苏教版高中数学选择性必修一第4章习题课《倒序相加求和、裂项相消法》教案及课件.zip

习题课倒序相加求和、裂项相消法习题课倒序相加求和、裂项相消法学习目标 1.熟练掌握等差数列与等比数列的前 n 项和公式.2.根据数列的结构形式会用倒序相加法和裂项相消法求和一、倒序相加求和例 1已知数列an的通项公式为 ann2(nN*)，设 f(x)xlog22x8x，则数列f(an)的各项之和为()A36 B33 C30 D27答案D解析由 f(x)xlog22x8x，知2x8x0，解得2x8.所以2an0，设 bnlog2(3an3)，求数列1bnbn1的前 n 项和解(1)设等比数列an1的公比为 q，其前 n 项和为 Tn，因为 S22，S416，所以 T24，T420，易知 q1，所以 T2a111q21q4，T4a111q41q20，由得 1q25，解得 q2.当 q2 时，a113，所以 an1432n12n13；当 q2 时，a15，所以 an1(4)(2)n1(2)n1.所以 an2n131 或 an(2)n11.(2)因为 an0，所以 an2n131，所以 bnlog2(3an3)n1，所以1bnbn11n1n21n11n2，所以数列1bnbn1的前 n 项和为(1213)(1314)(1n11n2)121n2n2n2.反思感悟(1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的(2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止(3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项跟踪训练 2设 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 S3a7，a82a33.(1)求 an；(2)设 bn1Sn，求数列bn的前 n 项和 Tn.解(1)设数列an的公差为 d，由题意得Error!Error!解得 a13，d2，ana1(n1)d2n1.(2)由(1)得 Snna1nn12dn(n2)，bn1nn212(1n1n2).Tnb1b2bn1bn12(113)(1214)(1n11n1)(1n1n2)12(1121n11n2)3412(1n11n2).1知识清单：(1)倒序相加法求和(2)裂项相消求和2方法归纳：倒序相加法、裂项求和法3常见误区：裂项求和中要关注正项与负项的个数是否相同及相消后前后剩余的项数1已知 an1n1n(n N*)，则 a1a2a3a80等于()A7 B8 C9 D10答案B解析因为 an1n1nn1n(n N*)，所以 a1a2a3a8021328180918.2数列12 5，15 8，18 11，13n1 3n2，的前 n 项和为()A.n3n2 B.n6n4C.3n6n4 D.n1n2答案B解析由数列通项公式13n13n213(13n113n2)，得前 n 项和 Sn13(121515181811113n113n2)13(1213n2)n6n4.3已知数列an：12，1323，142434，15253545，那么数列bn1anan1前 n 项的和为()A4(11n1)B4(121n1)C11n1 D.121n1答案A解析an123nn1nn12n1n2，bn1anan14nn14(1n1n1).Sn4(112121313141n1n1)4(11n1).4设函数 f(x)12lg x1x，则 f(110)f(210)f(910)_.答案92解析若 x1，x2(0,1)，且 x1x21，则f(x1)f(x2)1lg x1x21x11x21，故 f(110)f(210)f(910)4f(12)41292.课时对点练课时对点练1设函数 f(x)22x1，利用课本中推导等差数列前 n 项和的方法，求得 f(5)f(4)f(0)f(4)f(5)的值为()A9 B11 C.92 D.112答案B解析f(x)22x1，f(x)f(x)22x122x122x122x2x(2x1)22x122x12x2(12x)2x12，设 Sf(5)f(4)f(0)f(4)f(5)，则 Sf(5)f(4)f(0)f(4)f(5)，两式相加得 2S11222，因此，S11.2在 a，b 中插入 n 个数，使它们和 a，b 组成等差数列 a，a1，a2，an，b，则 a1a2an等于()An(ab)B.nab2C.n1ab2 D.n2ab2答案B解析令 Snaa1a2anb，倒过来写 Snbanan1a1a，两式相加得 2Sn(n2)(ab)，故 Sn(n2)(ab)2，所以 a1a2anSn(ab)n(ab)2，故选 B.3数列an，bn满足 anbn1，ann25n6，nN*，则bn的前 10 项之和为()A.413 B.513 C.839 D.1039答案D解析因为 anbn1，ann25n6，故 bn1n25n61n21n3，故bn的前 10 