1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为k，当0k1时，点M的轨迹为双曲线.一个自然的问题是：当k1时，即动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？导 语导 语一、抛物线的定义与标准方程一、抛物线的定义与标准方程问题1利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MHl，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？提示点M随着点H运动的过程中，始终有MFMH，即点M与定点F
2、的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离 的点的轨迹叫作抛物线(parabola)，定点F叫作抛物线的 ，定直线l叫作抛物线的_(directrix).知识梳理知识梳理相等焦点准线问题2比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？提示过F作直线FN直线l，垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，又设P(x，y)为抛物线上任意一点.过点P作PHl，垂足为H，将上式两边平方并化简，得y22px(p0).知识梳理知识梳
3、理图形标准方程焦点坐标准线方程_y22px(p0)y22px(p0)_x22py(p0)x22py(p0)注意点：注意点：(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上.(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围.例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)准线方程为2y40；解准线方程为2y40，即y2，故抛物线的焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x22py(p0).2p8，故所求抛物线的标准方程为x28y.(2)过点(3，4)；解点(3，4)在第四象限，抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y22px(
4、p0)或x22p1y(p10).把点(3，4)的坐标分别代入y22px和x22p1y中，得(4)22p3,322p1(4)，(3)焦点为直线x3y150与坐标轴的交点.解令x0，得y5；令y0，得x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0).所求抛物线的标准方程为x220y或y260 x.反思感悟求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.(2)求参数p的值.(3)确定抛物线的标准方程.提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2ax或x2ay(a0)的形式，以简化讨论过程.跟踪训练1(1)若抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，则
5、p_，准线方程为_.解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，2x1(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为_.解析设方程为x22my(m0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|5，m5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210y和x210y.x210y和x210y二、抛物线定义的应用二、抛物线定义的应用例2(1)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AF x0，则x0等于A.1 B.2 C.4 D.8x01.(2)已知点P是抛物线y22x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.解由抛物线的定义可知，抛物
6、线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由题图可知，点P，延伸探究1.若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求PAPF的最小值.解将x3代入y22x，所以点A在抛物线内部.则PAPFPAd.2.若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l1：3x4y 0，求点P到直线3x4y 0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.解如图，作PQ垂直于准线l于点Q，即所求最小值为1.PA1PQPA1PFA1Fmin.反思感悟 抛物线定义的应用实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.跟踪
7、训练跟踪训练2(1)已知抛物线y22px(p0)的焦点F1，若点A(2，4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为_.解析把点A(2，4)代入抛物线y22px，得164p，即p4，从而抛物线的焦点为(2,0).故点A到焦点的距离为4.4(2)设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y28x上移动，P到直线x1的距离为d，则dPA的最小值为A.1 B.2 C.3 D.4解析由题意知抛物线y28x的焦点为F(2,0)，点P到准线x2的距离为d1，于是PFd1，所以dPAPF1PA的最小值为AF1413.三、抛物线的实际应用三、抛物线的实际应用例3(1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点
8、处，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是A.11.25 cm B.5.625 cmC.20 cm D.10 cm解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程是y22px(p0).A(40,30)在抛物线上，3022p40，(2)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为_米.3.84解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0).依题意知，点P(10，4)在抛物线上，1002p(4)，2p25.即抛物线方程为x225y.每4米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6，2,2,6.由图知，AB是最长
9、的支柱之一.反思感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.跟踪训练跟踪训练3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？解如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x22py(p0)，由题意可知点B(4，5)在抛物线上，当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h|yA|0
