1、 前言前言1波的独立传播和叠加原理波的独立传播和叠加原理 2两束同频振动方向平行的标量波的叠加两束同频振动方向平行的标量波的叠加 3两束同频振动方向垂直的标量波的叠加两束同频振动方向垂直的标量波的叠加 4 不同频率的两个平面单色波的叠加不同频率的两个平面单色波的叠加 5光波的分析光波的分析前前 言言 首先讲述作为首先讲述作为矢量波矢量波的光波，在某些情况下可看作的光波，在某些情况下可看作标标量波量波；光波在空间传播时在一些特定条件下满足；光波在空间传播时在一些特定条件下满足独立独立传播原理传播原理 进而介绍关于进而介绍关于光的叠加原理光的叠加原理。在此基础上，作为特殊。在此基础上，作为特殊情况
2、，讲解两束光波在不同情况下的情况，讲解两束光波在不同情况下的叠加结果叠加结果：规律、：规律、概念及应用。概念及应用。几束简单几束简单的光波的光波 复杂的复杂的光波光波 叠加叠加 分解分解第一节第一节 波的独立传播和叠加原理波的独立传播和叠加原理 一、标量波和矢量波一、标量波和矢量波 光波是光波是横波横波，选择传播方向为直角坐标系的，选择传播方向为直角坐标系的z方向，则方向，则矢量就变成了矢量就变成了二维矢量二维矢量，可将之分解为，可将之分解为x，y方向的分量方向的分量EB描述光波的物理量描述光波的物理量 和和 是矢量是矢量光波本质上是矢量波光波本质上是矢量波 若光波传播的媒质对这两个方向上的分
3、量有相同的性质，若光波传播的媒质对这两个方向上的分量有相同的性质，则这两个分量有相同的传播规律，于是任一个分量的波则这两个分量有相同的传播规律，于是任一个分量的波函数就可代表其对应的矢量波，则矢量波的处理变为标函数就可代表其对应的矢量波，则矢量波的处理变为标量波处理。量波处理。波的独立传波的独立传播原理：播原理：当当两列波或多两列波或多列波在同一列波在同一波场中传播波场中传播时，每一列时，每一列波的传播方波的传播方式都不因其式都不因其他波的存在他波的存在而受到影响而受到影响注意：注意：波的叠加原理和独立性原理成立于线性介质中波的叠加原理和独立性原理成立于线性介质中二、波的独立传播原理二、波的独
4、立传播原理 三、光波的叠加原理和线性媒质三、光波的叠加原理和线性媒质 光波叠加原理的数学基础：光波叠加原理的数学基础：如果光波如果光波 和和 都是方程都是方程 的解，的解，则它们的线性叠加则它们的线性叠加 也显然是该方程也显然是该方程的解，并且构成一个复杂的波的解，并且构成一个复杂的波微分波动方程的解的叠加性，构成了光波叠加原理的数学微分波动方程的解的叠加性，构成了光波叠加原理的数学基础基础。),(1trE),(2trE222tEE11223(,)(,)C E r tC E r tC当存在两个或多个光波同时传播时，如果光波的独立传播当存在两个或多个光波同时传播时，如果光波的独立传播原理成立，则
5、它们叠加的空间区域内，每一点的扰动将等原理成立，则它们叠加的空间区域内，每一点的扰动将等于各个光波单独存在时该点的扰动之和。这就是于各个光波单独存在时该点的扰动之和。这就是光波的叠光波的叠加原理，即加原理，即 真空中，光波叠加原理普遍成立真空中，光波叠加原理普遍成立媒质中，光波电磁场与媒质内部物质的相互作用满足线性媒质中，光波电磁场与媒质内部物质的相互作用满足线性条件时，光波叠加原理成立。条件时，光波叠加原理成立。当光强很强时，光与介质相当光强很强时，光与介质相互作用产生了非线性光学效应，光的叠加原理不再成立互作用产生了非线性光学效应，光的叠加原理不再成立 光波叠加原理的成立也是有条件光波叠加
