1、2022年中考数学真题分类汇编几何证明压轴题四边形类1. (2022四川省绵阳市)如图，平行四边形ABCD中，DB=23，AB=4，AD=2，动点E、F同时从A点出发，点E沿着ADB的路线匀速运动，点F沿着ABD的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为23秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为3个单位每秒，运动时间为x秒，AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？(3)如图3，H在线段AB上且AH=
2、13HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM=HM，并说明理由2. (2022山东省日照市)如图1，ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，C=90，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F.设CM=a，CN=b，若ab=8(1)判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；(2)当a=b时，求ECF的度数；当ab时，中的结论是否成立？并说明理由3. (2022甘肃省兰州市)综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AEEP，EP与正
3、方形的外角DCG的平分线交于P点试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；【思考尝试】(1)同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题请在图1中补全图形，解答老师提出的问题【实践探究】(2)希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，AEP是等腰直角三角形，AEP=90，连接CP，可以求出DCP的大小，请你思考并解答这个问题【拓展迁移】(3)突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，AEP是等腰直角三角形，AEP=90，连接
4、DP.知道正方形的边长时，可以求出ADP周长的最小值当AB=4时，请你求出ADP周长的最小值4. (2022广东省广州市)如图，在菱形ABCD中，BAD=120，AB=6，连接BD(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点(不与点B，D重合)，点F在边AD上，且BE=3DF当CEAB时，求四边形ABEF的面积；当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+3CF的值是否也最小？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，请说明理由5. (2022甘肃省)已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点【建立模型】(1)如图1，连接BE，DE.求证：BE=DE；【模型应用】(2)如图2，F是DE延长线上一
5、点，FBBE，EF交AB于点G判断FBG的形状并说明理由；若G为AB的中点，且AB=4，求AF的长【模型迁移】(3)如图3，F是DE延长线上一点，FBBE，EF交AB于点G，BE=BF.求证：GE=(2-1)DE6. (2022吉林省长春市)如图，在ABCD中，AB=4，AD=BD=13，点M为边AB的中点动点P从点A出发，沿折线AD-DB以每秒13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM.作点A关于直线PM的对称点A，连结AP、AM.设点P的运动时间为t秒，(1)点D到边AB的距离为_；(2)用含t的代数式表示线段DP的长；(3)连结AD，当线段AD最短时，求DPA的面积；(4)当M、A、C三
6、点共线时，直接写出t的值7. (2022吉林省长春市)【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图，矩形ABCD为它的示意图他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图中AD=2AB.他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想ADGAFG【问题解决】小亮对上面ADGAFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形ABCD是矩形，BAD=B=C=D=90由折叠可知，BAF=12BAD=45，B