10、.752(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m时，小船开始不能通航.1.知识清单：(1)抛物线的定义.(2)抛物线的标准方程.(3)抛物线的实际应用.2.方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归.3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.准线与x轴垂直，且经过点(1，)的抛物线的标准方程是A.y22x B.y22xC.x22y D.x22y解析由题意可设抛物线的标准方程为y2ax，1234因此抛物线的标准方程为y22x，故选B.12342.抛物线y2x2的焦点到准线的距离为解析根据题意，抛物线的方程为y2x2，12343.设抛物线y28x上一点P
11、到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_.再根据抛物线的定义，可知所求距离为426.64.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽_米.解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22py(p0)，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.1234课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.已知抛物线的焦点坐标是(1,0)，则抛物线的标准方程为A.x24y B.x24yC.y24x D.y24x解析抛物线的焦点坐标是(1,0)，抛物线的标准方程为y24x.12345678910
12、 11 12 13 14 15 162.已知抛物线的标准方程为y2ax，则其焦点坐标为12345678910 11 12 13 14 15 16A.y1 B.y2C.x1 D.x2所以抛物线的准线方程是y1.12345678910 11 12 13 14 15 164.已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为A.(1,0)B.(1,0)C.(0，1)D.(0,1)12345678910 11 12 13 14 15 165.(多选)经过点P(4，2)的抛物线的标准方程可以为A.y2x B.x28yC.x28y D.y28x解析若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方
13、程为y22px(p0)，又因为抛物线经过点P(4，2)，所以抛物线的方程为y2x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x22py(p0)，又因为抛物线经过点P(4，2)，所以422p(2)，解得p4，所以抛物线的方程为x28y.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 166.点M(5,3)到抛物线yax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是A.y12x2B.y12x2或y36x2C.y36x212345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16y24x123
14、45678910 11 12 13 14 15 16解析因为交点在第一象限，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y22px(p0)，准线方程为x1，由此知道双曲线方程中c1，焦点为(1,0)，8.在抛物线y212x上，且与抛物线的焦点的距离等于9的点的坐标是_.解析由方程y212x，知抛物线的焦点为F(3,0)，准线为l：x3.设所求点为P(x，y)，则由抛物线的定义知PF3x，又PF9，3x9，x6，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 169.已知抛物线C：x22py(p0)上两点A，B且ABy轴，OAOB，AOB
15、的面积为16，求抛物线C的方程.12345678910 11 12 13 14 15 16解不妨设点A在第一象限且A(m，n)，则B(m，n)，可得m22pn，ABy轴，且OAOB，即AOB为等腰直角三角形，则OA的斜率为1，即mn，由AOB的面积为16，解得mn4，p2，所以抛物线C的方程为x24y.10.抛物线y22px(p0)上有一点M的横坐标为9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标.M点到准线的距离为d，则dMF10，抛物线方程为y24x.将M(9，y)代入抛物线的方程，得y6.M点坐标为(9,6)或(9，6).12345678910 11 12 13 14 15 161
16、2345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点A.0.5 m B.1 mC.1.5 m D.2 m12345678910 11 12 13 14 15 16解析若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，集光板端点A(1,0.25)，代入抛物线方
17、程可得20.25p1，解得p2，所以抛物线方程为x24y，故焦点坐标是F(0,1).所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.解析过点Q作QQl于点Q，如图.PQPF34，又焦点F到准线l的距离为4，QFQQ3.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1613.设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，MF5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为A.y24x或y28xB.y22x或y28xC.y24x或y216xD.y22x或y216x又因为圆过点(0,2)，所以yM4，解得p2或p8，所以抛物线C的标
18、准方程为y24x或y216x，故选C.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1).其中满足抛物线方程为y210 x的是_.(要求填写适合条件的序号)12345678910 11 12 13 14 15 16解析抛物线y210 x的焦点在x轴上，满足，不满足；设M(1，y0)是y210 x上一点，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k2，此时存在，所以满足
19、.拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 16即x28y的焦点为F(0,2).所以a222123，设P(x，y)，因为点P在x轴上方，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1616.一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍.若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值.解以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设抛物线方程为x22py(p0).AB是OD的4倍，抛物线方程为x2ay.12345678910 11 12 13 14 15 16设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，代入方程x2ay，得0.82ay0，a的最小整数值为13.12345678910 11 12 13 14 15 16
