1、4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数,第四章三角函数、解三角形,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.角的概念(1)任意角：定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；分类：角按旋转方向分为 、 和 .(2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S .(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.,知识梳理,一条射线,图形,正角,负角,零角,原点,x轴的非负半轴,|k360，kZ,2.弧度制(1)定义：把长
2、度等于 长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad，1 rad .(3)扇形的弧长公式：l ，扇形的面积公式：S .,半径,正数,负数,0,|r,3.任意角的三角函数任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sin ，cos ，tan (x0).三个三角函数的性质如下表：,y,x,R,R,4.三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.,MP,OM,AT,几何画板展
3、示,1.三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.2.任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，,【知识拓展】,题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()(3)不相等的角终边一定不相同.()(4)若为第一象限角，则sin cos 1.(),基础自测,1,2,3,4,5,6,7,8,解析,题组二教材改编2.角225 弧度，这个角在第 象限.3.设角的终边经过点P(4，3)，那么2co
4、s sin .,二,答案,4.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为 弧度.,1,2,3,4,5,6,7,8,解析,答案,题组三易错自纠5.(2018秦皇岛模拟)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 A.2k45(kZ) B.k360 (kZ)C.k360315(kZ) D.k (kZ),1,2,3,4,5,6,7,8,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,解析,7.已知角(0)的终边与单位圆交点的横坐标是 ，则sin .,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,解析,8.(2018济宁模拟)函数y 的定义域为 .,答案,1,2,3,4,5,6,7
5、,解析2cos x10，,由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，,8,几何画板展示,题型分类深度剖析,A.MN B.M?NC.N?M D.MN?,题型一角及其表示,自主演练,答案,解析,因此必有M?N，故选B.,2.若角是第二象限角，则 是 A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角,解析,解析是第二象限角，,答案,3.(2018宁夏质检)终边在直线y x上，且在2，2)内的角的集合为 .,解析,答案,(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.,
6、典例 (1)(2017珠海模拟)已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是 A.2 B.1 C. D.3,解析,题型二弧度制,师生共研,解析设扇形的半径为R，则弧长l42R，扇形面积S lRR(2R)R22R(R1)21，当R1时，S最大，此时l2，扇形圆心角为2弧度.,答案,(2)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是 .,解析设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，,解析,答案,应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问
7、题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.,跟踪训练 (1)(2018湖北七校联考)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为,解析,答案,解析如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，,作OMAB，垂足为M，,(2)已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是 .,S1S2,解析,答案,解析设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，,则 APtm，根据切线的性质知OAAP，,S1S2恒成立.,命题点1
8、三角函数定义的应用典例 (1)(2018山东重点中学模拟)已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为,解析,题型三三角函数的概念及应用,多维探究,答案,A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角,答案,解析,解析,命题点2三角函数线的应用典例 函数ylg(2sin x1) 的定义域为 .,答案,如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，,(1)利用三角函数的定义，已知角终边上一点P的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出点P的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.,跟踪训练 (1)(2017济
9、南模拟)已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限,解析,答案,解析tan 0，cos 0，在第二象限.,(2)(2017石家庄模拟)若 从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，tan 的大小是 A.sin tan cos B.cos sin tan C.sin cos tan D.tan sin cos ,答案,解析,解析如图，作出角的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可知sin cos 0，cos 30，sin 2cos 3tan 40.,8.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是 A.1 B.2C.3 D.4,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析举反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当cos 1，时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故错.综上可知只有正