7、FA=EFAEFA=BFA=45AF=2AB=AD请你补全余下的证明过程【结论应用】(1)DAG的度数为_度，FGAF的值为_；(2)在图的条件下，点P在线段AF上，且AP=12AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图.设AB=a，则FQ+PQ的最小值为_.(用含a的代数式表示)8. (2022内蒙古自治区通辽市)已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A(1)如图1，当点G在AD上，F在AB上，求2CE2DG的值为多少；(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转(090)，如图2，求CEDG的值为多少；(3)AB=82，AG=22AD，将正方形AFE
8、G绕A逆时针方向旋转(0360)，当C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度9. (2022广东省深圳市)(1)发现：如图所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将AEB沿BE翻折到BEF处，延长EF交CD边于G点求证：BFGBCG；(2)探究：如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6.将AEB沿BE翻折到BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求AE的长(3)拓展：如图，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的三等分点，D=60.将ADE沿AE翻折得到AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长10. (2022辽宁省营口市)如图1，
9、在正方形ABCD中，点M为CD边上一点，过点M作MNCD且DM=MN，连接DN，BM，CN，点P，Q分别为BM，CN的中点，连接PQ(1)证明：CM=2PQ；(2)将图1中的DMN绕正方形ABCD的顶点D顺时针旋转(00，当x=3时，四边形ABEF的面积取得最小值，CE+3CF=CY2+EY2+3FG2+CG2 =(33-32x)2+(32x-3)2+3(6-12x)2+(32x)2 =27-9x+34x2+94x2-9x+9+336-6x+14x2+34x2 =3x2-18x+36+336-6x+x2 =3(x-3)2+9+3(x-3)2+81，(x-3)20，当且仅当x=3时，(x-3)2
10、=0，CE+3CF=3(x-3)2+9+3(x-3)2+8112，当且仅当x=3时，CE+3CF=12，即当x=3时，CE+3CF的最小值为12，当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+3CF的值也最小，最小值为125.(1)证明：AC是正方形ABCD的对角线，AB=AD，BAE=DAE=45，AE=AE，ABEADE(SAS)，BE=DE；(2)解：FBG为等腰三角形，理由：四边形ABCD是正方形，GAD=90，AGD+ADG=90，由(1)知，ABEADE，ADG=EBG，AGD+EBG=90，PBBE，FBG+EBG=90，AGD=FBG，AGD=FGB，FBG=FGB，FG=FB，FB
11、G是等腰三角形；如图，过点F作FHAB于H，四边形ABCD为正方形，点G为AB的中点，AB=4，AG=BG=2，AD=4，由知，FG=FB，GH=BH=1，AH=AG+GH=3，在RtFHG与RtDAG中，FGH=DGA，tanFGH=tanDGA，FHGH=ADAG=2，FH=2GH=2，在RtAHF中，AF=AH2+FH2=13；(3)FBBE，FBG=90，在RtEBF中，BE=BF，EF=2BE，由(1)知，BE=DE，由(2)知，FG=BF，GE=EF-FG=2BE-BF=2DE-DE=(2-1)DE6.37.22.52-152a8.解：(1)四边形ABCD是正方形，四边形CEGF是
12、正方形，AGE=D=90，DAC=45，AEAG=2，GE/CD，CEDG=AEAG=2，CE=2DG，2CE2DG=22DG2DG=2；(2)连接AE， 由旋转性质知CAE=DAG=，在RtAEG和RtACD中，AGAE=cos45=22、ADAC=cos45=22，AGAE=ADAC，ADGACE，DGCE=AGAE=22，CEDG=2；(3)如图： 由(2)知ADGACE，DGCE=ADAC=22，DG=22CE，四边形ABCD是正方形，AD=BC=82，AC=AB2+BC2=16，AG=22AD，AG=22AD=8，四边形CEGF是矩形，AGE=90，GE=AG=8，C，G，E三点共线
