1、2013年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题:本大题共8个小题,每小题8分,共64分。1、设集合,集合,则集合中所有元素的和为 2、在平面直角坐标系中,点在抛物线上,满足,是抛物线的焦点,则与的面积之比为 3、在中,已知,则的值为 4、已知正三棱锥的底面边长为,高为,则其内切球半径为 5、设为实数,函数满足:对任意,都有,则的最大值为 6、从中任取个不同的数,其中至少有个是相邻数的概率为 7、若实数满足,则实数的取值范围为 8、已知数列共有项,其中,且对每个,均有则这样的数列的个数为 二、解答题:本大题共3小题,共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9、(本题满分16分)给定正数数
2、列满足,这里,证明:存在常数,使得,10、(本题满分20分)在平面直角坐标系中,椭圆的方程为,分别为椭圆的左右顶点,分别为椭圆的左右焦点,为椭圆上不同于的任意一点.若平面中有两个点满足,,试确定线段的长度与的大小关系,并给出证明。11、(本题满分20分)设函数,求所有的正实数对,使得对任意的实数均有。2013年全国高中数学联合竞赛二试一、(本题满分40分)如图所示,是圆的一条弦,为弧内一点,为线段上两点,满足.连接并延长,与圆分别相交于点.求证:(解题时请将图画在答卷纸上)二、(本题满分40分)给定正整数,数列的定义如下:,对整数,记(),证明:数列中有无穷多项完全平方数。三、(本题满分50分)一次考试共有道试题,个学生参加,其中为给定的整数,每道题的得分规则是:若该题恰有个学生没有答对,则每个答对该题的学生得分,未答对的学生得分.每个学生得总分为其道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低排列为,求的最大可能值。四、(本题满分50分)设为大于的整数,证明:存在个不被整除的整数,若将他们任意分成两组,则总有一组有若干个数的和被整除。