项之和为13141415112113131131039.4谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的好玩的数学 一书中，有一篇文章五分钟挑出埃及分数，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为 1 的分数(称为埃及分数)则下列埃及分数11 3，13 5，15 7，12 019 2 021的和是()A.2 0202 021 B.1 0102 021C.1 0092 019 D.2 0182 019答案B解析1n(n2)12(1n1n2)，11 313 515 712 019 2 02112(1131315151712 01912 021)12(112 021)1 0102 021.5已知正项数列an是公比不等于 1 的等比数列，且 lg a1lg a2 0210，若 f(x)21x2，则 f(a1)f(a2)f(a2 021)等于()A2 020 B4 036 C2 021 D4 038答案C解析正项数列an是公比不等于 1 的等比数列，且 lg a1lg a2 0210，lg(a1a2 021)0，即 a1a2 0211.函数 f(x)21x2，f(x)f(1x)21x2211x222x21x22.令 Tf(a1)f(a2)f(a2 021)，则 Tf(a2 021)f(a2 020)f(a1)，2Tf(a1)f(a2 021)f(a2)f(a2 020)f(a2 021)f(a1)22 021，T2 021.6(多选)设等差数列an满足 a25，a6a830，公差为 d，则下列说法正确的是()Aan2n1Bd2C.1a2 n114(1n1n1)D.1a2 n1的前 n 项和为n4n1答案ABD解析设等差数列an的公差为 d.an是等差数列，a6a8302a7，解得 a715，又 a7a25d.d2.又 a25，an2n1.故 AB 正确；1a2 n114nn114(1n1n1)，故 C 错误；1a2 n1的前 n 项和为Sn14(11212131n1n1)14(11n1)n4n1.故 D 正确7在数列an中，a12，an1anln(11n)，nN*，则 an_答案2ln n解析an1anln(11n)，an1anln(11n)lnn1nln(n1)ln n.又 a12，ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2ln 2ln 1ln 3ln 2ln 4ln 3ln nln(n1)2ln nln 12ln n.8设 Sn是数列an的前 n 项和，且 a113，an12SnSn10，nN*，则 S1S2S2S3S9S10_.答案17解析因为 an12SnSn10，所以 Sn1Sn2SnSn10，所以 SnSn12SnSn1，所以1Sn11Sn2.又1S11a13，所以数列1Sn是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，所以1Sn3(n1)22n1，所以 Sn12n1，所以 SnSn112n112n312(12n112n3)，所以 S1S2S2S3S9S1012(13151517119121)12(13121)17.9已知等差数列an中，2a2a3a520，且前 10 项和 S10100.(1)求数列an的通项公式；(2)若 bn1anan1，求数列bn的前 n 项和解(1)由已知得Error!Error!解得Error!Error!所以数列an的通项公式为 an12(n1)2n1.(2)bn12n12n112(12n112n1)，所以 Tn12(113131512n112n1)12(112n1)n2n1.10已知数列an的前 n 项和 Sn2n24(nN*)，函数 f(x)对一切实数 x 总有 f(x)f(1x)1，数列bn满足 bnf(0)f(1n)f(2n)f(n1n)f(1)分别求数列an，bn的通项公式解当 n1，a1S121244，当 n2，anSnSn1(2n24)(2n14)2n1，n1 时满足上式，故 an2n1(n N*).f(x)f(1x)1，f(1n)f(n1n)1，bnf(0)f(1n)f(2n)f(n1n)f(1)，bnf(1)f(n1n)f(n2n)f(1n)f(0)，由，得 2bnn1，bnn12.11在各项都为正数的等比数列an中，若 a12，且 a1a564，则数列anan1an11的前 n 项和是()A112n11 B112n1C112n1 D112n1答案A解析在各项都为正数，公比设为 q(q0)的等比数列an中，若 a12，且 a1a564，则 4q464，解得 q2，则 an2n.