1、 2.3.1 抛物线的标准方程2.3.2 抛物线的性质2.3.3 直线与抛物线的位置关系2.2.1 双曲线的标准方程2.2.2 双曲线的性质2.2.3 直线与双曲线的位置关系2.1.1 椭圆的标准方程2.1.2 椭圆的性质2.1.3 直线与椭圆的位置关系新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要.我们生活的地球运行在环绕太阳的椭圆轨道上，天体运行的轨迹和圆锥曲线之间，究竟存在着怎样神秘对应关系呢？2.3抛物线2.1椭 圆2.2双曲线华罗庚圆锥曲线与方程 2.1我们知道，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆，当改变平面与圆锥底面的夹角时，会得到不同的
2、截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把圆、椭圆、抛物线和双曲线统称为圆锥曲线. 本章我们继续采用研究直线与圆所用的坐标法，在定义了圆锥曲线的基础上，建立它们的方程，并根据它们的方程来研究圆锥曲线的性质.椭圆 问题 宇宙中，许多星体的运行轨迹是椭圆，生活中也常见到椭圆，如汽车油罐横截面的轮廓等，你会画椭圆吗?在平面直角坐标系中，椭圆的方程是怎样的?它有哪些几何性质呢?2.1.1 椭圆的标准方程图2-1如图2-1,取一条定长的细绳，把它的两端固定在画板上的F1和F2两点,当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆.从上面的画图过程我们
3、可以看出，椭圆是平面内到点F1和F2的距离之和等于定长(这条绳长)的点的集合组成的图形.我们将平面内与两个定点F1 、F2的距离之和为常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距. 图22【想一想】 观察图2-2,你能说出图中的平面直角坐标系是怎样建立的吗?如图2-2,取过焦点F1 、F2的直线为x轴，线段F1 F2的垂直平分线y轴，建立平面直角坐标系.设点M()是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c（c0），椭圆上的点与两个定点F1 、F2的距离之和为2a（a0），则F1 、F2的坐标分别为（c，0），（c，0），由椭圆的定义，得移项得 两边平方
4、得整理得 两边平方后，整理得 【小提示】设，不仅使得方程变得简单规整，同时在后面讨论椭圆的集合性质时，还会看到它有明确的几何意义。由椭圆的定义得2a2c0，即ac0，所以，设，则等式两边同时除以得 ( ab0 )方程叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程.它所表示的椭圆的焦点是F1oxF2yMF1（c，0），F2（c，0），并且如图23所示，如果取过焦点F1 、F2的直线为y轴，线段F1 F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，用类似的方法可以得到椭圆的标准方程为 ( ab0 )图23方程叫做焦点在y轴上的椭圆的标准方程.它所表示的椭圆的焦点是F1（0，c），F2（0，c），并且【想一想】 已知
5、一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x轴还是在y轴？例1已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10求椭圆的标准方程 【想一想】将例1中的条件“椭圆的焦点在x轴上”去掉，其余的条件不变，你能写出椭圆的标准方程吗？解 由于2c = 8，2a = 10，即c = 4，a = 5，所以由于椭圆的焦点在x轴上，因此椭圆的标准方程为 即 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(2)焦点在y轴上且焦距为10，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.解 (1)椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为： ，c = 3.
