1、用空间向量解决立体用空间向量解决立体几何中的平行、垂直几何中的平行、垂直和夹角、距离问题和夹角、距离问题一。知识再现 空间向量：(1)空间直角坐标系(2)向量的直角坐标运算(3)夹角和距离公式(1)空间直角坐标系123aa ia ja k若123(,)aa aa则(,)OAx y z 111222(,),(,).A x y zB x y z设212121(,)ABxx yy zz zxyoA(x,y,z)aijk(2)向量的直角坐标运算1231231122331122331231 1223 31122331 1223 3(,),(,)(,)(,)(,)()|,0aa a abb b babab
2、 ab ababab ab abaaaaRa baba ba ba bab ab abababa ba b设(3)夹角和距离公式OjikXYZAB123123223123123123123223222212121:(,),(,),|,|,cos,|:(,);(,):|()()()aa a a bb b baa aaaabb bbbba ba babAx y zBx y zABxxyyzz 设则设则二二.两个重要的空间向量两个重要的空间向量1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量量都称为直线的方向向量.如图如图,在空间直角
3、在空间直角坐标系中坐标系中,由由A(x1,y1,z1)与与B(x2,y2,z2)确定的确定的直线直线AB的方向向量是的方向向量是212121(,)ABxx yy zz zxyAB2.平面的法向量 如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面平面的法向量的法向量.nabn求平面的法向量的坐标的步骤 第一步第一步(设设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据na=0且nb=0列出方程组 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.111222
4、00 xx yy zzxx y y z z 2 2、在棱长为、在棱长为2 2的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,O,O是面是面ACAC的中心的中心,求面求面OAOA1 1D D1 1的法向量的法向量.ABCDOA1B1C1D1zxy1 1、已知、已知 =(2,2,1),=(4,5,3),=(2,2,1),=(4,5,3),则平面则平面ABCABC的一个法向量是的一个法向量是_._.AB AC 练习练习1三、建立空间坐标系p利用现有三条两两垂直的直线p注意已有的正、直条件p相关几何知识的综合运用xABC1CA1B1正三棱柱zyxyPBCDA正四
5、棱锥zABCD正三棱锥xyzABCD1A1B1C1Dxyz长方体1 122330a ba ba bba112233,()ab ab abRba|112222/ababab四、常用公式：四、常用公式：1、求线段的长度：、求线段的长度：222zyxABAB212212212zzyyxx2、平行、平行3、垂直、垂直4、求、求P点到平面点到平面的距离：的距离：|PM nPNn ，（，（N为垂足，为垂足，M为斜足，为斜足，n为平面为平面的法向量）的法向量）5、求直线、求直线l与平面与平面所成的角所成的角：|sin|PM nPMn ，(PMlMn为为的法向量的法向量)6、求两异面直线、求两异面直线AB与与
6、CD的夹角：的夹角：|cos|AB CDABCD 7、求二面角的平面角、求二面角的平面角 :(为二面角的两个面的法向量）为二面角的两个面的法向量）1212|cos|n nnn 1n2n 8、求二面角的平面角、求二面角的平面角 :cosSS射影（射影面积法）（射影面积法）9、求法向量：找；求：设、求法向量：找；求：设,a b 为平面为平面内的任意两个向量，内的任意两个向量，(,)nx y z为为的法向量的法向量 00a nb n 则由方程组则由方程组 可求得法向量可求得法向量n垂直与平行的证明直线与直线的平行直线与直线的平行直线与直线的垂直直线与直线的垂直直线与平面的平行直线与平面的平行共面向量
7、的充要条件与平面的法向量垂直直线与平面的垂直直线与平面的垂直垂直于平面内不共线的两个向量平面与平面的平行平面与平面的平行两个平面的法向量平行平面与平面的垂直平面与平面的垂直两个平面的法向量垂直设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ，根据下列条件判断根据下列条件判断l，m的位置关系：的位置关系：ab(1)(2,1,2),(6,3,6)(2)(1,2,2),(2,3,2)(3)(0,0,1),(0,0,3)ababab 练习练习2直线与直线的平行与垂直直线与直线的平行与垂直平行：共线向量的充要条件 垂直：向量垂直的充要条件 lmab/lm/abablamblm0aba b 例例1.已
8、知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求证:C C1BDA1B1C1D1CBAD 证明：设 依题意有 ，于是 C C1BD1,CDa CBb CCc BDCDCBab|ab1()|cos|cos0CCBDcabc ac bc ac b 题型一：线线垂直题型一：线线垂直a 例例2.2.已知正三棱柱的各棱长都为已知正三棱柱的各棱长都为1，是底，是底面上边的中点，是侧棱上的点，且面上边的中点，是侧棱上的点，且，求证：。求证：。ABCABC MBCNCC 14CNCC ABMN NMACBCABb c 解解1：向量解法向量解法 设设，则由已知条件和正
