轴的对称点为 Q(3，4)，则 MBPB，MAAQ.当 A 与 B 重合于坐标原点 O 时，MAABBMPOOQPQ33244210；当 A 与 B 不重合时，MAABBMAQABPBPQ10.综上可知，当 A 与 B 重合于坐标原点 O 时，MAABBM 取得最小值，最小值为 10.1知识清单：(1)关于点点、点线、线线的对称问题(2)反射问题(3)利用对称解决有关最值问题2方法归纳：转化化归、数形结合3常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆1点(3,9)关于直线 x3y100 对称的点的坐标是()A(1，3)B(17，9)C(1,3)D(17,9)答案A解析设点(3,9)关于直线 x3y100 对称的点的坐标为(a，b)，则由Error!Error!解得Error!Error!所以该点的坐标为(1，3)2若点 P(3,4)和点 Q(a，b)关于直线 xy10 对称，则()Aa1，b2 Ba2，b1Ca4，b3 Da5，b2答案D解析由Error!Error!解得Error!Error!3直线 x2y10 关于直线 x1 对称的直线方程是()Ax2y10 B2xy10C2xy30 Dx2y30答案D解析在直线 x2y10 上任取两点，如：(1,1)，(0，12)，这两点关于直线 x1 对称的点分别为(1,1)，(2，12)，两对称点所在直线的方程为 y112(x1)，即 x2y30.4已知 A(3,0)，B(0,3)，从点 P(0,2)射出的光线经 x 轴反射到直线 AB 上，又经过直线 AB 反射回到 P 点，则光线所经过的路程为()A210 B6 C33 D.26答案D解析由题易知直线 AB 的方程为 xy3，点 P(0,2)关于 x 轴的对称点为 P1(0，2)，设点P(0,2)关于直线 AB 的对称点为 P2(a，b)，如图，Error!Error!解得Error!Error!P2(1,3)，光线所经过的路程为 PQQMMPP1P21232226.课时对点练课时对点练1已知点 A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(2，3)，则点 P(x，y)到原点的距离是()A4 B.13 C.15 D.17答案D解析根据中点坐标公式得Error!Error!解得Error!Error!所以点 P 的坐标为(4,1)，则点 P(x，y)到原点的距离 d40210217.2点 P(2,5)关于直线 xy10 的对称点的坐标为()A(6，3)B(3，6)C(6，3)D(6,3)答案C解析设点 P(2,5)关于直线 l 的对称点的坐标为(x，y)，则Error!Error!解得Error!Error!故点 P(2,5)关于直线 l 的对称点的坐标为(6，3)3直线 2x3y60 关于点(1，1)对称的直线方程是()A2x3y70 B3x2y20C2x3y80 D3x2y120答案C解析直线 2x3y60 关于点(1，1)对称的直线斜率不变，设对称后的直线方程 l为 2x3yc0，又点(1，1)到两直线的距离相等，|23c|2232|236|2232，化简得|c1|7，解得 c6 或 c8，l的方程为 2x3y60(舍)或 2x3y80，即直线 2x3y60 关于点(1，1)对称的直线方程是 2x3y80.4已知直线 l：axbyc0 与直线 l关于直线 xy0 对称，则 l的方程为()Abxayc0 Bbxayc0Cbxayc0 Dbxayc0答案A5过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线方程是()A2xy30 B2xy50Cx2y0 Dx2y40答案C解析过点(2,1)与点(1,3)的直线的斜率为13212，故过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线和这两点所在直线垂直，故所求直线的斜率为12，故其方程为 y112(x2)，即 x2y0.6光线从点 A(3,5)射到 x 轴上，经 x 轴反射后经过点 B(2,10)，则光线从 A 到 B 的路程为()A52 B25 C510 D105答案C解析点 A(3,5)关于 x 轴的对称点 A(3，5)，则光线从 A 到 B 的路程即 AB 的长，AB5102322510.即光线从 A 到 B 的路程为 510.7已知 A(3,8)，B(2,2)，在 x 轴上有一点 M，使得 MAMB 取最小值，则点 M 的坐标为_答案(1,0)解析如图，作点 A 关于 x 轴的对称点 A(3，8)，连接 AB，则 AB 与 x 轴的交点即为 M，连接 AM.因为 B(2，2)，所以直线 AB 的方程为y282x232，即 2xy20.令 y0，得 x1，所以点 M 的坐标为(1,0)8已知入射光线经过点 M(3,4)，被直线 l：xy30 反射，反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_答案6xy60解析设点 M(3,4)关于直线 l：xy30 的对称点为 M(a，b)，则反射光线所在直线过点 M，由Error!Error!解得Error!Error!即点 M(1,0)又反射光线经过点 N(2,6)，所以所求直线的方程为y060 x121，即 6xy60.9已知点 M(3,5)，在直线 l：x2y20 和 y 轴上各找一点 P 和 Q，使MPQ 周长最小解由点 M(3,5)及直线 l，可求得点 M 关于 l 的对称点为 M1(5,1)同样可求得点 M 关于 y 轴的对称点为 M2(3,5)由 M1及 M2两点可得到直线 M1M2的方程为 x2y70.解方程组Error!Error!得交点 P(52，94).令 x0，得 M1M2与 y 轴的交点 Q(0，72).所以当 P 和 Q 的坐标分别为(52，94)，(0，72)时，MPQ 的周长最小10已知直线 l：xy30，一束光线从点 A(1,2)处射向 x 轴上一点 B，又从点 B 反射到 l上的一点 C，最后从点 C 反射回点 A.(1)试判断由此得到的ABC 的个数；(2)求直线 BC 的方程解(1)如图，设 B(m,0)，点 A 关于 x 轴的对称点为 A(1，2)，点 B 关于直线 xy30的对称点为 B(3，m3)根据光学知识，知点 C 在直线 AB 上，点 C 又在直线 BA 上，且直线 AB 的方程为 y2m1(xm)由Error!Error!得 x35mm3.