数列anan1an11即为2n2n12n11.2n2n12n1112n112n11，数列anan1an11的前 n 项和是12112211221123112n112n11112n11，故选 A.12设 S111212211221321132142112 020212 0212，S表示不大于 S 的最大整数(例如：2.342，4)，则S等于()A2 019 B2 020 C2 021 D2 022答案B解析因为11n211n2(n2n)22(n2n)1n21n2n2n1n(n1)1(1n1n1)，所以 S1(1112)1(1213)1(12 02012 021)2 02112 021，所以S2 020.13已知 F(x)f(x12)3 是 R 上的奇函数，anf(0)f(1n)f(n1n)f(1)，nN*，则数列an的通项公式为()Aann1 Ban3n1Can3n3 Dann22n3答案C解析由题意知 F(x)f(x12)3 是 R 上的奇函数，故 F(x)F(x)，代入得 f(12x)f(12x)6(x R)，函数 f(x)关于点(12，3)对称，令 t12x，则12x1t，得到 f(t)f(1t)6，anf(0)f(1n)f(n1n)f(1)，anf(1)f(n1n)f(1n)f(0)，倒序相加可得 2an6(n1)，即 an3(n1).14已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn12n212n，若 bn(1)n2n1anan1，则数列bn的前 n 项和 Tn_.答案TnError!Error!解析Sn12n212n，当 n1 时，a1S11，当 n2 时，anSnSn112n212n12(n1)212(n1)n，满足 a11，ann，bn(1)n2n1anan1(1)n2n1n(n1)(1)n(1n1n1)，当 n 为偶数时，Tn(112)(1213)(1314)(1n1n1)11n1nn1，当 n 为奇数时，Tn(112)(1213)(1314)(1n1n1)11n1n2n1，TnError!Error!15在古希腊，毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10,15,21,28,36,45，这些数叫做三角形数设第 n个三角形数为 an，则下面结论错误的是()Aanan1n(n1)Ba20210C1 024 是三角形数D.1a11a21a31an2nn1答案C解析a2a12，a3a23，a4a34，由此可归纳得 anan1n(n1)，故 A 正确；将前面的所有项累加可得 ann1n22a1nn12，a20210，故 B 正确；令nn121 024，此方程没有正整数解，故 C 错误；1a11a21an2(112)(1213)(1n1n1)2(11n1)2nn1，故 D 正确16已知等比数列an的各项均为正数，且 a11，an2an12an.(1)求数列an的通项公式；(2)记数列1an1n1log2an1的前 n 项和为 Sn，求证：32Sn0)，因为 an2an12an，所以 q2q2(q0)，解得 q2，所以 an2n1.(2)证明因为1an1n1log2an112n11n1n12n11n1n1，所以 Sn112n112(11212131n1n1)212n111n1312n11n1，因为对 n1,012n11,01n112，32312n11n13，即32Sn3.苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件倒序相加求和、裂项相消法倒序相加求和、裂项相消法一、倒序相加求和一、倒序相加求和例1已知数列an的通项公式为ann2(nN*)，设f(x)x则数列f(an)的各项之和为A.36 B.33 C.30 D.27解得2x8.所以2an0)的等比数列an中，若a12，且a1a564，则4q464，解得q2，则an2n.12345678910 11 12 13 14 15 16A.2 019 B.2 020 C.2 021 D.2 02212345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16A.ann1 B.an3n1C.an3n3 D.ann22n312345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16当n1时，a1S11，ann，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1615.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45，这些数叫做三角形数.设第n个三角形数为an，则下面结论错误的是A.anan1n(n1)B.a20210C.1 024是三角形数拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 16解析a2a12，a3a23，a4a34，由此可归纳得anan1n(n1)，故A正确；a20210，故B正确；12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16因为an2an12an，所以q2q2(q0)，解得q2，所以an2n1.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16