9、三棱柱的性质，则由已知条件和正三棱柱的性质，得，得,ABaACbAAc .ABMN 你能建立直角坐标系解答本题吗？你能建立直角坐标系解答本题吗？111()()224ABMNacabc 2211111|24242aca ba cbc 1|1,0,2abca cbca b1110244AB MN 111,224MNANAMabc 11,(),24ABac AMabANbc 题型一：线线垂直题型一：线线垂直NMACBCAB.ABMN 解解2：直角坐标法：直角坐标法。取取 由由已知条件和正三棱柱的性质，得已知条件和正三棱柱的性质，得 AM BC,如图建立坐标系如图建立坐标系m-xyz。则。则 ,B C
10、G 的中点1 131(0,0,0,),(0,),(,0,0),(0,1),2 422MNAB1 131(0,);(,1)2 422MNAB31110()102224ABMN XYZG例例2 2已知正三棱柱的各棱长都为已知正三棱柱的各棱长都为1，是底，是底面上边的中点，是侧棱上的点，且，面上边的中点，是侧棱上的点，且，求证：。求证：。ABCABC MBCNCC 14CNCC ABMN 题型一：线线垂直题型一：线线垂直直线与平面的平行与垂直直线与平面的平行与垂直 设直线设直线l的方向向量分别为的方向向量分别为 ，平面，平面的法向量的法向量为为 ，平面，平面内两不共线向量内两不共线向量 ，且，且l
11、平行：共面向量的充要条件 垂直：垂直于平面内不共线的两个向量 anln/ananlan/l0ana n lb c、axbyc00a bc，且 aabcbcABDCA1B1D1C1例例3 3.在正方体在正方体ACAC1 1中，中，E E为为DDDD1 1的中点，求证：的中点，求证：DBDB1 1/面面A A1 1C C1 1E EEF11,2.(2,0,2),(0,2,2),(0,0,1)DxyzADACE证明：如图建立坐标系设则xyz1111(2,2,0),(2,0,1),(1,1,1).ACAEDB 11(,),AE Cnx y z设平面的法向量则11100ACnAE n22020 xyxz
12、即即(1,1,2)n 解得111 1 20,DBnDBn 111/.DBAC E平面题型二：线面平行题型二：线面平行(1,1,2),(2,2,0),(0,2,1)A FDBDE ,.:ABCD A B C DCC BDA FBDE在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面例4FEXYZ,DA DC DDxyzA 证明:如图取分别为 轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.(2,0,2),F(1,1,0),B(2,2,0),E(0,2,1)(1,1,2)(2,2,0)0 (1,1,2)(0,2,1)0,.A F DBA F DEA FDB A FDEDBDEDA FBDE 又平面评注：
13、本题若用一般法评注：本题若用一般法证明，容易证证明，容易证AFAF垂直垂直于于BDBD，再证，再证AFAF垂直于垂直于DEDE，或证或证AFAF垂直于垂直于EFEF则较难，用建立空间坐则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化标系的方法能使问题化难为易。难为易。题型三：线面垂直题型三：线面垂直A1C1B1ACBEDzxy题型：线面平行、垂直题型：线面平行、垂直1(2,0,1)AE 1(1,3,2)AB 平面与平面的平行与垂直平面与平面的平行与垂直 设平面设平面、的法向量分别为的法向量分别为平行：垂直：12nn、12120nnnn1n2n1n2n/1212/nnnn练习练习2：设平面设平面 ，的法
14、向量分别的法向量分别为为 ，根据下列条件判，根据下列条件判断断 ，的位置关系：的位置关系：uv(1)(2,2,5),(6,4,4)uv(2)(1,2,2),(2,4,4)uv(3)(2,3,5),(3,1,4)uv 11111111111111:,(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,0,1)(1,0,1),(1,0,1)|.|.|.|D AD CD Dx y zABCDDB CDB CDBDCB DBCB DBD 111111证 明如 图 分 别 以、三 边 所 在 的 直 线 为轴 建 立 空 间直 角 坐 标 系.设 正 方 体 的 棱 长 为 1,则则 AA即 直 线
15、AC，则 A平 面同 理 右 证：A平 面平 面 A11.CB D平 面XYZ1CABCD1D11|B DC B D11111在 正 方 形 A B C D-AB CD 中,求 证:平 面 A平 面例 6.题型四：面面平行题型四：面面平行1B1A 例例7.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证：面AED面A1FD1zxy证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,则E(2,0,1),D(0,2,0),A1(0,0,2),D1(0,2,2),F(1,2,0),(2,0,1)AE (0,2,0)AD 设平面AED的法向量为n1=(x，