6、原理的成立也是有条件的的 媒质分为媒质分为线性媒质线性媒质和和非线性媒质非线性媒质 线性媒质：线性媒质：波在其中传播时服从叠加原理和独立传播原理波在其中传播时服从叠加原理和独立传播原理的媒质的媒质非线性媒质：非线性媒质：波在其中传播时不服从叠加原理和独立传播波在其中传播时不服从叠加原理和独立传播原理的媒质原理的媒质一、一、同向传播的平面波的叠加同向传播的平面波的叠加假设有两个简谐平面波，其时间频率为假设有两个简谐平面波，其时间频率为，振幅分别为，振幅分别为E10和和E20，初始位相分别为，初始位相分别为 和和 ，传播方向沿着，传播方向沿着z轴，它轴，它们被表示为：们被表示为：第二节第二节 两束
7、同频振动方向平行的两束同频振动方向平行的标量波的叠加标量波的叠加 本节讨论两个频率相同、振动方向平行的光波的叠加，显然这本节讨论两个频率相同、振动方向平行的光波的叠加，显然这两个光波可视作标量波，于是问题就是两个光波可视作标量波，于是问题就是两个标量波叠加两个标量波叠加的问题的问题 102011010expEEi kzt22020expEEi kzt这两个光波叠加后的合成波可以表示为：这两个光波叠加后的合成波可以表示为：10102020,expexpE z tEi kztEi kzt（2.2.1）10102020expexpexpEiEii kzt0expEi kzt(2.2.2)010102
8、020expexpEEiEi1010202010102020coscossinsinEEi EE00expEi其中：其中：21102020102202100)cos(2|EEEEEcoscossinsinarctan20201010202010100EEEE（2.2.3）（2.2.4）上式中：上式中：由以上分析得到合成波的表达式为：由以上分析得到合成波的表达式为：表明：表明：合成波还是一个与分量波合成波还是一个与分量波时间频率相同，传播方向相同时间频率相同，传播方向相同，其，其它空间、时间参量以及它空间、时间参量以及位相速度都没有变化位相速度都没有变化的简谐平面波，的简谐平面波，只是有了新的振
9、幅和初位相，只是有了新的振幅和初位相，而且合成波的振幅和位相均取而且合成波的振幅和位相均取决于分量波的振幅和初始位相。决于分量波的振幅和初始位相。00(,)|expE z tEi kzt当当E E1010=E E2020时，由（时，由（2.2.3 2.2.3）有）有 2/)cos(2|1020100 EE可见，此时合成波的振幅取决于两个分量波的位相差可见，此时合成波的振幅取决于两个分量波的位相差 当当E E1010=E E2020时，由（时，由（2.2.4 2.2.4）得：）得：2/)(20100可见，合成波的初位相等于两个分量波初位相的平均值可见，合成波的初位相等于两个分量波初位相的平均值
10、当当E E1010=E E2020时，总的合成波函数为时，总的合成波函数为所以，当所以，当E E1010=E E2020且且1010=2020时，合成波与分量波振动状态时，合成波与分量波振动状态相同，只是振幅增大一倍相同，只是振幅增大一倍 而在而在10-20=情况下，可知合成振幅为零。情况下，可知合成振幅为零。1010201020,2cos2 exp2E z tEi kzt物物 理理 光光 学学2022-8-142022-8-14两列波在空间相遇的情况两列波在空间相遇的情况波的独立传播原理：波的独立传播原理：几列波在相遇点所引起的扰动是各列波在该点所几列波在相遇点所引起的扰动是各列波在该点所引
11、起的扰动的叠加（矢量的线性叠加，矢量和）引起的扰动的叠加（矢量的线性叠加，矢量和）当两个或多个光波在空间相遇时，如果振动不是十当两个或多个光波在空间相遇时，如果振动不是十分强，各列波将保持各自的特性不变，继续传播。分强，各列波将保持各自的特性不变，继续传播。相互之间没有影响。相互之间没有影响。波的叠加原理波的叠加原理成立条件成立条件1)、传播介质为线性介质；、传播介质为线性介质；2)、振动不是十分强，在振动很强的时候，线性介质会变为、振动不是十分强，在振动很强的时候，线性介质会变为非线性介质；非线性介质；注意注意波的叠加不是强度的叠加，也不是振幅的简单相波的叠加不是强度的叠加，也不是振幅的简单
