1、,1.1 等腰三角形,第一章 三角形的证明,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学下(BS) 教学课件,第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质,学习目标,1.回顾全等三角形的判定和性质; 2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论,能运用 其解决基本的几何问题.(重点),导入新课,情境引入,问题1:图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?,斜拉桥梁,埃及金字塔,体育观看台架,问题2:建筑工人在盖房子时,用一块等腰三角板放在梁上,从顶点系一重物,如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点,就说房梁是水平的,你知道其中反映了什么数学原理?,七下“轴对称”中学过的等腰三角形的“三线合一”.
2、,思考:你能证明等腰三角形的“三线合一”吗?,问题3 在八上的“平行线的证明”这一章中,我们学了哪8条基本事实?,1.两点确定一条直线;,2.两点之间线段最短;,3.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直;,4.同位角相等,两直线平行;,5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;,6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;,7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;,8.三边分别相等的两个三角形全等.,定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).,问题:你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗?,弄清楚证明一个命题的一般步骤是解题的关键,证明
3、一个命题的一般步骤: (1)弄清题设和结论; (2)根据题意画出相应的图形; (3)根据题设和结论写出已知和求证; (4)分析证明思路,写出证明过程.,讲授新课,已知:如图,A=D,B=E,BC=EF. 求证:ABCDEF.,证明:A+B+C=180, D+E+F=180(三角形内角和等于180), C=180(A+B),F=180(D+E). A=D,B=E(已知), C=F(等量代换). BC=EF(已知), ABCDEF(ASA).,总结归纳,定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).,根据全等三角形的定义,我们可以得到:,全等三角形的对应边相等,对应角相等.
4、,问题1:你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?,推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一).,问题2:你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?,定理:等腰三角形的两个底角相等.,问题引入,等腰三角形的两个底角相等.,A,B,C,已知:ABC中,AB=AC,求证:B=C.,思考:如何构造两个全等的三角形?,定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,如何证明两个角相等呢?,可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证,议一议:在七下学习轴对称时,我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形,且两个底角相等,如下图,实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等的三
5、角形.由此,你得到了什么解题的启发?,已知: 如图,在ABC中,AB=AC. 求证: B= C.,D,证明:,作底边的中线AD, 则BD=CD.,AB=AC ( 已知 ),,BD=CD ( 已作 ),,AD=AD (公共边),, BAD CAD (SSS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,在BAD和CAD中,方法一:作底边上的中线,还有其他的证法吗?,已知: 如图,在ABC中,AB=AC. 求证: B= C.,D,证明:,作顶角的平分线AD, 则BAD=CAD.,AB=AC ( 已知 ),BAD=CAD ( 已作 ),AD=AD (公共边), BAD CAD (SAS)., B=
6、C (全等三角形的对应角相等).,方法二:作顶角的平分线,在BAD和CAD中,想一想:由BAD CAD,除了可以得到B= C之外,你还可以得到那些相等的线段和相等的角?和你的同伴交流一下,看看你有什么新的发现?,解:BAD CAD,由全等三角形的性质易得BD=CD,ADB=ADC,BAD=CAD. 又 ADB+ADC=180, ADB=ADC= 90 , 即AD是等腰ABC底边BC上的中线、顶角BAC的角平分线、底边BC上的高线 .,D,定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,如图,在ABC中, AB=AC(已知), B=C(等边对等角).,证明后的结论,以后可以直接运用.,总结归纳,
7、推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一).,AB=AC, 1=2(已知), BD=CD,ADBC(等腰三角形三线合一).,AB=AC, BD=CD (已知), 1=2,ADBC(等腰三角形三线合一).,AB=AC, ADBC(已知), BD=CD, 1=2(等腰三角形三线合一).,综上可得:如图,在ABC中,例1 如图,在ABC中 ,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求ABC各角的度数.,典例精析,分析:(1)找出图中所有相等的角;,(2)指出图中有几个等腰三角形?,A=ABD,C=BDC=ABC;,ABC,ABD,BCD.,(3)观察BDC与A
8、、ABD的关系,ABC、C呢?,BDC= A+ ABD=2 A=2 ABD,ABC= BDC=2 A,C= BDC=2 A.,(4)设A=x,请把 ABC的内角和用含x的式子表示出来., A+ ABC+ C=180 , x+2x+2x=180 ,解:AB=AC,BD=BC=AD, ABC=C=BDC, A=ABD. 设A=x,则BDC= A+ ABD=2x, 从而ABC= C= BDC=2x, 于是在ABC中,有A+ABC+C=x+2x+2x=180 , 解得x=36 ,在ABC中, A=36,ABC=C=72.,例2 如图,点D、E在ABC的边BC上,ABAC. (1)若ADAE,求证:BD
9、CE; (2)若BDCE,F为DE的中点,如图,求证: AFBC.,解析:(1)过A作AGBC于G,根据等腰三角形的性质得出BGCG,DGEG即可证明;(2)先证BFCF,再根据等腰三角形的性质证明,图,图,A,B,D,G,E,C,A,B,D,E,C,F,证明:(1)如图,过A作AGBC于G. ABAC,ADAE, BGCG,DGEG, BGDGCGEG,BDCE; (2)BDCE,F为DE的中点,BDDFCEEF,BFCF.ABAC,AFBC.,图,图,A,B,D,G,E,C,A,B,D,E,C,F,当堂练习,1.如图,已知ABAE,BADCAE,要使ABC AED,还需添加一个条件,这个条
10、件可以是_,CD(答案不唯一),2.(1)等腰三角形一个底角为75,它的另外两个角为_; (2)等腰三角形一个角为36,它的另外两个角为 _; (3)等腰三角形一个角为120,它的另外两个角为_.,75, 30,72,72或36,108,30,30,结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论., 顶角+2底角=180 顶角=1802底角 底角=(180顶角)2,0顶角180 0底角90,课堂小结,等腰三角形的性质,等边对等角,三线合一,注意是指同一个三角形中,注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.,定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).,全等三角形的对应边相等,对应角相等.,