苏教版高中数学选择性必修一第3章习题课《抛物线的标准方程及性质的应用》教案及课件.zip

习题课抛物线的标准方程及性质的应用习题课抛物线的标准方程及性质的应用学习目标 1.了解抛物线的简单应用.2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题.3.掌握与抛物线有关的轨迹求法一、直线与抛物线的位置关系问题 1类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系提示如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点知识梳理设直线 l：ykxm，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于 x 的方程 k2x22(kmp)xm20.(1)若 k0，当 0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当 0 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当 0，即 k1，且 k0 时，l 与 C 有两个公共点，此时直线 l 与 C 相交；当 0，即 k1 时，l 与 C 有一个公共点，此时直线 l 与 C 相切；当 1 时，l 与 C 没有公共点，此时直线 l 与 C 相离综上所述，当 k1 或 0 时，l 与 C 有一个公共点；当 k1 时，l 与 C 没有公共点反思感悟判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式 来判定；当二次项系数等于 0 时，直线与抛物线相交于一点跟踪训练 1已知抛物线方程为 y28x，若过点 Q(2,0)的直线 l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是_答案1,1解析由题意知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x2)，代入抛物线方程，消去y 并整理，得 k2x2(4k28)x4k20，当 k0 时，显然满足题意；当 k0 时，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0 或 00)的焦点的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB 叫做焦点弦，如图如何求弦 AB 的长度？提示1.利用弦长公式2根据抛物线的定义 ABx1x2p.知识梳理设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ABx1x2p.例 2已知抛物线方程为 y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于 A，B 两点，且 AB52p，求 AB 所在的直线方程解由题意知焦点 F(p2，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，若 ABx 轴，则 AB2p52p，不满足题意所以直线 AB 的斜率存在，设为 k，则直线 AB 的方程为 yk(xp2)，k0.由Error!消去 x，整理得 ky22pykp20.由根与系数的关系得 y1y22pk，y1y2p2.所以 AB(11k2)y1y2211k2 y1y224y1y22p(11k2)52p，解得 k2.所以 AB 所在的直线方程为 2xyp0或 2xyp0.延伸探究若本例条件不变，求弦 AB 的中点 M 到 y 轴的距离解如图，过 A，B，M 分别作准线 xp2的垂线交准线于点 C，D，E.由定义知 ACBD52p，则梯形 ABDC 的中位线 ME54p，点 M 到 y 轴的距离为54pp234p.反思感悟求弦长问题的方法(1)一般弦长：AB 1k2x1x2，或 AB11k2|y1y2|.(2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ABx1x2p.跟踪训练 2已知 yxm 与抛物线 y28x 交于 A，B 两点(1)若 AB10，求实数 m 的值；(2)若 OAOB，求实数 m 的值解由Error!得 x2(2m8)xm20.由(2m8)24m26432m0，得 m0)只有一个交点，则直线 l 与抛物线的位置关系是()A相交 B相切C相离 D相交或相切答案D解析当直线 l 与 y 轴平行或重合时，直线 l 与抛物线 x22py(p0)有一个交点，此时直线 l与抛物线是相交的当直线 l 的斜率存在，直线 l 与抛物线 x22py(p0)只有一个交点时，直线 l 与抛物线相切3若直线 xy2 与抛物线 y24x 交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点坐标是_.答案(4,2)解析由Error!得 x28x40，0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28，y1y2x1x244，故线段 AB 的中点坐标为(4,2)4直线 ykx2 与抛物线 y28x 有且只有一个公共点，则 k_.答案0 或 1解析当 k0 时，直线与抛物线有唯一交点，当 k0 时，联立方程消去 y，得 k2x24(k2)x40，由题意 16(k2)216k20，k1.综上，k0 或 1.课时对点练课时对点练一、选择题1设圆 C 与圆 x2(y3)21 外切，与直线 y0 相切，则圆心 C 的轨迹为()A抛物线 B双曲线C椭圆 D圆答案A解析设圆 C 的半径为 r，则圆心 C 到直线 y0 的距离为 r，由两圆外切可得，圆心 C 到点(0,3)的距离为 r1，所以圆心 C 到点(0,3)的距离和它到直线 y1 的距离相等，符合抛物线的特征，故圆心 C 的轨迹是抛物线2已知过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，AFBF16，则 p 的值为()A2 B4 C2 2 D8答案C解析抛物线 y22px(p0)的焦点为 F(p2，0)，准线方程为 xp2，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 yxp2，代入 y22px 可得 x23pxp240，x1x23p，x1x2p24，由抛物线的定义可知，AFx1p2，BFx2p2，AFBF(x1p2)(x2p2)x1x2p2(x1x2)p24p2432p2p242p216，解得 p2 2.3设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，过 F 且斜率为 1 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，若线段 AB 的中点为 E，O 为坐标原点，且 OE 13，则 p 等于()A2 B3 C6 D12答案A解析由题意可知 F(p2，0)，则直线 AB 为 yxp2，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得Error!