12、相加，而是振动矢量的叠加加，而是振动矢量的叠加线性媒质：线性媒质：波在其中传播时服从叠加原理和独立传播原理波在其中传播时服从叠加原理和独立传播原理的媒质的媒质非线性媒质：非线性媒质：波在其中传播时不服从叠加原理和独立传播波在其中传播时不服从叠加原理和独立传播原理的媒质原理的媒质一、一、同向传播的平面波的叠加同向传播的平面波的叠加假设有两个简谐平面波，其时间频率为假设有两个简谐平面波，其时间频率为相同相同，振幅分别为，振幅分别为E10和和E20，初始位，初始位相分别为相分别为 和和 ，振动方向平行振动方向平行，传播方向沿着传播方向沿着 z 轴轴，它们被表示为：，它们被表示为：102011010e
13、xpEEi kzt22020expEEi kzt010102020expexpEEiEi00expEi12220102010202010|2cos()EEEE E10102020010102020sinsinarctancoscosEEEE上式中上式中：10102020expexp,expE z ti kzEiEit0exp i kztE其中其中：二、反向传播的平面波的叠加二、反向传播的平面波的叠加驻波及其实验驻波及其实验(1)、驻波波函数、驻波波函数假设两个简谐平面标量波的时间频率为假设两个简谐平面标量波的时间频率为，振幅分别，振幅分别E10和和E20，初始位相为，初始位相为 和和 ，一列波
14、沿着一列波沿着z轴正向传播轴正向传播另一列沿另一列沿z轴负向传播，轴负向传播，假定假定E10=E20=E0，即有：，即有：合成波各点都按照圆频率合成波各点都按照圆频率做简谐振动，但是此合成波有做简谐振动，但是此合成波有其固有的特点其固有的特点201010expEEi kzt2020expkzEEit10010020,expexpE z tEi kztEikzt0201020102cos2 exp2ktEiz叠加后的合成波可以表示为叠加后的合成波可以表示为：表示：表示：(1)对某一对某一Z点，点，E随时间以频率随时间以频率作简谐振动，某一时刻，作简谐振动，某一时刻，振幅随振幅随Z不同而变（振幅不
15、是常数）不同而变（振幅不是常数）;020201010(,2cos2 exp2)itkEtEzz(2)称振幅最大值和最小值的位置为波腹、波节的位置，它称振幅最大值和最小值的位置为波腹、波节的位置，它们不随时间而变们不随时间而变 ;波腹位置波腹位置：(m为整数为整数)波节位置波节位置：(m为整数为整数)20102kzm201021 2kzm(3)相邻波腹（或波节）之间距为相邻波腹（或波节）之间距为/2，相邻波腹与波节间距，相邻波腹与波节间距为为/4;(4)合成波的位相因子与空间坐标位置合成波的位相因子与空间坐标位置z无关无关。(6)(6)因因 的取值可正可负，所以在每一波的取值可正可负，所以在每一
16、波节两边的点，其振动是反相的节两边的点，其振动是反相的(5)(5)驻波的位相因子与驻波的位相因子与z无关，不存在位相的传播问题，故把无关，不存在位相的传播问题，故把这种波称为驻波，反之称为行波。这种波称为驻波，反之称为行波。2010cos2kz驻波：驻波：由于节点静止不动，所以波形没有传播。能量以由于节点静止不动，所以波形没有传播。能量以动能和势能的形式交换储存，亦传播不出去。动能和势能的形式交换储存，亦传播不出去。驻波驻波当两个分量波的振幅不相等时，例如，当两个分量波的振幅不相等时，例如，E10=E20+E，则有，则有合成波合成波是一个是一个驻波和行波之和驻波和行波之和，因此合成波在波节处振