又直线 AB的方程为 y2m14(x1)，由Error!Error!得 xm3m5.所以35mm3m3m5，即 3m28m30，解得 m13或3.当 m13时，符合题意；当 m3 时，点 B 在直线 xy30 上，不能构成三角形综上，符合题意的ABC 只有1 个(2)由(1)得 m13，则直线 AB 的方程为 3xy10，即直线 BC 的方程为 3xy10.11已知点(1，1)关于直线 l1：yx 的对称点为 A，设直线 l2经过点 A，则当点 B(2，1)到直线 l2的距离最大时，直线 l2的方程为()A2x3y50 B3x2y50C3x2y50 D2x3y50答案B解析设 A(a，b)，则Error!Error!解得Error!Error!所以 A(1,1)设点 B(2，1)到直线 l2的距离为 d，当 dAB 时取得最大值，此时直线 l2垂直于直线 AB，又1kAB1112132，所以直线 l2的方程为 y132(x1)，即 3x2y50.12已知 A(2,1)，B(1,2)，点 C 为直线 y13x 上的动点，则 ACBC 的最小值为()A22 B23 C25 D27答案C解析设 B 关于直线 y13x 的对称点为 B(x0，y0)，则Error!Error!解得 B(2，1)由平面几何知识得 ACBC 的最小值即是 BA22211225.故选 C.13著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：xa2yb2可以转化为平面上点 M(x，y)与点 N(a，b)的距离 结合上述观点，可得 f(x)x24x20 x22x10的最小值为()A25 B52 C4 D8答案B解析f(x)x24x20 x22x10 x22042x12032，f(x)的几何意义为点 M(x,0)到两定点 A(2,4)与 B(1,3)的距离之和，设点 A(2,4)关于 x 轴的对称点为 A，则 A(2，4)要求 f(x)的最小值，可转化为求 MAMB 的最小值，利用对称思想可知 MAMBAB12234252，即 f(x)x24x20 x22x10的最小值为 52.14唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为 B(1，4)，若将军从点 A(1,2)处出发，河岸线所在直线方程为 xy3.则“将军饮马“的最短总路程为()A.13 B.17 C217 D10答案C解析如图所示，设点 B 关于直线 xy3 的对称点为 C(a，b)，由题意可得Error!Error!解得Error!Error!即 C(7,4)，在直线 xy3 上取点 P，由对称性可得 PBPC，所以 PAPBPAPCAC172242217，当且仅当 A，P，C 三点共线时，等号成立，因此，“将军饮马“的最短总路程为 217.15若函数 yxx21的图象上存在两点 P，Q 关于点(1,0)对称，则直线 PQ 的方程是_答案x4y10解析根据题意，设 P(p，pp21)，Q(q，qq21)，又线段 PQ 的中点是(1,0)，所以Error!Error!整理得Error!Error!所以 p，q 为方程 x22x10 的根，解得 x12，所以 P(12，24)，Q(12，24)或 P(12，24)，Q(12，24).由两点式得直线 PQ 的方程为 x4y10.16已知直线 l：x2y80 和两点 A(2,0)，B(2，4)(1)在直线 l 上求一点 P，使 PAPB 最小；(2)在直线 l 上求一点 P，使 PBPA 最大解(1)设 A 关于直线 l 的对称点为 A(m，n)，则Error!Error!解得Error!Error!故 A(2,8)因为 P 为直线 l 上的一点，则 PAPBPAPBAB，当且仅当 B，P，A三点共线时，PAPB 取得最小值，为 AB，点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点，则Error!Error!得Error!Error!故所求的点 P 的坐标为(2,3)(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点，则|PBPA|AB，当且仅当 A，B，P 三点共线时，|PBPA|取得最大值，为 AB，点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点，又直线 AB 的方程为 yx2，则Error!Error!得Error!Error!故所求的点 P 的坐标为(12,10)苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件对称问题对称问题一、几类常见的对称问题一、几类常见的对称问题例1已知直线l：y3x3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；解设点P关于直线l的对称点为P(x，y)，则线段PP的中点在直线l上，且直线PP垂直于直线l，点P的坐标为(2,7).(2)直线yx2关于l的对称直线的方程；在直线yx2上任取一点M(2,0)，设点M关于直线l的对称点为M(x0，y0)，化简得7xy220，即为所求直线方程.(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.解在直线l上取两点E(0,3)，F(1,0)，则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E(6,1)，F(7,4).因为点E，F在所求直线上，即3xy170.反思感悟对称问题的解决方法(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P(2ax,2by).(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为AxByC0(A2B20)，点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0 x)B(2y0y)C0.(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0，y0)，l：AxByC0(A2B20)，P关于l的对称点Q可以通过条件：PQl；PQ的中点在l上来求得.(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题.