1、2022年中考数学真题汇编：对称问题1.（2022福建）美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2.（2022毕节）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3.（2022北京）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）A. B. C. D. 4.（2022百色）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A. 平行四边形B. 等腰梯形C. 正三角形D. 圆5.（2022梧州）下列命题中，假命题是（ ）A. 的绝对值是B. 对顶角相等C. 平行四边形是中心对称图形D. 如果直线，那么直线6
2、.（2022北部湾）如图，数轴上的点A表示的数是，则点A关于原点对称的点表示的数是（ ） A. B. 0C. 1D. 27.（2022贵港）若点与点关于y轴对称，则的值是（ ）A. B. C. 1D. 28.（2022贺州）已知二次函数y=2x24x1在0xa时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49.（2022遵义）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为（ ）A. B. C. 1D. 310.（2022梧州）如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（ ）A. B. 若实数，则C. D. 当时，11.（2022毕节）
3、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：；其中正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.（2022黔东南）若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（ ）A. B. C. D. 13.（2022北部湾）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D. 14.（2022毕节）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接若，则的长是（ ）A. 3B. C. D. 15.（2022遵义）如图，在正方形中，和交于点，过点直线交于点（不与，重合），交于点以点为圆心
4、，为半径的圆交直线于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 16.（2022云南）点A（1，-5）关于原点对称点为点B，则点B的坐标为_17.（2022毕节）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图像经过点C，E若点，则k的值是_18.（2022铜仁）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将CDE沿CE翻折得CME，点M落在四边形ABCE内点N为线段CE上的动点，过点N作NP/EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为_19.（2022玉林）如图，点A在双曲线上，点B在直线上，A与B关于x轴对称，直线l与y
5、轴交于点C，当四边形是菱形时，有以下结论： 当时， 则所有正确结论的序号是_20.（2022北京）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为（1）当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；（2）点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围21.（2022遵义）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”例如：抛物线的“关联抛物线”为：已知抛物线的“关联抛物线”为（1）写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；（2）若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，当时，求点的坐标；当时，的最大值与最小值的差为，求的值22.（2022北京）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将
6、点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”（1）如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”在图中画出点；连接交线段于点求证：（2）的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）23.（2022贵阳）已知二次函数y=ax2+4ax+b（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(1，e)，(3，f)四点，判断c，d，e，
7、f的大小，并说明理由；（3）点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当2m1时，n的取值范围是1n1，求二次函数的表达式24.（2022甘肃武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，分别是线段，上的动点（点，不与点，重合）（1）求此抛物线的表达式；（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；（3）连接如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；如图3，连接，当时，求的最小值25.（2022玉林）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段的
8、中点，则能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标26.（2022北部湾）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）（1）求点A，点B的坐标；（2）如图，过点A的直线与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值；（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围27.（2022贺州）如图，抛物线过点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上一动点
9、，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由28.（2022毕节）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E（1）求抛物线的表达式；（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值；（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由29.（2022黔东南）如图，抛物线的对
10、称轴是直线，与轴交于点，与轴交于点，连接（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由30.（2022贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究如图，在中，为边上的高，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得（1）问题解决：如图，当，将沿翻折后，使点与点重合，则_；（2）
