苏教版高中数学选择性必修一第3章3.3.1《抛物线的标准方程》课件.pptx

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1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件通过前面的学习可以发现,如果动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为k,当0k1时,点M的轨迹为双曲线.一个自然的问题是:当k1时,即动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离相等时,点M的轨迹会是什么形状?导 语导 语一、抛物线的定义与标准方程一、抛物线的定义与标准方程问题1利用信息技术作图,如图所示,F是定点,l是不经过点F的定直线,H是直线l上任意一点,过点H作MHl,线段FH的垂直平分线m交MH于点M,拖动点H,点M随之运动,你能发现点M满足的几何条件吗?它的轨迹是什么形状?提示点M随着点H运动的过程中,始终有MFMH,即点M与定点F

2、的距离等于它到定直线l的距离,点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离 的点的轨迹叫作抛物线(parabola),定点F叫作抛物线的 ,定直线l叫作抛物线的_(directrix).知识梳理知识梳理相等焦点准线问题2比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程,你认为如何建立坐标系,可能使所求抛物线的方程形式简单?提示过F作直线FN直线l,垂足为N,以直线NF为x轴,线段NF的垂直平分线为y轴,建立如图所示的直角坐标系xOy,又设P(x,y)为抛物线上任意一点.过点P作PHl,垂足为H,将上式两边平方并化简,得y22px(p0).知识梳理知识梳

3、理图形标准方程焦点坐标准线方程_y22px(p0)y22px(p0)_x22py(p0)x22py(p0)注意点:注意点:(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.(2)标准方程的结构特征:顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上.(3)抛物线的开口方向:抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围.例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)准线方程为2y40;解准线方程为2y40,即y2,故抛物线的焦点在y轴的正半轴上,设其方程为x22py(p0).2p8,故所求抛物线的标准方程为x28y.(2)过点(3,4);解点(3,4)在第四象限,抛物线开口向右或向下,设抛物线的标准方程为y22px(

4、p0)或x22p1y(p10).把点(3,4)的坐标分别代入y22px和x22p1y中,得(4)22p3,322p1(4),(3)焦点为直线x3y150与坐标轴的交点.解令x0,得y5;令y0,得x15.抛物线的焦点为(0,5)或(15,0).所求抛物线的标准方程为x220y或y260 x.反思感悟求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,其步骤为(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.(2)求参数p的值.(3)确定抛物线的标准方程.提醒:当焦点位置不确定时,应分类讨论,也可以设y2ax或x2ay(a0)的形式,以简化讨论过程.跟踪训练1(1)若抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(1,0),则

5、p_,准线方程为_.解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0),2x1(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为_.解析设方程为x22my(m0),由焦点到准线的距离为5,知|m|5,m5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x210y和x210y.x210y和x210y二、抛物线定义的应用二、抛物线定义的应用例2(1)已知抛物线C:y2x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,AF x0,则x0等于A.1 B.2 C.4 D.8x01.(2)已知点P是抛物线y22x上的一个动点,求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.解由抛物线的定义可知,抛物

6、线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由题图可知,点P,延伸探究1.若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2),求PAPF的最小值.解将x3代入y22x,所以点A在抛物线内部.则PAPFPAd.2.若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l1:3x4y 0,求点P到直线3x4y 0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.解如图,作PQ垂直于准线l于点Q,即所求最小值为1.PA1PQPA1PFA1Fmin.反思感悟 抛物线定义的应用实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.跟踪

7、训练跟踪训练2(1)已知抛物线y22px(p0)的焦点F1,若点A(2,4)在抛物线上,则点A到焦点的距离为_.解析把点A(2,4)代入抛物线y22px,得164p,即p4,从而抛物线的焦点为(2,0).故点A到焦点的距离为4.4(2)设点A的坐标为(1,),点P在抛物线y28x上移动,P到直线x1的距离为d,则dPA的最小值为A.1 B.2 C.3 D.4解析由题意知抛物线y28x的焦点为F(2,0),点P到准线x2的距离为d1,于是PFd1,所以dPAPF1PA的最小值为AF1413.三、抛物线的实际应用三、抛物线的实际应用例3(1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点

8、处,已知灯口直径是60 cm,灯深40 cm,则光源到反光镜顶点的距离是A.11.25 cm B.5.625 cmC.20 cm D.10 cm解析如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程是y22px(p0).A(40,30)在抛物线上,3022p40,(2)某抛物线形拱桥跨度是20米,拱桥高度是4米,在建桥时,每4米需用一根支柱支撑,则其中最长支柱的长为_米.3.84解析如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x22py(p0).依题意知,点P(10,4)在抛物线上,1002p(4),2p25.即抛物线方程为x225y.每4米需用一根支柱支撑,支柱横坐标分别为6,2,2,6.由图知,AB是最长

9、的支柱之一.反思感悟涉及拱桥、隧道的问题,通常需建立适当的平面直角坐标系,利用抛物线的标准方程进行求解.跟踪训练跟踪训练3河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5 m时,水面宽为8 m,一小船宽4 m,高2 m,载货后船露出水面上的部分高0.75 m,则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时,小船开始不能通航?解如图所示,以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x22py(p0),由题意可知点B(4,5)在抛物线上,当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为AA,则A(2,yA),又知船面露出水面上的部分高为0.75 m,所以h|yA|0