跟踪训练1已知P(1,2)，M(1,3)，直线l：y2x1.(1)求点P关于直线l的对称点R的坐标；解设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)，(2)求直线PM关于直线l的对称直线方程.解因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程，则直线MR为所求的直线，方程为11x2y170.二、光的反射问题二、光的反射问题例2一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x6y25反射后通过点P(4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程.解设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得点A的坐标为(4,3).反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(4,3)，A，P两点纵坐标相等，故反射光线所在直线的方程为y3.由于反射光线为射线，由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度AP，由A(4,3)，P(4,3)知，AP4(4)8，即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.反思感悟根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解.跟跟踪踪训训练练2如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是解析由题意知，AB所在直线的方程为xy40.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，三、利用对称解决有关最值问题三、利用对称解决有关最值问题例3在直线l：xy10上求两点P，Q.使得：(1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大；解如图，设点B关于l的对称点B的坐标为(a，b)，连接BB，ab40，点B的坐标为(5，1).即2xy90.易知|PBPA|PBPA|，当且仅当P，B，A三点共线时，|PBPA|最大.(2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小.解如图，设点C关于l的对称点为C，可求得C的坐标为(1,2)，AC所在直线的方程为x3y70.易知QAQCQAQC，当且仅当Q，A，C三点共线时，QAQC最小.反思感悟利用对称性求距离的最值问题由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A，得直线AB的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.跟跟踪踪训训练练3在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3,4)，则MAABBM的最小值是A.10 B.11 C.12 D.13解析如图，设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(3,4)，关于x轴的对称点为Q(3，4)，则MBPB，MAAQ.当A与B重合于坐标原点O时，MAABBMPOOQPQ当A与B不重合时，MAABBMAQABPBPQ10.综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，MAABBM取得最小值，最小值为10.1.知识清单：(1)关于点点、点线、线线的对称问题.(2)反射问题.(3)利用对称解决有关最值问题.2.方法归纳：转化化归、数形结合.3.常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.点(3,9)关于直线x3y100对称的点的坐标是A.(1，3)B.(17，9)C.(1,3)D.(17,9)解析设点(3,9)关于直线x3y100对称的点的坐标为(a，b)，1234所以该点的坐标为(1，3).2.若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线xy10对称，则A.a1，b2 B.a2，b1C.a4，b3 D.a5，b212343.直线x2y10 关于直线x1对称的直线方程是A.x2y10 B.2xy10C.2xy30 D.x2y30123412344.已知A(3,0)，B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为解析由题易知直线AB的方程为xy3，点P(0,2)关于x轴的对称点为P1(0，2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图，1234课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(2，3)，则点P(x，y)到原点的距离是所以点P的坐标为(4,1)，12345678910 11 12 13 14 15 162.点P(2,5)关于直线xy10的对称点的坐标为A.(6，3)B.(3，6)C.(6，3)D.(6,3)解析设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)，故点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(6，3).12345678910 11 12 13 14 15 163.直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程是A.2x3y70 B.3x2y20C.2x3y80 D.3x2y12012345678910 11 12 13 14 15 16解析直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线斜率不变，设对称后的直线方程l为2x3yc0，又点(1，1)到两直线的距离相等，化简得|c1|7，解得c6 或c8，l的方程为2x3y60(舍)或 2x3y80，即直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程是2x3y80.12345678910 11 12 13 14 15 164.