17、幅不再因此合成波在波节处振幅不再为零，波节处的振动完全是由行波引起的，其它考察点的振幅为零，波节处的振动完全是由行波引起的，其它考察点的振幅则由行波和驻波共同引起的，并且由于行波的存在，则由行波和驻波共同引起的，并且由于行波的存在，将会有能将会有能量的传播。量的传播。010201020,2cos2 exp2E z tEkzitkz10expEitkz(2)(2)、驻波实验、驻波实验 实验装置如右图所示。实验装置如右图所示。M是镀银是镀银的平面反射镜，的平面反射镜，I是正入射到镜面是正入射到镜面上的单色简谐平面波，经反射后上的单色简谐平面波，经反射后得到反射波得到反射波R。G是一块极薄的感是一块
18、极薄的感光乳胶底片，它与镜面间有一微光乳胶底片，它与镜面间有一微小夹角。小夹角。I和和R形成驻波，形成驻波，G位于这个驻波位于这个驻波场中，经感光和显影，场中，经感光和显影，在在G上呈上呈现亮暗相间的条纹，相邻亮条纹现亮暗相间的条纹，相邻亮条纹(或暗条纹或暗条纹)之间的距离按图示的几之间的距离按图示的几何关系与何关系与/2相对应相对应MIRG/2/2/2/4维纳实验维纳实验底片底片G上感光的位置应该是驻波波腹的位置。上感光的位置应该是驻波波腹的位置。三、任意方向传播的平面波的叠加三、任意方向传播的平面波的叠加 上面两部分只考虑了两束光波的传播方向在一条直线上的上面两部分只考虑了两束光波的传播方
19、向在一条直线上的情况，分量波与合成波的空间分布比较简单，只和空间变情况，分量波与合成波的空间分布比较简单，只和空间变量量 z 有关。现在考虑两个有关。现在考虑两个时间频率相同时间频率相同、振动方向平行的振动方向平行的简谐平面光波不共线传播相遇叠加的情况。简谐平面光波不共线传播相遇叠加的情况。维纳实验证明：维纳实验证明：1、驻波的存在、驻波的存在维纳实验发现，紧贴镜面处的底片没有感光，而感光条维纳实验发现，紧贴镜面处的底片没有感光，而感光条纹的位置都与电场波腹位置相一致。纹的位置都与电场波腹位置相一致。维纳实验证明：维纳实验证明：2、乳胶感光的是光的电场而不是磁场、乳胶感光的是光的电场而不是磁场
20、两个频率相同、振动方向两个频率相同、振动方向平行的简谐平面光波不共线平行的简谐平面光波不共线传播相遇叠加传播相遇叠加zk1zk2xk2zxk1k1xE1k2E2O设两个分量波的频率都为设两个分量波的频率都为，振幅分别为，振幅分别为E10和和E20，初始位相，初始位相为为 和和 ，波矢分别为，波矢分别为k1和和k2，则它们的波函数可以表示成，则它们的波函数可以表示成如下如下：对于叠加区域，如图所示选取坐标系对于叠加区域，如图所示选取坐标系Oxyz，y 轴方向垂直于轴方向垂直于纸面向外。假设振动方向沿着纸面向外。假设振动方向沿着y方向，分量波的波矢方向，分量波的波矢 k1 和和 k2均平行于均平行
21、于xz平面，平面，注意，这时所有的函数都与注意，这时所有的函数都与 y 坐标无关。坐标无关。10201101110,expxzEx z tEi k xk zt2202220,expxzEx z tEi k xk zt叠加后的合成波可以表示为叠加后的合成波可以表示为：E(x,z,t)=E1(x,z,t)+E2(x,z,t)=E0exp(-it)其中：其中：E0=E10expi(k1xx+k1zz+)+E20expi(k2xx+k2zz+)=|E0|exp(i )而且有：而且有：211020121220102202100)()()cos(2|zkkxkkEEEEEzzxx)cos()cos()si
22、n()sin(arctan2022201011102022201011100zkxkEzkxkEzkxkEzkxkEzxzxzxzx10200其中：其中：21xxxkkk21zzzkkk2010212xxxkkk212zzzkkk201002合成波与前面所讨论到的合成波都不一样：合成波与前面所讨论到的合成波都不一样：1 1、振幅分布上有驻波的特点；、振幅分布上有驻波的特点；2 2、位相上有行波的特点；、位相上有行波的特点；3 3、其时间频率仍然是、其时间频率仍然是不变不变 01002cos()2(,)exp22()xzxzkkExzE x z tj k xk zt考虑当考虑当E10=E20时的