11、问题探究：如图，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；（3）拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值31.（2022遵义）综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆该小组继续利用上述结论进行探究提出问题：如图1，在线段同侧有两点，连接，如果，那么，四点在同一个圆上探究展示：如图2，作经过点，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1） 点，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）点，在点，所确定的上（依据2）点，四点在同一个圆上（1）反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别
12、是指什么？依据1：_；依据2：_（2）如图3，在四边形中，则的度数为_（3）拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，点在上（不与的中点重合），连接作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，求证：，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由2022年中考数学真题汇编：对称问题参考答案1.（2022福建）美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A2.（2022
13、毕节）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，故选：C3.（2022北京）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）A. B. C. D. 【答案】解如图，一共有5条对称轴故选：D4.（2022百色）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A. 平行四边形B. 等腰梯形C. 正三角形D. 圆【答案】
14、A平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； B等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C正三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D圆是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确故选：D5.（2022梧州）下列命题中，假命题是（ ）A. 的绝对值是B. 对顶角相等C. 平行四边形是中心对称图形D. 如果直线，那么直线【答案】解：A 的绝对值是2，故原命题是假命题，符合题意；B对顶角相等，故原命题是真命题，不符合题意；C平行四边形是中心对称图形，故原命题是真命题，不符合题意；D 如果直线，那么直线，故原命题是真命题，不符合题意；故选：A6.（2022北部
15、湾）如图，数轴上的点A表示的数是，则点A关于原点对称的点表示的数是（ ） A. B. 0C. 1D. 2【答案】数轴上的点A表示的数是1，点A关于原点对称的点表示的数为1，故选：C7.（2022贵港）若点与点关于y轴对称，则的值是（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】点与点关于y轴对称，a=-2，b=-1，a-b=-1，故选A8.（2022贺州）已知二次函数y=2x24x1在0xa时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】解：二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），10，开口向上，在对称轴x=1的右
16、侧，y随x的增大而增大，当0xa时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，当x=a时，y=15，2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值为4故选：D9.（2022遵义）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为（ ）A. B. C. 1D. 3【答案】解：点与点关于原点成中心对称，故选C10.（2022梧州）如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（ ）A. B. 若实数，则C. D. 当时，【答案】解：抛物线的对称轴是，抛物线开口向上，故A说法正确，不符合题意；抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=-1，当x=-1时，当实数，则
17、，当实数时，故B说法正确，不符合题意；当时，a+2a-20，即3a-20，故C说法错误，符合题意；，直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，故D说法正确，不符合题意；故选C11.（2022毕节）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：；其中正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】解：抛物线的开口方向向下，a0，对称轴在y轴右侧，对称轴为x0，a0，b0，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，c0，abc0，故错误；对称轴为x1，b2a，2a+b0，故错误；由图象的对称性可知：当x3时，y0，9a3b+c0，故错误；由图象可知，该抛物线与x轴有两个不
18、同的交点，b24ac0，即b24ac；故正确；由图象可知当x1时，y0，ab+c0，故正确综上所述，正确的结论是：故选：B12.（2022黔东南）若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】解：二次函数的图像开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴负半轴，a0，c0，-c0，一次函数的图像经过第一、二、三象限，反比例函数的图像在第一，三象限，选项C符合题意故选：C13.（2022北部湾）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】解：反比例函数
19、的图象在第一和第三象限内，b0，若a0，所以二次函数开口向下，对称轴y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；当a0，则-0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c0，则-a0，当c0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，故只有D选项符合题意故选：D14.（2022毕节）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接若，则的长是（ ）A. 3B. C. D. 【答案】连接BF，与AE相交于点G，如图，将沿折叠得到与关于AE对称AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=点E是BC中点BE=CE=DF=BE=CE=DFEBF