16、y，z)得2020 xzy120 xzy 取z=2，得 n1=(-1，0，2)同理可得平面A1FD1的法向量为n2=(2，0，1)n1 n2=-2+0+2=0 面AED面A1FD题型五：面面垂直题型五：面面垂直ABCDFEA1B1C1D1三种角的计算 异面直线所成的角 直线和平面所成的角 二面角123(,)aa a a1.若，123(,),bb b b则：数量积：a b 1 1223 3aba ba b夹角公式：cosa b 111222(,),(,)A x y zB xyz2.若，则：212121(,)xx yy zzAB 线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入|a b
17、ab 1 12 23 3222222123123aba ba baaabbb|cos,aba b求下列两个向量夹角的余弦值求下列两个向量夹角的余弦值（1），（2）.(233)(100)a，b，(1 11)(101)a ，b，异面直线所成角的计算异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,CD AB 与 的关系？思考：思考：,DC AB 与 的关系？结论：结论：coscos,CD AB|题型一：线线角题型一：线线角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入例一：090,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111A
18、BACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F题型一：线线角题型一：线线角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB1111 1(,0,1),(,1)22 2FD所以：11(,0,1),2AF 111(,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD 113041053421BD1AF所以 与 所成角的余弦值为3010题型一：线线角题型一：线线角 问题：问题：利用向量坐标法求两条
19、异面直线夹角利用向量坐标法求两条异面直线夹角 的一般步骤是什么？的一般步骤是什么？(1)恰当的构建空间直角坐标系；恰当的构建空间直角坐标系；(2)正确求得对应点的坐标，空间向量正确求得对应点的坐标，空间向量 的坐标表示及其数量积和模；的坐标表示及其数量积和模；(3)代入空间向量的夹角公式，求得其余代入空间向量的夹角公式，求得其余 弦值；弦值；(4)根据题意，转化为几何结论根据题意，转化为几何结论.PADGFEzx ByC题型一：线线角题型一：线线角解：如图，建立空间直角坐标系。22442 2BCBGGD2 2ADBC33 242GDAD(1)1,1,0,0,2,4GEPC ,GEPC设与所成的
20、角为2110cos10|24 1610GE PCGEPC 10arccos10PADGFEzx ByC2004年福州市第一次统测试题302(2)02DFGCDF GC 3433()44PFPCPF FC 3PFFC|3|PFFC (2)0,2,4,0,2,0PCGC 0,2,4,PFPC 设33,2,4 4 22DFDP PF 33,422DP 题型一：线线角题型一：线线角 练习：练习：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_.BC A MxzyB1C1D1A1CD题型一：线线角题型一：线线角 解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-x
21、yz,设正方体的棱长为2,则 M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),于是,cos=.CM 1DB(1,2,0)CM 1(2,2,2)DB 2 4 0215301 4 0 4 4 454 3 xPABDCEyz题型一：线线角题型一：线线角练习：题型一：线线角题型一：线线角在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD=，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM 1(0,8,4),AD 10AM AD 1.ADAMA
22、DANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M斜线与平面所成角的计算nPAO题型二：线面角题型二：线面角直线与平面所成角的范围：0,2ABO,n BA 与 的关系？思考：思考：n结论：结论：sincos,n AB|题型二：线面角题型二：线面角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入练习：练习：如果平面的一条斜线与它在这个平面上如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是的射影的方向向量分别是a=a=（1 1，0 0，1 1），），b=b=（0 0，1 1，1 1），那么这条斜线与平面所成），那么这条斜线与平面所成的角是的角
23、是_._.题型二：线面角题型二：线面角600例四：题型二：线面角题型二：线面角在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD=，14,AA 112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD 1(0,8,4),AD ADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入1cos,AD AD 2 55ADANM与平面所成角的正弦值是2 55在长方体在长方体 中，中，ABCD1A1B1C1DMxyz