23、特殊情况，有时的特殊情况，有 第三节第三节 两束同频振动方向垂直的两束同频振动方向垂直的标量波的叠加标量波的叠加 假定两束光沿着假定两束光沿着z轴方向传播，而其振动方向分别与轴方向传播，而其振动方向分别与x、y轴方向相同，设这两束光波的波函数如下轴方向相同，设这两束光波的波函数如下：其中的其中的 、是直角坐标系是直角坐标系Oxyz中中x、y方向上的单位方向上的单位矢量。两束光波叠加，合成波函数矢量。两束光波叠加，合成波函数 为：为：xe ye 12EEE11010(,)cos()xE z te Ekzt22020(,)cos()yEz te Ekzt（2.3.1）（2.3.2）E显然合成波在显
24、然合成波在xy平面内，其方向垂平面内，其方向垂直于传播方向直于传播方向z轴，但是一般而言它轴，但是一般而言它不再与不再与x或或y轴同向。如右图所示，轴同向。如右图所示，E 与与x轴的夹角轴的夹角满足：满足：合成波与分量波矢量合成波与分量波矢量2020211010cos()|cos()EkztEtgEEkzt显然显然是是 z和和 t 的函数，的函数，E 的方向一般是不固定的，将随着的方向一般是不固定的，将随着 z和和 t 而变化而变化，利用利用(2.3.1)和和(2.3.2)，消去，消去(kz-t)，得得：其中其中22212122210201020|2cossinEEEEEEE E1020（2.
25、3.3）右图中画出了右图中画出了kz-t为某一确定值时的为某一确定值时的 E 以及它与以及它与 x 轴的夹角，轴的夹角，这个椭圆既可这个椭圆既可以理解为以理解为1、位置、位置 z 确定时确定时 E 的端点随着时间的端点随着时间t的的变化轨迹；变化轨迹；2、时间、时间 t 确定时确定时 E 的端点随着位置的端点随着位置 z 的变化轨迹在的变化轨迹在x-y平面上的投影，后者平面上的投影，后者实际上是一条空间螺旋线实际上是一条空间螺旋线由式（2.3.3）可知，随着 z 或 t 的变化，合成波矢量的端点在 x-y 平面(或者垂直于 z 轴的平面)上形成一个椭圆形轨迹。于是称振动方向互相垂直的同频同向传
26、播的两个线偏振光叠加后的合成光波为椭圆偏振光波，简称椭圆光。端点的椭圆轨迹端点的椭圆轨迹当当z固定时，随着固定时，随着t的增大端点如的增大端点如果是顺时针方向旋转，则规定该果是顺时针方向旋转，则规定该椭圆偏振光是椭圆偏振光是右旋右旋椭圆偏振光椭圆偏振光反之则称为反之则称为左旋左旋 椭圆偏振光椭圆偏振光。根据该规定根据该规定,角随时间的变化角随时间的变化 时椭圆偏振光为时椭圆偏振光为左左旋旋，如果，如果 则椭圆偏振则椭圆偏振光为光为右旋右旋，求，求d(tg)/dt得：得：zyxL在确定在确定t时的端点的空间螺时的端点的空间螺旋轨迹旋轨迹L及其在及其在x-y平面上平面上的投影的投影20201020
27、2210101010sin()()cos()cos()sinEEd tgdtEEkztkzt0t 0t E 的方向在的方向在x-y平面上是旋转的平面上是旋转的针对针对 E 的旋向的旋向分析：分析：sin0时，对应的椭圆偏振光为时，对应的椭圆偏振光为左旋左旋 椭圆偏振光椭圆偏振光sin-=-/2/20=00-/2=/2-/2=取不同值时的椭圆偏振光取不同值时的椭圆偏振光椭圆偏振光的第一个椭圆偏振光的第一个重要特例重要特例:当当 (m=0,1,)时时，2m22212122210201020|2cossinEEEEEEE E1|2202221021EEEE这是一个正椭圆方程，对应的椭圆的长、短轴分别