相减得，y2 1y2 22p(x1x2)y1y22p，因为 E 为线段 AB 的中点，所以 E(x1x22，y1y22)，即 E(x1x22，p)，因为 E 在直线 AB：yxp2上，所以 E(3p2，p)，又因为 OE 13，所以 p2.4设抛物线 y24x 上一点 P 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l：3x4y120 的距离为 d2，则d1d2的最小值为()A2 B.153 C.163 D3答案A解析由Error!得 3y216y480，25612480，则 y1y24m，y1y216，所以 y2 1y2 2(y1y2)22y1y216m232，当 m0 时，y2 1y2 2的最小值为 32.三、解答题7过抛物线 y22px(p0)的顶点 O 作两条互相垂直的弦交抛物线于 A，B 两点求证：(1)A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；(2)直线 AB 过定点证明设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点 P(x0，y0)，(1)kOAy1x1，kOBy2x2，OAOB，kOAkOB1，x1x2y1y20，y2 12px1，y2 22px2，y2 12py2 22py1y20，y10，y20，y1y24p2，x1x24p2.(2)当直线 AB 的斜率存在时，y2 12px1，y2 22px2，(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，y1y2x1x22py1y2，kAB2py1y2，直线 AB：yy12py1y2(xx1)，y2pxy1y2y12px1y1y2，y2pxy1y2y2 12px1y1y2y1y2，y2 12px1，y1y24p2，y2pxy1y24p2y1y2，y2py1y2(x2p)，AB 过定点(2p,0)当直线 AB 的斜率不存在时，则 kOA1，直线 OA：yx，与抛物线方程联立，得 x22px，A(2p,2p)，故直线 AB 过定点(2p,0)，综上，AB 过定点(2p,0)8已知抛物线 y22x，过点 Q(2,1)作一条直线交抛物线于 A，B 两点，试求弦 AB 的中点的轨迹方程解方法一设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦 AB 的中点为 M(x，y)，则 y1y22y，当直线 AB的斜率存在时，kABy1y2x1x2y1x2.易知Error!，得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，所以 2yy1y2x1x22，即 2yy1x22，即(y12)2x74(y0)当直线 AB 的斜率不存在，即 ABx 轴时，AB 的中点为(2,0)，适合上式，故所求轨迹方程为(y12)2x74.方法二当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y1k(x2)(k0)，由Error!得k2y2y12k0，则Error!所以 k(，0)(0，)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 P(x，y)，则 y1y22k，y1y2212kk.所以 x1x212(y2 1y2 2)12(y1y2)22y1y2124k2412kk22k4k2k2.则 xx1x221k2k2k2，yy1y221k，消去 k 得(y12)2x74(y0)当直线 AB 的斜率不存在，即 ABx 轴时，AB 的中点为(2,0)，适合上式故所求轨迹方程为(y12)2x74.9.如图，已知抛物线 y24x，其焦点为 F.(1)求以 M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；(2)若互相垂直的直线 m，n 都经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点和C，D 两点，求四边形 ACBD 面积的最小值解(1)由题意知，中点弦所在的直线斜率存在设所求直线交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y2 14x1，y2 24x2，kPQy1y2x1x24y1y22，所求直线方程为 2xy10.(2)依题意知，直线 m，n 的斜率存在，设直线 m 的方程为 yk(x1)，与抛物线方程联立，得Error!消去 y，整理得 k2x2(2k24)xk20，其两根为 x3，x4，且 x3x44k22.由抛物线的定义可知，AB2x3x44k24，同理，CD4k24，四边形 ACBD 的面积 S12(4k24)(4k24)8(2k21k2)32.当且仅当 k1 时取得最小值苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件抛物线的标准方程及性质的抛物线的标准方程及性质的应用应用一、直线与抛物线的位置关系一、直线与抛物线的位置关系问题1类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系.提示如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点.设直线l：ykxm，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x22(kmp)xm20.(1)若k0，当 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当 时，直线与抛物线相离，没有公共点.(2)若k0，直线与抛物线有 交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.知识梳理知识梳理000，即k1，且k0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；当0，即k1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；当1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.综上所述，当k1或0时，l与C有一个公共点；当k1时，l与C没有公共点.反思感悟判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.跟踪训练1已知抛物线方程为y28x，若过点Q(2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.