24、ADANM（2）求与平面所成的角.BCD1A1B1C1DMN|sin|nADnAD解：如图建立坐标系A-xyz,则(0,0,0),A(6,2,6)M15,AN 由可得(0,4,3)N(6,2,6),(0,4,3).AMAN(,),nx y z设平面 的法向量由00AMnANn6260430 xyzyz即练习练习1：1111ABCDABC D1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15AN 16,AA 6,8,ABAD题型二：线面角题型二：线面角练习练习1：在长方体在长方体 中，中，1111ABCDABC D58,ABAD=，1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点
25、在线段上，ABCD1A1B1C1DMNxyzADANM（2）求与平面所成的角.BCD1A1B1C1DM15AN 4(1,1,)3n 得222|0 1 80|3 34,344811()3 (0,8,0),AD 又ADANM与平面所成角的正弦值是3 343416,AA|sin|AD nAD n题型二：线面角题型二：线面角练习2：1111ABCDABC D的棱长为1.111.B CAB C求与 面所 成 的 角题型二：线面角题型二：线面角正方体ABCD1A1B1C1D线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入 练习练习3.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ，求AC1
26、与侧面ABB1A1所成的角2azxyC1A1B1ACBO题型二：线面角题型二：线面角 解:建立如图示的直角坐标系,则 A(,0,0),B(0,0)A1(,0,).C(-,0,0)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)由 得 ，解得 取y=,得n=(3,0)而 2a32a2a2a2a13(,0),(0,0,2)2 2aABaAAa 3002220axayaz30 xyz331(,0,2)ACaa 122|30 0|31sin|cos,|22 3 39 3 00 2aan ACaaa 30.BAOBAODPXYZ,2,4),(3,0,)(,2,4).(3,0,)9,4029,8.PzOPZO
27、POPZZBBAOBPOBOPAOB 解:建 立 如 图 的 空 间 直 角 坐 标 系,3由 题 意 B(3,0,0),D(设23则 BD2BDBD平 面3为与 底 面所 成 的 角,POB=arctan8,PBBDA B0(2002上海高考题)如图在直三棱柱ABO-ABO中,OO=4,OA=4,OB=3,AOB=90是侧棱上的一点,为中点,若OPBD,求OP与底面AOB所成角例五:的大小.题型二：线面角题型二：线面角例例6 如图如图,在四棱锥在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为矩形，为矩形，侧棱侧棱PA底面底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在线段，在线段BC上是否存在一点上是否
28、存在一点E,使使PA与平面与平面PDE所成角的大小为所成角的大小为450?若存在，确定点若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。的位置；若不存在说明理由。3DBACEPxzy题型二：线面角题型二：线面角(0,0,1),(3,0,1),(3,1,0)APDPDEm (,),30,3,(3)0,(3),PD Enx y znD P nD Exzzxmxyym x 设 平 面的 法 向 量 为则解 得1,(1,3,3),xnm令得2345sin45,4(3)PAPDEm与平面所成角的大小为32323245mmBEPAPDE解得或（舍），因此，当时，与平面所成角的大小为。解：以解：以A为原点，为原点
29、，AD、AB、AP所在的直线分所在的直线分别为别为X轴、轴、Y轴、轴、Z轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，(0,0,0),(0,0,1),(3,0,0),(,1,0),APDE m设设BE=m，则，则xy2003年全国高考题ABCDEGA1B1C1z题型二：线面角题型二：线面角二面角的平面角的计算PBAlQnm题型三：二面角题型三：二面角二面角的范围：0,1n2n 2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n ABO关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入练习：练习：已知两平面的法向量分别为已
