1、第5讲,几何概型,1.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简,称为_.,几何概型,2.几何概型中，事件 A 的概率计算公式,P(A),构成事件 A 的区域长度( 面积或体积)全部结果所构成的区域长度( 面积或体积),3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点,(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个.(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.,注意：在几何概型的试验中，事件 A 的概率 P(A)只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与 A 的位置和形状无关.,求试验中几何概型的概率，
2、关键是求得事件所占区域和,整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解.,1.一只蚂蚁在如图 951 所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在灰色地板砖上的概,率是(,),B,图 951,A.,14,B.,13,C.,15,D.,12,2.(2016 年湖北武汉调研)在两根相距 6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2 m 的概,率为(,),B,A.,12,B.,13,C.,14,D.,16,解析：记“灯与两端距离都大于 2 m”为事件 A，则 P(A),面积不小于 的概率是(,3.在面积为 S 的ABC 的边 AB 上任取一点 P，则
3、PBC 的,S3,),A.,23,B.,13,C.,34,D.,14,空间是线段 AB 的长度.如图 D77，取 AB 的三等分点 P，如果在线段 BP 上取点，那么PBC 的,答案：A,图 D77,4.向面积为 S 的ABC 内任投一点 P，则PBC 的面积小,图D78,考点 1,与长度(或角度)有关的几何概型,例 1：(1)(2016 年新课标)某公司的班车在 7：00,8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的,概率是(,),A.,13,B.,12,C.,23,D.,34, .故选 B.,
4、解析：如图 D79，画出时间轴：图 D79小明到达的时间会随机地落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过,10 分钟，根据几何概型，得所求概率 p,101040,12,答案：B,间4,5上随机取一个数 x，则 xD 的概率是_.解析：由 6xx2 0，即 x2x60，解得2x3，,3( 2)5( 4),根据几何概型的概率计算公式得 xD 的概率是5.95答案：9,(3)在区间2,3上随机选取一个数 x，则 x1 的概率为,(,),A.,45,B.,35,C.,25,D.,15,解析：在区间2,3上符合 x1 的区间为2,1，因为区间2,3
5、的长度为 5，区间2,1的长度为 3，所以根据几何概答案：B,【规律方法】应用几何概型求概率的步骤：,把每一次试验当作一个事件，看事件是否是等可能的且事件的个数是否是无限个，若是，则考虑用几何概型；将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图,形，并加以度量；,将几何概型转化为长度、面积、体积之比，应用几何概,型的概率公式求概率.,考点 2,与面积(或体积)有关的几何概型,例 2：(1)(2017 年新课标)如图 952，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一,),点，则此点取自黑色部分的概率是(图
6、952,解析：不妨设正方形边长为 a，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面积的一半.由几何概型,答案：B,(2)(2016 年新课标)从区间0,1内随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机,模拟的方法得到的圆周率 的近似值为(,),A.,4nm,B.,2nm,C.,4mn,D.,2mn,解析：由题意，得(xi，yi)(i1,2，n)在如图所示方格中，而平方和小于 1 的点均在如图 D80 所示的阴影中，利用几何概,图 D80答案：C,(3)如
7、图 953，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱椎 AA1BD 内的概率为_.图 953,【规律方法】如果试验结果构成的试验区域的几何测度可用面积或体积表示，那么概率的计算公式为P(A),构成事件 A 的区域长度( 面积或体积)全部结果所构成的区域长度( 面积或体积),.,考点 3,与线性规划有关的几何概型,例 3：甲、乙两人约定上午 9 时至 12 时在某地点见面，并约定任何一个人先到之后等另一个人不超过 1 小时，1 小时之内若对方不来，则离去.如果他们两个人在 9 时到 12 时之间的任何时刻到达约定地点的概率都是相等的，求他们见到面的概率
8、.,思维点拨：(1)考虑甲、乙两人分别到达某地点的时间.我们以 9 时为起时，在平面直角坐标系内用 x 轴表示甲到达约定地点的时间，y 轴表示乙到达约定地点的时间，用 0 到 3 表示 9时至 12 时的时间段，则横轴 0 到3 与纵轴 0 到3 的正方形中任一时的坐标(x，y)就表示甲、乙两人分别在 9 时至 12 时时间段内到达的时间对.(2)两人能会面的时间必须满足：|xy|1.这就将问题化归为几何概型问题.,解：设 9 时后过了 x 小时甲到达，9 时后过了 y 小时乙到达，取点 Q(x，y)，则 0x3,0y3.两人见到面的充要条件是|xy|1.如图 954，其概率是：,图 9-5-
9、4,【规律方法】将随机事件转化为面积之比时，要注意哪部分代表总的基本事件表示的区域，哪部分是所求事件所表示的区域.,1. (由人教版教材必修 3P137例2 改编)某校早上 8：00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7：307：50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为_.(用数字作答),解析：如图 D81，用 x 表示小张到校的时间，30x50，用 y 表示小王到校的时间，30y50，则所有可能的结果对应平面直角坐标系的正方形 ABCD 区域，小张比小王至少早 5 分钟到校，即yx5.所对应的区域为DEF.,【互动探究】,图 D
10、81,答案：,932,2.(2015 年湖北)在区间0,1上随机取两个数 x，y，记 p1为,A.p1p2p3 B.p2p3p1C.p3p1p2 D.p3p2|AC|的概率为(,),正解：如图 955，取 ADAC，A30，此时ACD,图 955答案：B,(2)在 RtABC 中，A30，在斜边 AB 上任取一点 M，,则使|AM|AC|的概率为(,),正解：如图956，取 ADAC，A30，欲使|AM|AC|，,点 M 必须在线段 BD 内，其概率为,.,图 956答案：C,【失误与防范】请注意两题的区别“过直角顶点 C 作射线CM 交线段 AB 于点 M”“在斜边 AB 上任取一点 M”，前者 CM在直角内等可能，结果应该为角度的比；后者 M 为斜边 AB 上任一点，结果应该为斜边 AB 上的长度比.,