已知直线l：axbyc0与直线l关于直线xy0对称，则l的方程为A.bxayc0 B.bxayc0C.bxayc0 D.bxayc05.过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线方程是A.2xy30 B.2xy50C.x2y0 D.x2y40故过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线和这两点所在直线垂直，12345678910 11 12 13 14 15 166.光线从点A(3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的路程为解析点A(3,5)关于x轴的对称点A(3，5)，则光线从A到B的路程即AB的长，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 167.已知A(3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得MAMB取最小值，则点M的坐标为_.解析如图，作点A关于x轴的对称点A(3，8)，连接AB，则AB与x轴的交点即为M，连接AM.因为B(2，2)，(1,0)即2xy20.令y0，得x1，所以点M的坐标为(1,0).12345678910 11 12 13 14 15 168.已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_.6xy60解析设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，又反射光线经过点N(2,6)，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 169.已知点M(3,5)，在直线l：x2y20和y轴上各找一点P和Q，使MPQ周长最小.解由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5,1).同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(3,5).由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x2y70.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1610.已知直线l：xy30，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A.(1)试判断由此得到的ABC的个数；解如图，设B(m,0)，点A关于x轴的对称点为A(1，2)，点B关于直线xy30的对称点为B(3，m3).根据光学知识，知点C在直线AB上，点C又在直线BA上，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16当m3时，点B在直线xy30上，不能构成三角形.综上，符合题意的ABC只有1个.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)求直线BC的方程.则直线AB的方程为3xy10，即直线BC的方程为3xy10.12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.已知点(1，1)关于直线l1：yx的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为A.2x3y50 B.3x2y50C.3x2y50 D.2x3y50设点B(2，1)到直线l2的距离为d，当dAB时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(2,4)与B(1,3)的距离之和，设点A(2,4)关于x轴的对称点为A，则A(2，4).要求f(x)的最小值，可转化为求MAMB的最小值，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(1，4)，若将军从点A(1,2)处出发，河岸线所在直线方程为xy3.则“将军饮马“的最短总路程为12345678910 11 12 13 14 15 16解析如图所示，设点B关于直线xy3的对称点为C(a，b)，在直线xy3上取点P，由对称性可得PBPC，12345678910 11 12 13 14 15 16所以PAPBPAPCAC当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立，拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.若函数y 的图象上存在两点P，Q关于点(1,0)对称，则直线PQ的方程是_.x4y10又线段PQ的中点是(1,0)，所以p，q为方程x22x10的根，12345678910 11 12 13 14 15 16由两点式得直线PQ的方程为x4y10.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1616.已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4).(1)在直线l上求一点P，使PAPB最小；12345678910 11 12 13 14 15 16解设A关于直线l的对称点为A(m，n)，故A(2,8).因为P为直线l上的一点，则PAPBPAPBAB，12345678910 11 12 13 14 15 16当且仅当B，P，A三点共线时，PAPB取得最小值，为AB，点P即是直线AB与直线l的交点，故所求的点P的坐标为(2,3).12345678910 11 12 13 14 15 16(2)在直线l上求一点P，使PBPA最大.解A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PBPA|AB，当且仅当A，B，P三点共线时，|PBPA|取得最大值，为AB，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为yx2，故所求的点P的坐标为(12,10).