13、CG=AC2-AG2=162-82=83，CE=CG-EG=83-8，DG=22CE=46-42；如图： 由(2)知ADGACE，DGCE=ADAC=22，DG=22CE，四边形ABCD是正方形，AD=BC=82，AC=AB2+BC2=16，AG=22AD，AG=22AD=8，四边形CEGF是矩形，AGE=90，GE=AG=8，C，G，E三点共线AGC=90 CG=AC2-AG2=162-82=83，CE=CG+EG=83+8，DG=22CE=46+42综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为46-42或46+429.(1)证明：将AEB沿BE翻折到BEF处，四边形ABCD是正方形，AB=B
14、F，BFE=A=90，BFG=90=C，AB=BC=BF，BG=BG，RtBFGRtBCG(HL)；(2)解：延长BH，AD交于Q，如图： 设FH=HC=x，在RtBCH中，BC2+CH2=BH2，82+x2=(6+x)2，解得x=73，DH=DC-HC=113，BFG=BCH=90，HBC=FBG，BFGBCH，BFBC=BGBH=FGHC，即68=BG6+73=FG73，BG=254，FG=74，EQ/GB，DQ/CB，EFQGFB，DHQCHB，BCDQ=CHDH，即8DQ=736-73，DQ=887，设AE=EF=m，则DE=8-m，EQ=DE+DQ=8-m+887=1447-m，EF
15、QGFB，EQBG=EFFG，即1447-m254=m74，解得m=92，AE的长为92；(3)解：()当DE=13DC=2时，延长FE交AD于Q，过Q作QHCD于H，如图： 设DQ=x，QE=y，则AQ=6-x，CP/DQ，CPEQDE，CPDQ=CEDE=2，CP=2x，ADE沿AE翻折得到AFE，EF=DE=2，AF=AD=6，QAE=FAE，AE是AQF的角平分线，AQAF=QEEF，即6-x6=y2，D=60，DH=12DQ=12x，HE=DE-DH=2-12x，HQ=3DH=32x，在RtHQE中，HE2+HQ2=EQ2，(1-12x)2+(32x)2=y2，联立可解得x=34，C
16、P=2x=32；()当CE=13DC=2时，延长FE交AD延长线于Q，过D作DNAB交BA延长线于N，如图： 同理QAE=EAF，AQAF=QEEF，即6+x6=y4，由HQ2+HD2=QD2得：(32x)2+(12x+4)2=y2，可解得x=125，CP=12x=65，综上所述，CP的长为32或6510.(1)证明：如图1中，连接NP，延长NP交CB于点J MNCD，DMN=DCB=90，MN/CB，PMN=PBJ，在PMN和PBJ中，PMN=PBJPM=PBMPN=BPJ，PMNPBJ(ASA)，MN=NJ，四边形ABCD是正方形，CD=CB，DM=MN，DM=BJ，CM=CJ，NQ=QC
17、，NP=NJ，PQ=12CJ，PQ=12CM，CM=2PQ；(2)解：成立理由：如图2中，延长NM交BC的延长线于点R，交CD于点K，连接NP，延长NP到T，使得PT=PN，连接CT，BT PM=PB，MPN=BPT，PN=PT，PMNPBT(SAS)，MN=BT，PMN=PBT，NR/BT，R=CBT，DMK=RCK=90，DKM=CKR，R=CDM，CDM=CBT，DC=BC，DM=MN=BT，CDMCBT(SAS)，CM=CT，NQ=QC，NP=NJ，PQ=12CJ，PQ=12CM，CM=2PQ；解：如图3-1中，当点N在BM的延长线上时，连接BD，取BD的中点O，连接OM，OC，过点B
18、作BRCM于点R CD=CB=10，DCB=90，BD=2BC=102，DMB=90，BM=BD2-DM2=(102)2-(25)2=65，DMB=DCB=90，DO=OB，OM=OD=OC=OB，D，M，B，C四点共圆，BMR=CDB=45，MR=BR=22BM=310，CR=CB2-BR2=102-(310)2=10，CM=RM+CR=410，PQ=12CM=210；如图3-2中，当点N落在BM上时，同法可证D，M，C，B四点共圆， CMB=CDB=45，CR=MR，设CR=MR=x，则102=x2+(65-x)2，解得x=25或45(舍弃)，CM=2x=210，PQ=12CM=10，综上
19、所述，PQ的值为210或1011.(1)解：连接BD，四边形ABCD是平行四边形，AD=CB，AD=BD，BDC=C=45，BDC是等腰直角三角形，点P为CD的中点，DP=BP，CPB=45，ADP=PBE=135， PAPE，APE=DPB=90，APD=BPE，ADPEBP(ASA)，PA=PE；(2)证明：如图，过点P作PFCD交DE于点F， PFCD，EPAP，DPF=APE=90，DPA=FPE，四边形ABCD是平行四边形，C=DAB=45，AB/CD，又AD=BD，DAB=DBA=C=CDB=45，ADB=DBC=90，PFD=45，PFD=PDF，PD=PF，PDA=PFE=135，ADPEFP(ASA)，AD=EF，在RtFDP中，PDF=45，cosPDF=DPDF，DF=DPcosPDF=DPcos45=2DP，DE=DF+EF，DA+2DP=DE；(3)解：当点P在线段C