30、知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),m=(0,1,0),n=(0,1,1)n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为，则两平面所成的钝二面角为_._.1350题型三：二面角题型三：二面角题型三：二面角题型三：二面角,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0如所示，ABC D 是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面角的例余弦值7ABCDS,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C=90S平面求面与面所成二面角例的余弦值7ABCDSxyz解：建立空直角坐系A-xyz如所示,A(0,0,0),11(1,0)
31、,(0,1)22CDSD C(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量设平面2(,),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n 任取1212126cos,3|n nn nnn 63即所求二面角得余弦值是例例8:如图如图:直四棱柱直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中中,底面底面ABCD为菱形为菱形 ,AB=AA1=4,E为为AB的中点的中点求求:1)直线直线BD1与与CE所成的角的余弦值所成的角的余弦值;2)二面角二面角A1-CE-D的余弦值的余弦值.060BADxzyOBACA1
32、D1B1DC1E题型三：二面角题型三：二面角 练习练习1.在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS题型三：二面角题型三：二面角解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由 得 n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小满足 二面角A-SD-C的大小为 .(1,1,1),(1,1,0)SCCD 02,202zxxyzzxyzy解 得
33、取得12116coscos,61 14 1 006n n 6arccos6xyzAA1BCDD1C1B1P题型三：二面角题型三：二面角练习练习2：1100111112:(2 0 0 2,6 0,9 0,2,3.;(2)O A BO A BO B B OO A BO O BA O BO BO OO AOA BOA BA O111例年 上 海 春 季 高 考 题)如 图:三 棱 柱-平 面平 面且求:(1)二 面 角的 大 小异 面 直 线与所 成 角 的 大 小.1AAB1B1O111:(1),(0,0,0),(0,1,3),(3,0,0)(3,1 3),(0,2,0),(3,1,3),(3,2
34、,0)OOA OBx yOAOBzOOAABAOAB 解以为原点,分别以所在的直线为轴,过点且与平面垂直的直线为 轴,建立空间直角坐标系.如图所示.则11221212212121(0,0,1).(,).0,0.3230:,3,2,132012(2,3,1).co s,4|22,O ZA O BnO A BnxyznA OnA Bxyzyxzxynnnnnnnn 显 然为 平 面的 法 向 量 取设 平 面的 法 向 量 为则即令2122arcco s.arcco s.44nOA BO 故 二 面 角的 大 小 为XYZO1AAB1B1OOXYZ11111111111(2),(3,1,3),(3
35、,1,3)17|1arccos.7AB AOABOA OA OOAB OACOSAB OAAB AO 设异面直线与所成的角为则与所成的角为如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余所成的角的余弦值弦值(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值OABCSxyz【课后作业课后作业】【巩固练习巩固练习】1 三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC,E为为PC中点中点,则则PA与与BE所成角所成
36、角的余弦值为的余弦值为_.2 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中,A1A=2,AB=AC=1,则则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成角的余弦值为角的余弦值为_.3正方体中正方体中ABCD-A1B1C1D1中中E为为A1D1的的中点中点,则二面角则二面角E-BC-A的大小是的大小是_090BAC090BAC6631 01 0045ABCDM1A1B1CXYZ:(),C解如图以 为原点建立空间直角坐标系.1111112 1 1,0,0),(2,1,0),(0,1,1),(,),22 222 1 1(,1,0),(,),(2,1,1)222 211(0,),0,0.22,.,.BBADMC
37、DABDMCD ABCD DMCDAB CDDMAB DMBDMCDBDM (2则为平面内的两条相交直线平面01111111112.(2004,90,1,2,1,.();().ABCA B CACBACCBAAAA B BDB CMCDBDMB BDCBD年高考题)如图 直三棱柱中侧棱侧面的两条对角线交点为的中点为求证平面求面与面所成二面角的大小ABCDM1A1B1C11111113 2 1 1(),(,).44 42 1 123 1(,),(,)2 2 244 40,.,3cos.3|cBDGBGGBDBGBD BGBDBGCDBDCD BGCD BGCDBGarc 设的中点为,连结则又与的