28、平行于这是一个正椭圆方程，对应的椭圆的长、短轴分别平行于x，y轴，称这种椭圆偏振光为轴，称这种椭圆偏振光为正椭圆偏振光正椭圆偏振光 如果如果E10=E20，则上式变成圆方程，称这种，则上式变成圆方程，称这种正椭圆偏振正椭圆偏振光光为为圆偏振光圆偏振光，圆偏振光是正椭圆偏振光的特例圆偏振光是正椭圆偏振光的特例与一般椭圆偏振光一样，与一般椭圆偏振光一样，正椭圆偏振光和圆偏振光同样也正椭圆偏振光和圆偏振光同样也有左旋和右旋之分。有左旋和右旋之分。圆偏振光圆偏振光椭圆偏振光的椭圆偏振光的另外一个重要特例另外一个重要特例是：是：当当 =mm(m m=0,=0,1,)1,)时，时，222121222102
29、01020|2cossinEEEEEEE E202101|EEEE这是一个直线方程，对应的椭圆退化成直线，这时的椭圆偏这是一个直线方程，对应的椭圆退化成直线，这时的椭圆偏振光称为振光称为线偏振光线偏振光。设该直线与。设该直线与x x轴的夹角为轴的夹角为，则有：，则有：102012|tanEEEE)22(容易证明，容易证明，当当 m=0 或偶数，上式右端取或偶数，上式右端取+，直线位于，直线位于 x-y 坐标系的一、三象限；而当坐标系的一、三象限；而当 m=奇数时，上式右端取奇数时，上式右端取-，直，直线位于线位于 x-y 坐标系的二、四象限坐标系的二、四象限；E10=0 时直线平行于时直线平行
30、于 x 轴；轴；E20=0 时直线平行于时直线平行于y轴。可见两束简谐平面光波满足上述条轴。可见两束简谐平面光波满足上述条件时，它们叠加形成的合成波是线偏振光件时，它们叠加形成的合成波是线偏振光第四节第四节 不同频率的两个平面单色不同频率的两个平面单色波的叠加波的叠加 一、拍频现象一、拍频现象简单起见，考虑一维情况。假设下述两个振幅相同的沿着简单起见，考虑一维情况。假设下述两个振幅相同的沿着z轴方向传播的简谐波：轴方向传播的简谐波：则叠加后合成波波函数为：则叠加后合成波波函数为：1210002E cosk z 22+E=E+E=exp i k-t+2zt 其中其中21kkk 21021212k
31、kk2120212110110expEEi k zt210220expEEi k zt0010k z222E=2E cos+exp i kz-t+t 随随t变化缓慢变化缓慢随随t变化较快变化较快由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是简谐振动。由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是简谐振动。1xt2xtxt这种振动的振幅也是周期性变化的，即振动忽强忽弱。这种振动的振幅也是周期性变化的，即振动忽强忽弱。由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是简谐振动。由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是简谐振动。这种合振动忽强忽弱的现象称为这种合振动忽强忽弱的现象称为拍拍。接收器输出信号的时间圆频率为接收
32、器输出信号的时间圆频率为 ,等于两分量光波的圆频等于两分量光波的圆频率之差，这个频率称为率之差，这个频率称为拍频拍频。这种由两个交变物理量产生一这种由两个交变物理量产生一个差频物理量的现象称为个差频物理量的现象称为“拍频现象拍频现象”。拍频现象的主要应用价值在于拍频现象的主要应用价值在于:它把高频信号中的频率信息和它把高频信号中的频率信息和位相信息转移到差频信号之中，使它们变得容易测量。位相信息转移到差频信号之中，使它们变得容易测量。拍频的定义可以从时间域推广到空间域，拍频的定义可以从时间域推广到空间域，即拍频现象也可以即拍频现象也可以指产生空间差频的现象指产生空间差频的现象。一种特殊情况一种
