1、第八章,立体几何,第1讲 空间几何体的三视图和直观图,多面体,1.空间几何体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形；,(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.,(续表),(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到；(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到；,旋转体 (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯,形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到；,(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.,2.三视图与直观图,1.在正五棱
2、柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数,为(,),D,A.20,B.15,C.12,D.10,解析：从正五棱柱的上底面 1 个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得 2 条对角线，故共有 5210条对角线.,2.若某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是,(,A,)A.圆柱C.四面体,B.圆锥D.三棱柱,解析：由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形.故选A.,3.如图 8-1-1，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的,),B,是一个几何体的三视图，则这个几何体
3、是(图 8-1-1,A.三棱锥,B.三棱柱,C.四棱锥,D.四棱柱,解析：由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱.故选 B.,4.两条平行线在一个平面内的正投影可能是_.,两条平行线；两个点；两条相交直线；一条直线和直线外的一点；一条直线.解析：如图 D49，在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，直线 A1B1C1D1，它们在平面 ABCD 内的投影为 AB，CD，且 ABCD，故正确；它们在平面 BCC1B1 内的正投影是点 B1 和点 C1，故正确；取 A1D1 的中点 E，B1C1 的中点 F，连接 EF，则 EFD1C1 且 EF与 D1C1 在
4、平面 ABB1A1 内的投影是同一直线,A1B1，故正确.故填.,图 D49,考点 1,空间几何体的结构特征,例 1：(1)如图 8-1-2，模块均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成，模块由 15 个棱长为 1 的小正方体构成.现从模块中选出三个放到模块上，使得模块成为一个棱长为,3 的大正方体，则下列方案中，能够完成任务的为(,),图 8-1-2,A.模块C.模块,B.模块D.模块,答案：A,(2)在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何体形的 4 个顶点，这些几何形体是_(写出所有正确结论的编号).,矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形
5、的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体.,解析：如图 D50，四边形 AA1C1C 为矩形；三棱锥 B1-A1BC1就是有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；三棱锥 D-A1BC1 就是每个面都是等边三角形的四面体；三棱锥 A1-ABC 就是每个面都是直角三角形的四面体.,图 D50,答案：,【互动探究】,1.如图 8-1-3(1)，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AA1，C1D1 的中点，G 是正方形 BCC1B1 的中心，则四边形AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)中的_.,(1),(2),图 8-1-3
6、解析：在平面 ABCD 上的投影是图(2)；在平面 ADD1A1上的投影是图(2)；在平面 DCC1D1 上的投影是图(2).,考点 2,几何体的三视图,例 2：(1)(2017 年新课标)某多面体的三视图如图 8-1-4，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中,),有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(图 8-1-4,A.10,B.12,C.14,D.16,解析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如图 D51，则该几何体只有两个相同的梯形的面，则这,些梯形的面积之和为 2,(24)22,12.故选 B.
7、,图 D51答案：B,(2)(2016 年新课标)如图 8-1-5，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的,体积是,283,，则它的表面积是(,),图 8-1-5,A.17,B.18,C.20,D.28,图 D52答案：A,(3)(2017 年新课标)如图 8-1-6，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面,),将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为(图 8-1-6,A.90,B.63,C.42,D.36,解析：构造相同的几何体互补成一个底面半径为 3，高为14 的圆柱，其体积为3214126，所以该几何体的体积
8、为63.故选 B.,答案：B,(4)(2015 年新课标)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯,),视图如图 8-1-7，若该几何体的表面积为 1620，则 r(图 8-1-7,A.1,B.2,C.4,D.8,解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与半球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其,解得 r2.故选 B.,答案：B,【规律方法】(1)画三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，即“正、俯视图一样长，正、侧视图一样高，俯、侧视图一样宽”，看得见的线条为实线，被遮挡的为虚线.,(2)由三视图还原几何
9、体的方法：,【互动探究】2.将正方体(如图 8-1-8)截去两个三棱锥，得到如图 8-1-9 所,示的几何体，则该几何体的侧视图为(,),图 8-1-8,图 8-1-9,A,B,C,D,解析：画出三视图，如图 D53.故选 B.,图 D53,答案：B,考点 3,几何体的直观图,例 3：已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么ABC 的平面,直观图ABC的面积为(,),解析：如图 8-1-10(1)(2)所示的实际图形和直观图.图 8-1-10,答案：D,【规律方法】用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法，而其中的关键是确定多边形顶点的位置；将直观图还原为其空间几何体时，
10、应抓住斜二测画法的规则.本题采用斜二测画法作其直观图时，底不变，第三个顶点在 y轴上，长度为原高的一半，但它还不是高(夹角为 45)，,所以新三角形的高是原高的,倍，所以直观图的面积是原三角,形面积的,倍.,【互动探究】3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则该平面图形的面积等于,(,),D,易错、易混、易漏,将三视图还原成几何体时对数据的判断产生错误,例题：(1)某三棱锥的三视图如图 8-1-11，则该三棱锥最长,棱的棱长为_.,图 8-1-11,正解：由题中三视图可知，该几何体是三棱锥(如图 8-1-12)，其中 PA 平面 ABC，M 为 AC 的中点，且 BMAC，故该三棱锥的最长棱为 PC.图 8-1-12,答案：,(2)如图 8-1-13，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为 2，且侧棱 AA1底面 A1B1C1，正视图是边长为 2 的正方形，,该三棱柱的侧视图面积为(,)图 8-1-13,正解：该三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的高是侧棱长,答案：B【失误与防范】三视图还原几何体求面积或体积时，一定要注意几何体摆放的形式，所给数据究竟是棱长还是棱的投影(高).,