20、=EFB，EFC=ECFBFC=EFB+EFC=故选 D15.（2022遵义）如图，在正方形中，和交于点，过点直线交于点（不与，重合），交于点以点为圆心，为半径的圆交直线于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】解：在正方形中，的半径为：过点，根据中心对称可得四边形的面积等于正方形面积的一半，又阴影部分面积为：故选：B16.（2022云南）点A（1，-5）关于原点对称点为点B，则点B的坐标为_【答案】解：点A（1，-5）关于原点的对称点为点B，点B的坐标为（-1，5）故答案为：（-1，5）17.（2022毕节）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、
21、y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图像经过点C，E若点，则k的值是_【答案】作CF垂直y轴于点F，如图，设点B的坐标为(0，a)，四边形是正方形，AB=BC，ABC=90，OBA+OAB=OBA+FBC=90OAB=FBC在BFC和AOB中BF=AO=3，CF=OB=aOF=OB+BF=3+a 点C的坐标为(a，3+a)点E是正方形对角线交点，点E是AC中点，点E的坐标为反比例函数图象经过点C，E解得：k=4故答案为：418.（2022铜仁）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将CDE沿CE翻折得CME，点M落在四边形ABCE内点N为线段CE上的动点，过点N作NP/EM交M
22、C于点P，则MN+NP的最小值为_【答案】解：作点P关于CE的对称点P， 由折叠的性质知CE是DCM的平分线，点P在CD上，过点M作MFCD于F，交CE于点G，MN+NP=MN+NPMF，MN+NP的最小值为MF的长， 连接DG，DM，由折叠的性质知CE为线段 DM的垂直平分线，AD=CD=2，DE=1，CE=，CEDO=CDDE， DO=，EO=，MFCD，EDC=90，DEMF，EDO=GMO， CE为线段DM的垂直平分线，DO=OM，DOE=MOG=90，DOEMOG，DE=GM，四边形DEMG为平行四边形， MOG=90，四边形DEMG为菱形，EG=2OE=，GM= DE=1，CG=，
23、DEMF，即DEGF，CFGCDE，即， FG=，MF=1+=，MN+NP的最小值为故答案为：19.（2022玉林）如图，点A在双曲线上，点B在直线上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，有以下结论： 当时， 则所有正确结论的序号是_【答案】直线，当时，四边形是菱形，A与B关于x轴对称，设AB交x轴于点D，在中，故错误；在双曲线上，当时，故正确；，点B在直线上，故正确；，故错误；综上，正确结论的序号是，故答案为：20.（2022北京）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为（1）当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；（2）点在抛物线上，若求的取值范围及的取值
24、范围【答案】（1）解：当时，当x=0时，y=2，抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；，点关于对称轴为对称，；（2）解：当x=0时，y=c，抛物线与y轴交点坐标为（0，c），抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，13，2t3，即（不合题意，舍去），当点在对称轴左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，此时点到对称轴距离大于点到对称轴的距离，解得：，13，2t3，即，对称轴为， ，解得：，的取值范围为，的取值范围为21.（2022遵义）新定义：我们把抛物线（其中）与抛
25、物线称为“关联抛物线”例如：抛物线的“关联抛物线”为：已知抛物线的“关联抛物线”为（1）写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；（2）若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，当时，求点的坐标；当时，的最大值与最小值的差为，求的值【答案】（1）解：抛物线的“关联抛物线”为，根据题意可得，的解析式顶点为（2）解：设，则，当时，解得，当时，方程无解或的解析式顶点为，对称轴为，当时，即时，函数的最大值为，最小值为的最大值与最小值的差为解得（，舍去）当时，且即时，函数的最大值为，最小值为的最大值与最小值的差为解得（，舍去）当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大，函数的最大值为，最小值
26、为的最大值与最小值的差为即即解得（舍去）综上所述，或22.（2022北京）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”（1）如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”在图中画出点；连接交线段于点求证：（2）的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）【答案】（1）解：点Q如下图所示点，点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，点的横坐标为：，纵坐标为：，点
27、，在坐标系内找出该点即可；证明：如图延长ON至点，连接AQ， ，在与中， ，； （2）解：如图所示，连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，又，OMST，NM为的中位线， ， 在中，结合题意，即长的最大值与最小值的差为23.（2022贵阳）已知二次函数y=ax2+4ax+b（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(1，e)，(3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；（3）点M
28、(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当2m1时，n的取值范围是1n1，求二次函数的表达式【答案】（1）解：y=ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b= a(x+2)2+b-4a，二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；（2）解：由（1）知二次函数的图象的对称轴为直线x=-2，又二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，当a cd；当a0时，画出草图如图：e=f cd；（3）解：点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当a0时，根据题意：当m=-2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1，即，解得：，二次函数的表达式为y
29、=x2x-综上，二次函数的表达式为y=x2x-或y=x2x+24.（2022甘肃武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，分别是线段，上的动点（点，不与点，重合）（1）求此抛物线的表达式；（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；（3）连接如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；如图3，连接，当时，求的最小值【答案】（1）解：在抛物线上，解得，即；（2）在中，令，得，轴，（3）连接交于点，如图1所示：与关于轴对称，设，则，点在抛物线上，解得（舍去），；在下方作且，连接，如图2所示：，当，三点共线时，最小，最小为，过作，垂足为，即的最小值为25.