解析由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2(4k28)x4k20，当k0时，显然满足题意；当k0时，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0或00)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？提示1.利用弦长公式.2.根据抛物线的定义ABx1x2p.设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB .知识梳理知识梳理x1x2p例2已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且AB ，求AB所在的直线方程.所以直线AB的斜率存在，设为k，消去x，整理得ky22pykp20.解得k2.所以AB所在的直线方程为2xyp0或2xyp0.延伸探究若本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离.反思感悟求弦长问题的方法(2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ABx1x2p.跟踪训练跟踪训练2已知yxm与抛物线y28x交于A，B两点.(1)若AB10，求实数m的值；得x2(2m8)xm20.由(2m8)24m26432m0，得m0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是A.相交 B.相切C.相离 D.相交或相切解析当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x22py(p0)有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的.当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x22py(p0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切.12343.若直线xy2与抛物线y24x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是_.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28，y1y2x1x244，故线段AB的中点坐标为(4,2).(4,2)12344.直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k_.解析当k0时，直线与抛物线有唯一交点，当k0时，联立方程消去y，得k2x24(k2)x40，由题意16(k2)216k20，k1.综上，k0或1.0或1课时对点练课时对点练123456789一、选择题1.设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则圆心C的轨迹为A.抛物线 B.双曲线C.椭圆 D.圆解析设圆C的半径为r，则圆心C到直线y0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r1，所以圆心C到点(0,3)的距离和它到直线y1的距离相等，符合抛物线的特征，故圆心C的轨迹是抛物线.1234567892.已知过抛物线y22px(p0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，AFBF16，则p的值为1234567891234567892p216，1234567893.设抛物线y22px(p0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且OE ，则p等于A.2 B.3 C.6 D.121234567891234567894.设抛物线y24x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x4y120的距离为d2，则d1d2的最小值为得3y216y480，25612480，则y1y24m，y1y216，32123456789三、解答题7.过抛物线y22px(p0)的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A，B两点.求证：(1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；123456789证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)，OAOB，kOAkOB1，x1x2y1y20，y10，y20，y1y24p2，x1x24p2.123456789(2)直线AB过定点.123456789(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，123456789AB过定点(2p,0).当直线AB的斜率不存在时，则kOA1，直线OA：yx，与抛物线方程联立，得x22px，A(2p,2p)，故直线AB过定点(2p,0)，综上，AB过定点(2p,0).1234567898.已知抛物线y22x，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程.123456789解方法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x，y)，则y1y22y，得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，当直线AB的斜率不存在，即ABx轴时，AB的中点为(2,0)，适合上式，123456789方法二当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y1k(x2)(k0)，所以k(，0)(0，).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为P(x，y)，当直线AB的斜率不存在，即ABx轴时，AB的中点为(2,0)，适合上式.1234567891234567899.如图，已知抛物线y24x，其焦点为F.(1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；解由题意知，中点弦所在的直线斜率存在.设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所求直线方程为2xy10.123456789(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.解依题意知，直线m，n的斜率存在，设直线m的方程为yk(x1)，消去y，整理得k2x2(2k24)xk20，其两根为x3，x4，同理，CD4k24，当且仅当k1时取得最小值.123456789