10、.752(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m时,小船开始不能通航.1.知识清单:(1)抛物线的定义.(2)抛物线的标准方程.(3)抛物线的实际应用.2.方法归纳:待定系数法、定义法、转化化归.3.常见误区:混淆抛物线的焦点位置和方程形式.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.准线与x轴垂直,且经过点(1,)的抛物线的标准方程是A.y22x B.y22xC.x22y D.x22y解析由题意可设抛物线的标准方程为y2ax,1234因此抛物线的标准方程为y22x,故选B.12342.抛物线y2x2的焦点到准线的距离为解析根据题意,抛物线的方程为y2x2,12343.设抛物线y28x上一点P

11、到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是_.再根据抛物线的定义,可知所求距离为426.64.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽_米.解析建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的方程为x22py(p0),则点(2,2)在抛物线上,代入可得p1,所以x22y.1234课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.已知抛物线的焦点坐标是(1,0),则抛物线的标准方程为A.x24y B.x24yC.y24x D.y24x解析抛物线的焦点坐标是(1,0),抛物线的标准方程为y24x.12345678910

12、 11 12 13 14 15 162.已知抛物线的标准方程为y2ax,则其焦点坐标为12345678910 11 12 13 14 15 16A.y1 B.y2C.x1 D.x2所以抛物线的准线方程是y1.12345678910 11 12 13 14 15 164.已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1),则该抛物线焦点坐标为A.(1,0)B.(1,0)C.(0,1)D.(0,1)12345678910 11 12 13 14 15 165.(多选)经过点P(4,2)的抛物线的标准方程可以为A.y2x B.x28yC.x28y D.y28x解析若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线的方

13、程为y22px(p0),又因为抛物线经过点P(4,2),所以抛物线的方程为y2x.若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线的方程为x22py(p0),又因为抛物线经过点P(4,2),所以422p(2),解得p4,所以抛物线的方程为x28y.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 166.点M(5,3)到抛物线yax2准线的距离为6,那么抛物线的方程是A.y12x2B.y12x2或y36x2C.y36x212345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16y24x123

14、45678910 11 12 13 14 15 16解析因为交点在第一象限,其准线垂直于x轴,所以可设抛物线方程为y22px(p0),准线方程为x1,由此知道双曲线方程中c1,焦点为(1,0),8.在抛物线y212x上,且与抛物线的焦点的距离等于9的点的坐标是_.解析由方程y212x,知抛物线的焦点为F(3,0),准线为l:x3.设所求点为P(x,y),则由抛物线的定义知PF3x,又PF9,3x9,x6,12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 169.已知抛物线C:x22py(p0)上两点A,B且ABy轴,OAOB,AOB

15、的面积为16,求抛物线C的方程.12345678910 11 12 13 14 15 16解不妨设点A在第一象限且A(m,n),则B(m,n),可得m22pn,ABy轴,且OAOB,即AOB为等腰直角三角形,则OA的斜率为1,即mn,由AOB的面积为16,解得mn4,p2,所以抛物线C的方程为x24y.10.抛物线y22px(p0)上有一点M的横坐标为9,它到焦点的距离为10,求此抛物线方程和M点的坐标.M点到准线的距离为d,则dMF10,抛物线方程为y24x.将M(9,y)代入抛物线的方程,得y6.M点坐标为(9,6)或(9,6).12345678910 11 12 13 14 15 161

16、2345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.为响应国家“节能减排,开发清洁能源”的号召,小华制作了一个太阳灶,如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成,已知镜口圆的直径为2 m,镜深0.25 m,为达到最佳吸收太阳光的效果,容器灶圈应距离集光板顶点A.0.5 m B.1 mC.1.5 m D.2 m12345678910 11 12 13 14 15 16解析若使吸收太阳光的效果最好,容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处,如图,画出抛物面的轴截面,并建立坐标系,设抛物线方程为x22py(p0),集光板端点A(1,0.25),代入抛物线方

17、程可得20.25p1,解得p2,所以抛物线方程为x24y,故焦点坐标是F(0,1).所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.解析过点Q作QQl于点Q,如图.PQPF34,又焦点F到准线l的距离为4,QFQQ3.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1613.设抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,点M在C上,MF5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的标准方程为A.y24x或y28xB.y22x或y28xC.y24x或y216xD.y22x或y216x又因为圆过点(0,2),所以yM4,解得p2或p8,所以抛物线C的标

18、准方程为y24x或y216x,故选C.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.对标准形式的抛物线,给出下列条件:焦点在y轴上;焦点在x轴上;抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1).其中满足抛物线方程为y210 x的是_.(要求填写适合条件的序号)12345678910 11 12 13 14 15 16解析抛物线y210 x的焦点在x轴上,满足,不满足;设M(1,y0)是y210 x上一点,若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则k2,此时存在,所以满足

19、.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 16即x28y的焦点为F(0,2).所以a222123,设P(x,y),因为点P在x轴上方,12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1616.一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道,如图所示,已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍.若拱口宽为a m,求能使卡车通过的a的最小整数值.解以拱顶O为原点,拱高OD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.设抛物线方程为x22py(p0).AB是OD的4倍,抛物线方程为x2ay.12345678910 11 12 13 14 15 16设点E(0.8,y0)为抛物线上一点,代入方程x2ay,得0.82ay0,a的最小整数值为13.12345678910 11 12 13 14 15 16

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