30、（2022玉林）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标【答案】（1）的对称轴为，即b=2，过B点(2,0)，结合b=2可得c=4，即抛物线解析式为：；（2）POD不可能是等边三角形，理由如下：假设POD是等边三角形，过P点作PNOD于N点，如图，当x=0时，C点坐标为(0,4)，OC=4，D点是OC的中点，DO=2，等边POD中，PNOD，D
31、N=NO=DO=1，在等边POD中，NOP=60，在RtNOP中，NP=NOtanNOP=1tan60=，P点坐标为(,1)，经验证P点不在抛物线上，故假设不成立，即POD不可能是等边三角形；（3）PHBO，MHB=90，根据（2）中的结果可知C点坐标为(0,4)，即OC=4，B点(2,0)，OB=2，tanCBO=2，分类讨论第一种情况：BMHCMP，MHB=MPC=90，即P点纵坐标等于C点纵坐标，也为4，当y=4时，解得：x=1或者0，P点在第一象限，此时P点坐标为(1,4)，第二种情况：BMHPMC，过P点作PGy轴于点G，如图，BMHPMC，MHB=MCP=90，GCP+OCB=90
32、，OCB+OBC=90，GCP=OBC，tanGCP=tanOBC=2，PGOG，在RtPGC中，2GC=GP，设GP=a，GC=，GO=+OC=+4，PGOG，PHOH，可知四边形PGOH是矩形，PH=OG=+4，P点坐标为(a,+4)，解得：a=或者0，P点在第一象限，a=，此时P点坐标为()；BMH与PCM中，有BMH=PMC恒相等，PCM中，当CPM为直角时，若PCM=BMH，则可证PCM是等腰直角三角形，通过相似可知BMH也是等腰直角三角形，这与tanCBO=2相矛盾，故不存在当CPM为直角时，PCM=BMH相等的情况；同理不存在当PCM为直角时，CPM=BMH相等的情况，综上所述：
33、P点坐标为：(1,4)或者()26.（2022北部湾）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）（1）求点A，点B的坐标；（2）如图，过点A的直线与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值；（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围【答案】（1）解：抛物线解析式，令，可得，解得，故点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；（2）对于抛物线，其对称轴为，点P为抛物线对称轴上的一点，且点P的纵坐标为m，P（1，m），将直线l与抛物线解析式联立
34、，可得，可解得 或，故点C坐标为（4，-5），当时，可得，解得；（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，结合（1），可知M（0，5）、N（4，5），令，整理可得，其判别式为，当时，解得，此时抛物线与线段MN只有一个交点；当即时，解方程，可得，即，若时，如图1，由，可解得，此时有，且，解得；当时，如图2，由，可解得，此时有，且，解得；综上所述，当抛物线与线段MN只有一个交点时，a的取值范围为或或27.（2022贺州）如图，抛物线过点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在
35、（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）根据题意，得，解得，抛物线解析式为：（2）由（1）得，点，且点，当是以BC为底边的等腰三角形PC=PB，OP=OP，设抛物线的对称轴与轴交于H点，则，抛物线对称轴，点P坐标为（3）存在理由如下：过点M作轴，交BC于点E，交x轴于点F设，则，设直线BC的解析式为：，依题意，得：，解得，直线BC的解析式为：，当时，点E的坐标为，点M在第一象限内，且在BC的上方，解得28.（2022毕节）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线
36、于点E（1）求抛物线的表达式；（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值；（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）解：由可知，解得：，（2）分别令中，得，；设BC的表达式为：，将，代入得，解得：；BC的表达式为：；抛物线平移后的表达式为：，根据题意得，即，该抛物线与直线始终有交点，h的最大值为；（3）存在，理由如下：将代入中得，四边形DEMN是平行四边形，设，当时，解得：（舍去），当时，解得：，或，综上，点N的坐标
37、为：或或29.（2022黔东南）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，与轴交于点，连接（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）解：抛物线的对称轴是直线，解得：a=-1，抛物线过点，解得：c=3，抛物线解析式为；（2）解：存在这样的点，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形理由如下：令y=0，
38、则，解得：，点A的坐标为（-1，0），OA=1，当x=0时，y=3，点C的坐标为（0，3），即OC=3，设直线BC的解析式为，把点B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，直线BC的解析式为，设点N（m，-m+3），MN=-m+3，AM=m+1，当AC=AN时，解得：m=2或0（舍去），此时点N（2，1）；当AC=CN时，解得：或（舍去），此时点N；当AN=CN时，解得：，此时点N；综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形；（3）解：存在，理由如下：点B（3，0），C（0，3），OB=OC，BC，设点E（1，n），点F（s，t），当BC为边时，点C向右平移3个
39、单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图，或，解得：或，此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）；当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图，解得：或，此时点F的坐标为或；综上所述，存在点坐标为（4，1）或（-2，1）或或30.（2022贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究如图，在中，为边上的高，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得（1）问题解决：如图，当，将沿翻折后，使点与点重合，则_；（2）问题探究：如图，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；（3）拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值【答案】（1），是等边三角形，四边形平行四边形，为边上的高，（2），是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，为底边上的高，则点在边上，当时，取得最小值，最小值为；（3）如图，连接，则，设， 则，折叠，在中，延长交于点，如图，在中，31.（20