38、夹角 等于所求二面角的平面角.所求二面角的大小等于-3os.3GXYZ小结：小结：1.异面直线所成角：coscos,CD AB|2.直线与平面所成角：sincos,n AB|3.二面角：cos12|cos,|n n cos12|cos,|n n 关键：观察二面角的范围ABCD1DABOn1n2n 五。距离的计算 点与点距离 点到直线的距离 点到平面的距离 直线到与它平行平面的距离 两个平行平面的距离 异面直线的距离题型一：点到直线的距离题型一：点到直线的距离222|()|ABAPAB APdAB 说明：说明：2221(1)|()2PABSABAPAB AP 2|PMABMAMABAP ABAB
39、 (2)若，为垂足，,则PABMcos,A BABa ea e AB nA Ba en nPAOMNPA ndn 题型二：点到平面的距离题型二：点到平面的距离xyzAA1BCDD1C1B1P?题型二：点到平面的距离题型二：点到平面的距离例例1求点P到平面距离步骤：1.建立适当的空建立适当的空间间直角坐直角坐标标系系2.写出点的坐写出点的坐标标（点（点P及及内三点）内三点）3.求出向量的坐求出向量的坐标标（点（点P与与内一点内一点A A连线连线向量，向量，内两不共内两不共线线向量）向量）4 4.求求的法向量的法向量n n5.5.求求6.6.下下结论结论P Andn例2.在直三棱柱ABC-A1B1
40、C1中,AA1=,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距离.2zxyCC1A1B1AB题型二：点到平面的距离题型二：点到平面的距离FB(1991)4,32,:ABCDE FAD ABGCABCDGCBEFG年全国高考理科试题 如图已知是边长为 的正方形,分别是的中点,垂直于所在的平面,且求点 到平面例的距离.ACDEGXYZ题型二：点到平面的距离题型二：点到平面的距离BAMNnAB ndn ab题型三：异面直线的距离题型三：异面直线的距离例1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1题型三：异面直线的距离题型三
41、：异面直线的距离111101.4,2,90,ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB例2已知：直三棱柱的侧棱底面中为的中点。求与的距离。zxyABCC1).4,2,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,0,0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系1(1,1,0),(2,2,4),CEAB 则的公垂线的方向向量为设).,(,1zyxnBAEC001BAnECn即即04220zyxyx取x=1,z则y=-1,z=1,所以)1,1,1(n,(2,0,0).C ACA在两直线上各取点.332|1nACndBAEC的距离与EA1B1题型三：异面直线的距离题型三：异面直线的距离会求了点
42、到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.例例.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,AB=4,ABC=60,侧棱PA底面AC且PA=4,E是PA的中点,求PC与平面BED间的距离.xzyPBEADCF题型四：线面与面面的距离题型四：线面与面面的距离空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题决立体几何问题。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算
43、，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。ABC1A1B1CFED111111111118:2,2,;(2),ABCABCABCACBBD ACEBCBEDCAAFCFBDFAFFAACB FD例 如图直三棱柱中,底面是以为直角的等腰直角三角形,为的中点 为的中点.（1）求直线与所成的角在线段上是否存在点使若存在,求出的长,若不存在,请说明理由;(3)若 为的中点求 到面距离.XYZ1:(1),BBA BC BBxyz 解以为原点分别为 轴轴轴,建立空间直角坐标系,1112,22(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(0,1)222(2,0,2),(0,2,2),(
44、,2)22222(0,1),(,2)22212302,1035230arccos.10ACABBCBBCEACDBED CC O SBE D CBED C 与所 成 的 角 为ABC1A1B1CFED1121(2),|,(2,0,),(2,2,),(2,0,2)02200,C FB D FAFzFzC FzB FzC FB Fzz 假 设 存 在 使面令由方 程 无 实 根不 存 在.1111122(3).,(2,0,1),(2,2,1),(,0)22220(,),2220:(,2),1,(1,1,2)|32.|232.2FFCFB DnB DxyB FDnx y znB FxznxxxxnCF ndnCB FD 为中点设面的法向量为则:则令则到面的距离为XYZ
