1、 3.4 两角和与差的三角函数 高考数学 一、和差角公式 tan(-)= tan(+)= sin(-)=sin cos -cos sin cos(-)= cos cos +sin sin sin(+)= sin cos +cos sin cos(+)=cos cos -sin sin tan tan1 tan tan ? tan tan1 tan tan ?知识清单 二、和差角公式的应用技巧 1.变 :指变“名”、变“角”使之符合两角和或差的三角函数展开式 . 如 :cos 17 cos 43 -sin 163 sin 43 =cos 17 cos 43 -sin 17 sin 43 =cos
2、(17 +43 )=cos 60 = . 2.凑 :指凑系数 ,使之成为特殊角的三角函数值 . 如 :sin 75 -sin 15 = = cos(45 +15 )= cos 60 = . 3.整体 :指把形如 sin( )=sin cos cos sin 等中的 sin cos 、 cos sin 项作为一个整体求解 . 122 22c o s 1 5 s i n 1 5? ? ?2 2 22如 :sin(+)= ,sin(-)= ,则 的值为 . 由 sin(+)= ,sin(-)= 得 sin cos = ,cos sin = , 则 = = . 4.正切展开变形再合并 :指利用 tan
3、(+)= 去分母移项 . 如 :tan 18 +tan 42 + tan 18 tan 42 =tan 60 = . 12 110 tantan12 110310 15tantansin coscos sin 32tan tan1 tan tan ?3 3拓展延伸 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 . (1)一看“角” ,这是最重要的一环 ,通过看角之间的差别与联系 ,把角进 行合理拆分 ,从而正确使用公式 . (2)二看“函数名称” ,看函数名称之间的差异 ,从而确定使用的公式 ,常 见的有“切化弦” . (3)三看“结构特征” ,分析结构特征 ,可以帮助我们找到变形的方向 ,常 见的
4、有“遇到分式要通分”等 . 2.根式的化简常常需要升幂去根号 ,在化简中注意角的范围 ,以确定三角 函数值的正负号 . 逆用公式 例 1 (1)(2015课标全国 改编 ,2,5分 )sin 20 cos 10 -cos 160 sin 10= . (2)函数 y= sin x-cos x-2(x0)的值域是 . 3方法技巧 方法 1解析 (1)原式 =sin 20 cos 10 +cos 20 sin 10 =sin(20 +10 )=sin 30 = . (2)y= sin x-cos x-2=2 -2 =2sin -2. x0, -1 sin 1, -4 y 0. 123 31s i n
5、 c o s22xx?6x?6x?答案 (1) (2)-4,0 12角的变换 角的常用变换有非特殊角转化为特殊角的和或差 ,待求角转化为已知角 的和或差 . 例 2 (1)(2017江苏四校联考 ,10)已知 tan(+)=2,tan(-)=3,则 的 值为 . (2)(2017江苏如东高级中学第二次学情调研 )已知 为锐角 ,若 sin = ,则 cos = . sin2cos26?35 26?方法 2 解析 (1) = = = . 将 tan(+)=2,tan(-)=3代入 ,得原式 = = . (2)由 sin = ,可得 cos = ,当 cos =- 时 ,cos =cos = 0,
6、与 是锐角矛盾 ,所以 cos = , 从而 cos =cos =2sin cos =2 = . sin2cos2s i n ( ) ( ) c o s ( ) ( ) ? ? ? ? ?s i n ( ) c o s ( ) c o s ( ) s i n ( )c o s ( ) c o s ( ) s i n ( ) s i n ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ?t a n ( ) t a n ( )1 t a n ( ) t a n ( ) ? ? ? ? ?231 2 3? 576?356?456?4566?3 4 310?6?452 6 ?2 62 ?6 ? 6 ?35 45 2425答案 (1) (2) 57 2425
