1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？导 语导 语一、椭圆的定义一、椭圆的定义问题1在画板上取两个定点F1和F2，把一条长度为定值且大于F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点，如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？提示椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫作椭圆
2、(ellipse)，两个定点F1，F2叫作椭圆的 (focus)，两焦点间的距离叫作椭圆的 (focal distance).注意点：注意点：(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.(2)定值必须大于两定点的距离.(3)当距离的和等于F1F2时，点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于F1F2时，点的轨迹不存在.知识梳理知识梳理常数(大于F1F2)焦点焦距例1命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PAPB2a(a0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析利用椭圆定义.若P点轨迹是椭圆，则PAPB2a(a0，常数
3、)，甲是乙的必要条件.反过来，若PAPB2a(a0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的.这是因为仅当2aAB时，P点轨迹才是椭圆；而当2aAB时，P点轨迹是线段AB；当2aAB时，P点无轨迹，甲不是乙的充分条件.综上，甲是乙的必要不充分条件.反思感悟如果能确定动点运动的轨迹满足某种椭圆的定义，则可以求出a，b，直接写出其方程.跟踪训练1(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且PAPB2a(a0)，给出下列说法中正确的是A.当a2时，点P的轨迹不存在B.当a4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3C.当a4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6D.当a3时，点P的轨迹是以
4、AB为直径的圆解析当a2时，2a4AB，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为AB6，B错误，C正确；当a3时，点P的轨迹为线段AB，D错误.二、椭圆的标准方程二、椭圆的标准方程问题2观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？提示以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图，则F1，F2的坐标分别为(c,0)，(c,0).设P(x，y)为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知PF1PF22a，将这个方程移项后两边平方，两边再平方，得a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2，整理得(a2c2)x2a2y2a2(a2c2).因为a
5、2c20，所以可设a2c2b2(b0)，由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程，可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上.类似地，在如图所示的直角坐标系中，我们可以得到焦点F1(0，c)，以上两种方程都叫作椭圆的标准方程.椭圆的标准方程知识梳理知识梳理焦点位置在x轴上在y轴上标准方程图形 焦点坐标(c,0)(0，c)a，b，c的关系a2_ (ab0)(ab0)b2c2注意点：注意点：焦点位置由a2，b2的大小确定.例2根据下列条件，求椭圆的标准方程.(1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26；解椭圆的焦点在y轴
6、上，2a26,2c10，a13，c5.b2a2c2144.焦点在x轴上，2c2，a2b21，又由ab21，得a2b，代入得4b2b26，b22，a28.又椭圆的焦点在x轴上，反思感悟利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程.提醒：提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论.跟踪训练跟踪训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在x轴上，且a4，c2；解a216，c24，b216412，由椭圆的定义，又c2，b2a2c21046.三、直线与椭圆的位置关系三、直线与椭圆的位
7、置关系知识梳理知识梳理位置关系解的个数的取值相交 解 0相切 解 0相离 解 0两一无注意点：注意点：设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况.例3已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点；解直线l的方程与椭圆C的方程联立，将代入，整理得9x28mx2m240，关于x的一元二次方程的判别式(8m)249(2m24)8m2144.可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点.(2)有且只有一个公共点；可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)没有公共
8、点？方程没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.反思感悟直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题.跟踪训练跟踪训练3已知椭圆 1，直线l：xmym0(mR)，则直线l与椭圆的位置关系是A.相离 B.相切C.相交 D.不确定解析由题意知，l：xmym0(mR)恒过点(0,1)，所以点(0,1)在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交.1.知识清单：(1)椭圆的定义及其应用.(2)椭圆的标准方程.(3)直线与椭圆的位置关系.2.方法归纳：待定系数法.3.常见误区：忽视椭圆定义中a，b，c的关系；混淆不同坐标系下椭圆
9、的两种标准方程.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.设P是椭圆 1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1PF2等于A.4 B.5 C.8 D.10123412342.到两定点F1(2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是A.椭圆 B.线段C.圆 D.以上都不对解析MF1MF2F1F24，点M的轨迹为线段F1F2.12343.已知直线l：xy30，椭圆 y21，则直线与椭圆的位置关系是A.相离 B.相切C.相交 D.相交或相切(24)24532640，所以直线与椭圆相交.12345678910 11 12 13 14 15 163.设定点F1(0，2)，F2(0,2)，动点P
10、满足条件PF1PF2m (m2)，则点P的轨迹是A.椭圆 B.线段C.椭圆或线段 D.不存在又F1F24，所以点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 165.若椭圆 1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为A.6 B.7 C.8 D.9解析根据椭圆的定义知，PF1PF22a2510，因为PF13，所以PF27.12345678910 11 12 13 14 15 166.如果方程 1表示焦点
11、在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是A.a3 B.a3或a3或6acos 0.解析由椭圆的方程得a5，b4，c3.BCAB2a10，12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.设P是椭圆 1上一点，M，N分别是圆A：(x4)2y21和圆B：(x4)2y21上的点，则PMPN的最小值、最大值分别为A.9,12 B.8,11C.8,12 D.10,1212345678910 11 12 13 14 15 16解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知PAPB2a10，连接PA，PB
12、，分别与左、右两圆相交于M，N两点，此时PMPN最小，最小值为PAPB2r8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，此时PMPN最大，最大值为PAPB2r12，即最小值和最大值分别为8,12.12345678910 11 12 13 14 15 1616.已知椭圆x28y28，在椭圆上求一点P，使P到直线l：xy40的距离最短，并求出最短距离.12345678910 11 12 13 14 15 16解设与直线xy40平行且与椭圆相切的直线方程为xya0(a4)，消x得9y22aya280，由4a236(a28)0，解得a3或a3，与直线l距离较近的切线为xy30，它们之间的距离即为所求最短距离，且直线xy30与椭圆的切点即为所求点P.12345678910 11 12 13 14 15 16
