1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件一、直线与抛物线的位置关系一、直线与抛物线的位置关系问题1类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系.提示如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点.设直线l：ykxm，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x22(kmp)xm20.(1)若k0，当 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当 时，直线与抛物线相离，没有公共点.(2)若k0，直线与抛物线有 交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.知识梳理知识梳理000，即k1，且k0时，
2、l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；当0，即k1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；当1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.综上所述，当k1或0时，l与C有一个公共点；当k1时，l与C没有公共点.反思感悟判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.跟踪训练1已知抛物线方程为y28x，若过点Q(2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.解析由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2(4k28)x4k20，当k0
3、时，显然满足题意；当k0时，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0或00)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？提示1.利用弦长公式.2.根据抛物线的定义ABx1x2p.设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB .知识梳理知识梳理x1x2p例2已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且AB ，求AB所在的直线方程.所以直线AB的斜率存在，设为k，消去x，整理得ky22pykp20.解得k2.所以AB所在的直线方程为
4、2xyp0或2xyp0.延伸探究若本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离.反思感悟求弦长问题的方法(2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ABx1x2p.跟踪训练跟踪训练2已知yxm与抛物线y28x交于A，B两点.(1)若AB10，求实数m的值；得x2(2m8)xm20.由(2m8)24m26432m0，得m0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是A.相交 B.相切C.相离 D.相交或相切解析当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x22py(p0)有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的.当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x22py(p0)只有一个
5、交点时，直线l与抛物线相切.12343.若直线xy2与抛物线y24x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是_.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28，y1y2x1x244，故线段AB的中点坐标为(4,2).(4,2)12344.直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k_.解析当k0时，直线与抛物线有唯一交点，当k0时，联立方程消去y，得k2x24(k2)x40，由题意16(k2)216k20，k1.综上，k0或1.0或1课时对点练课时对点练123456789一、选择题一、选择题1.设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则圆心C的轨迹为A.抛物线 B.双曲线C.
6、椭圆 D.圆解析设圆C的半径为r，则圆心C到直线y0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r1，所以圆心C到点(0,3)的距离和它到直线y1的距离相等，符合抛物线的特征，故圆心C的轨迹是抛物线.1234567892.已知过抛物线y22px(p0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，AFBF16，则p的值为1234567891234567892p216，1234567893.设抛物线y22px(p0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且OE ，则p等于A.2 B.3 C.6 D.121234567891234
7、567894.设抛物线y24x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x4y120的距离为d2，则d1d2的最小值为得3y216y480，25612480，则y1y24m，y1y216，32123456789三、解答题三、解答题7.过抛物线y22px(p0)的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A，B两点.求证：(1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；123456789证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)，OAOB，kOAkOB1，x1x2y1y20，y10，y20，y1y24p2，x1x24p2.123456789(2)直线AB过定点.123456789(
8、y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，123456789AB过定点(2p,0).当直线AB的斜率不存在时，则kOA1，直线OA：yx，与抛物线方程联立，得x22px，A(2p,2p)，故直线AB过定点(2p,0)，综上，AB过定点(2p,0).1234567898.已知抛物线y22x，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程.123456789解方法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x，y)，则y1y22y，得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，当直线AB的斜率不存在，即ABx轴时，AB的中点为(2,0)，适合上式，1234567
9、89方法二当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y1k(x2)(k0)，所以k(，0)(0，).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为P(x，y)，当直线AB的斜率不存在，即ABx轴时，AB的中点为(2,0)，适合上式.1234567891234567899.如图，已知抛物线y24x，其焦点为F.(1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；解由题意知，中点弦所在的直线斜率存在.设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所求直线方程为2xy10.123456789(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.解依题意知，直线m，n的斜率存在，设直线m的方程为yk(x1)，消去y，整理得k2x2(2k24)xk20，其两根为x3，x4，同理，CD4k24，当且仅当k1时取得最小值.123456789
