1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件一、求含参数的函数的最值一、求含参数的函数的最值例1已知函数f(x)x3ax2a2x.求函数f(x)在0，)上的最小值.解f(x)3x22axa2(3xa)(xa)，当a0时，f(x)在0，a)上是减函数，在a，)上是增函数.所以f(x)minf(a)a3.当a0时，f(x)3x20，f(x)在0，)上是增函数，所以f(x)minf(0)0.综上所述，当a0时，f(x)的最小值为a3；当a0时，f(x)的最小值为0；延伸探究当a0时，求函数f(x)x3ax2a2x在a,2a上的最值.解f(x)(3xa)(xa)(a0)，在a,2a上是增函数.f(a)a3，f
2、(2a)2a3.所以f(x)maxf(2a)2a3.f(x)minf(a)f(a)a3.反思感悟含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题.(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.跟踪训练1已知aR，函数f(x)，求f(x)在区间0,2上的最大值.令f(x)0，解得x10，x22a.令g(a)f(x)max，当2a0，即a0时，f(x)在0,2上是增函数
3、，当2a2，即a1时，f(x)在0,2上是减函数，从而g(a)f(x)maxf(0)0.当02a2，即0a0，且当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0 f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.反思感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值
4、点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.跟踪训练跟踪训练2已知函数h(x)x33x29x1在区间k,2上的最大值是28，求k的取值范围.解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21，当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)h(x)00h(x)284当x3时，h(x)取极大值28；当x1时，h(x)取极小值4.而h(2)3h(3)28，如果h(x)在区间k,2上的最大值为28，则k3.所以k的取值范围为(，3.三、与最值有关的探究性问题三、与最值有关的探究性问题解当a1时，f(x)xln x，即x2y22ln 20.例
5、3已知f(x)axln x，aR.(1)当a1时，求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解假设存在实数a，使f(x)axln x在区间(0，e上的最小值是3，当a0时，f(x)在(0，e上是减函数，故f(x)minf(e)ae13，所以此时不存在符合题意的实数a.综上，存在实数ae2，使f(x)在区间(0，e上的最小值是3.反思感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于
6、0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.跟踪训练跟踪训练3已知函数f(x)2x3ax21.(1)讨论f(x)的单调性；当a0时，f(x)6x20恒成立，函数f(x)在R上是增函数；综上所述，当a0时，函数f(x)在R上是增函数；(2)是否存在a，使得f(x)在区间0,1上的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a的所有值；若不存在，说明理由.解存在，理由如下：由(1)可得，当a0时，函数f(x)在0,1上是增函数.解得a4，满足题意；综上可得，a的值为4.1.知识清单：(1)求含参的函数的最值.(2)由最值求参数的值或取值范围.(3)与最值有关的探究性问题.2.方法归纳：转化法、分类
7、讨论.3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.已知函数f(x)ax3c，且f 6，函数在1,2上的最大值为20，则c的值为A.1 B.4 C.1 D.0解析由题意得，f(x)3ax2，则f(1)3a6，解得a2，所以f(x)6x20，故f(x)在1,2上是增函数，则f(2)223c20，解得c4.1234所以当x0，当x1a时，f(x)0，所以f(x)在(，1a)上是增函数，在(1a，)上是减函数，1234123412341234当a1时，函数f(x)在1，)上是减函数，当0a1时，函数f(x)在1，)上是减函数.12344.已知函数f(x
8、)2x36x2a在2,2上有最小值37，则a的值为_，f(x)在2,2上的最大值为_.331234解析f(x)6x212x6x(x2).由f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)40a极大值a8a所以当x2时，f(x)min40a37，所以a3.所以当x0时，f(x)取得最大值3.课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16又f(x)acos xcos 3x，12345678910 11 12 13 14 15 1
9、612345678910 11 12 13 14 15 16解析y3x23x3x(x1)，易知当1x0时，y0，当2x1或0 x0，12345678910 11 12 13 14 15 163.函数f(x)3xx3在0，m上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为解析f(x)3xx3，f(x)33x23(1x)(1x)，令f(x)0，则x1或x1(舍去)，当0 x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0恒成立，故函数f(x)单调递增，不存在最大值；12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 165.已知函数f(x)ex
10、xa，若f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是A.(1，)B.(，1)C.1，)D.(，1解析f(x)ex1，令f(x)0，解得x0，令f(x)0，解得x0恒成立，则1a0，解得a1，故选A.12345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的值可以为解析f(x)3x23a，且f(x)0有解，ax2.又x(0,1)，0a0，得x2；由f(x)0，得x3)上的最小值.解由(1)，知f(x)在(2，)上是增函数，在(，2)上是减函数.t3，t12.当3t2时，f(x)在t，2)上是减函数，在(2，t1上是增函数，f(x)min
11、f(2)2e2.当t2时，f(x)在t，t1上是增函数，f(x)minf(t)2et(t1).12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16综合运用解析2xln xx2mx30，当10，h(x)单调递增.12345678910 11 12 13 14 15 16mh(x)max，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16即g(x)0，则x
12、00，即ln x1，解得xe，令h(x)0，即ln x1，解得0 x1)，若对于任意的x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_.412345678910 11 12 13 14 15 16解析由题意得，f(x)3ax23，当a1时，令f(x)3ax230，12345678910 11 12 13 14 15 16由f(1)0，可得a4，综上可得a4.12345678910 11 12 13 14 15 16(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；a0，故函数在(0，)上是增函数.f(x)的增区间为(0，)，无减区间.12345678910 11 12 13 14 15 16解当x1，e时，分如下情况讨论：当a1时，f(x)0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)a1，当1ae时，函数f(x)在1，a)上有f(x)0，f(x)单调递增，函数f(x)的最小值为f(a)ln a1，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16当ae时，显然函数f(x)在1，e上是减函数，