6、所求椭圆的方程为：.(2)椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为.又2a = 26, 2c = 10a = 13, c = 5b2 =a2-c2 =132-52=144所求椭圆方程为：例3 求下列椭圆的焦点和焦距.（1）； （2）.解 （1）因为54，所以椭圆的焦点在x轴上，并且故 因此 c = 1，2c = 2 所以，椭圆的焦点为 焦距为2（2）将方程化成标准方程，为 因为168，所以椭圆的焦点在y轴上，并且故 因此 练习2.1.1所以，椭圆的焦点为焦距为A 组1、填空: (1)椭圆的焦点在 轴上，焦点坐标是 ， ； (2)椭圆的焦点在 轴上，焦点坐标是 ， .2、写出适合下列条件的椭圆的
7、标准方程：(1) ,焦点为F1(-3，0)，F2(3，0).(2) ,焦点在y轴上且焦距为6.3、求下列椭圆的焦点坐标和焦距:(1) (2) (3) (4) 4、已知椭圆的焦点在x轴上， ，而且椭圆经过点A(2，-2)，求椭圆的B 组标准方程.1、已知椭圆 ， 是它的焦点，AB 是过 F1 的直线与椭圆交于 A、B 两点，求 的周长是多少2、已知B 、C 是两个定点， ，且 的周长等于16，求顶点A的轨迹3、的两个顶点坐标分别是 和 ，另两边 AB、 AC的斜率的乘积是 ，求顶点 A的轨迹方程4、求焦点在坐标轴上，且经过 和 两点的椭圆的标准方程2.1.2 椭圆的性质观察椭圆 【议一议】 下面
8、我们根据椭圆的标准方程 的形状，你能从图形中看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?来研究椭圆的几何性质.(1) 范围从方程中可以看到： 即 x，byb这说明椭圆位于四条直线所围成的矩形内（如图24）图24(2) 对称性在椭圆的标准方程中，将y换成y，方程依然成立这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于x轴的对称点也在椭圆上，因此椭圆关于x轴对称（如图25）同理，将x换成x，方程依然成立这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于y轴的对称点也在椭圆上（如图25）；将x换成x，y换成y，方程依然成立这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于坐标原点的对称点也在椭圆上（如图25）由此
9、可知，椭圆既关于x轴对称，又关于y轴对称，还关于坐标原点对称x轴与y轴都叫做椭圆的对称轴，坐标原点叫做椭圆的对称中心（简称中心）图25(3) 顶点在方程中，令y = 0，得x = ，说明椭圆与x轴有两个交点和；同样，令x = 0，得y = b，说明椭圆与x轴有两个交点和（如图24）椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点因此四个点是椭圆的四个顶点线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2和2ba和b分别表示椭圆的半长轴长和半短轴长【想一想】 椭圆的焦点在长轴上还是短轴上？(4)离心率椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记作e即 因为c0，所以0e1当e增大逐渐接近1的时候，c逐渐接近，从而
10、越小，因此椭圆越扁；反之，当e减小逐渐接近0的时候，c逐渐接近0，从而逐渐接近，此时椭圆逐渐接近于圆【说明】 有些书中将圆看成椭圆的特殊情况：当e = 0的时候，b = a，此时椭圆就成为圆本教材中，将圆与椭圆作为不同的曲线来进行研究，所以椭圆的离心率e 0，即椭圆的离心率满足0e0,即k 或k 时,直线与椭圆有两个公共点. 所以，实数k的取值范围是(-, )( , +).lyxo例3 如图2-8，已知椭圆，直线l: 椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？解 设直线m平行于直线l， 则m可写成 由方程组图2-8消去y,得 由，得 解得 由图可知 直线m为： 直线m与椭圆的交
11、点到直线l的距离最近. 解方程组 解得 根据点到直线的距离公式可得 答：椭圆上存在一点(4， )到直线l距离最小，且最小距离为 .【做一做】 最大距离是多少？问题 直线与椭圆相交时，弦长怎么求？ 设斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，A，B，则或然后联立直线与椭圆的方程，建立关于变量x(或变量y)的一元二次方程，运用韦达定理求弦长【想一想】 1、当直线斜率不存在时，弦长公式是怎样的？2、此弦长公式可以推广到所有圆锥曲线吗？例4 如图2-9，已知斜率为1的直线l过椭圆 的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长三 、例题精析 解 由椭圆方程可知：椭圆右焦点F 由此可知直线l的方程为
12、： 由方程组图2-9消去y,得 设A，B ， 例5 如图2-10，已知点F1、F2分别是椭圆 的左右焦点，过F2作倾斜角为的直线与椭圆相较于A、B，求F1AB 的面积.三 、例题精析解 椭圆 的左右焦点分别为F1 F2 直线AB的方程为由方程组 图2-10 消去y,并化简整理得 ， 又 点F1到直线AB的距离SF1AB 答：F1AB 的面积为。练习2.1.3A 组1、 已知直线和椭圆的方程如下，求它们的交点坐标并说明位置关系（1） ， （2） ， 2、已知椭圆 及直线 （1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程3、过椭圆 内一点 引一条弦，使弦被 点
13、平分，求这条弦所在直线的方程B 组4、已知椭圆 的焦点分别是 、 ，过中心 作直线与椭圆相交于 、 两点，若要使 的面积是20，求该直线方程1、 已知过点P（1，1）引一弦与椭圆x22y24交于A，B两点，使得|PA|PB|.求弦AB所在的直线方程及弦AB的长度.2、已知椭圆的中心在原点，焦点为（0，），离心率e，直线l与直线x2y10垂直，且过点P（0，m）.（1）写出椭圆的标准方程；（2）当m为何值时，直线l被该椭圆所截得的弦长为？3、已知椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1作倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点.（1）求直线AB的方程；（2）求ABF2的周长；（3）设弦AB的中点为M，求MF1F2的面积.