33、特殊情况：当当21时，时，可能小到无线电波频率范围之内，这种情况可能小到无线电波频率范围之内，这种情况下，可以用仪器直接测量出调制波的振动下，可以用仪器直接测量出调制波的振动。实际上仪器所测量的仍然是在某个时间间隔实际上仪器所测量的仍然是在某个时间间隔内的平均能流密内的平均能流密度度I，只要，只要2/2/则有，则有，*210021cos()IE EEk tt 二、拍频现象的应用二、拍频现象的应用(一一)、激光器率稳定性的检测和控制、激光器率稳定性的检测和控制 L2L1BSR 两束激光的拍频两束激光的拍频两个激光器两个激光器L1和和L2发出的两束激光发出的两束激光通过分束器通过分束器BS合成一束
34、，互相叠加，合成一束，互相叠加，产生拍频信号。产生拍频信号。假设由假设由L1发出的激光频率已知并很发出的激光频率已知并很稳定，那么这个装置可以用来测定稳定，那么这个装置可以用来测定L2激光束的频率，判断其稳定程度；激光束的频率，判断其稳定程度；还可以利用拍频还可以利用拍频作为误差信号，作为误差信号，用来控制激光器用来控制激光器L2的某个参数，使的某个参数，使得得L2光的频率得到稳定。光的频率得到稳定。(二二)、光学外差干涉法、光学外差干涉法光学外差干涉法思想：被测信光学外差干涉法思想：被测信息由角频率为息由角频率为1的光波携的光波携带，该光波和角频率为带，该光波和角频率为2(与与1相近相近)的
35、光波的光波(称为参考光称为参考光波波)叠加后，得到频率为叠加后，得到频率为 的的光强信号。这时，被测信息便光强信号。这时，被测信息便转移到该信号的位相中。转移到该信号的位相中。光学外差技术使我们既能发挥光学外差技术使我们既能发挥高频波的优势高频波的优势(例如采集被测量例如采集被测量的精度的精度)，又可利用对低频波的，又可利用对低频波的检测技术。检测技术。三、群速度三、群速度由两个不同时间频率的简谐平面光波叠加而成由两个不同时间频率的简谐平面光波叠加而成 拍频波是一拍频波是一种复杂波，所以一般意义上的速度概念不再适用于拍频。种复杂波，所以一般意义上的速度概念不再适用于拍频。合成波应包含合成波应包
36、含等相面传播速度等相面传播速度和和等幅面传播速度等幅面传播速度两部分。两部分。群速度是指合成波振幅恒定点的移动速度，即振幅调制包群速度是指合成波振幅恒定点的移动速度，即振幅调制包络的移动速度。群速度是波包的能量传播速度，也是波包络的移动速度。群速度是波包的能量传播速度，也是波包所表达信号的传播速度。所表达信号的传播速度。单色光波的传播速度指它的等相面的传播速度，单色光波的传播速度指它的等相面的传播速度，即相速度即相速度(单一频率的波的传播速度单一频率的波的传播速度)012100E=E+E=2E cosk z 22+2 exp i kz-t+t k相速度，由相位不变条件相速度，由相位不变条件我们
37、可以分别求得载波位相速度我们可以分别求得载波位相速度和调制波位相速度和调制波位相速度g：gk 通常把通常把 称为拍频波的称为拍频波的位相速度位相速度，把，把 称为拍频波的称为拍频波的群速度群速度 g对于拍频波有对于拍频波有群速度群速度是指某个光强值在空间的传播速度，因此它表示拍频是指某个光强值在空间的传播速度，因此它表示拍频波能量的传播速度。波能量的传播速度。当当 很小时，群速度得表达式可以写成很小时，群速度得表达式可以写成gddk如果能测出调制波的波长和如果能测出调制波的波长和 ，便可以得到，便可以得到g gk 现在，对于合成前的两简谐平面光波的位相速度、波长和现在，对于合成前的两简谐平面光
38、波的位相速度、波长和波矢的大小，分别用波矢的大小，分别用1、2、1、2、k1、k2来表示，则群来表示，则群速度表达式可以写成：速度表达式可以写成：221 121gkkkk 11212111 显然上式中的显然上式中的 和和 分别表示原光波的速度差和波分别表示原光波的速度差和波长差；而长差；而 反映了媒质色散的性质和大小。反映了媒质色散的性质和大小。221 121kkkk相应地相速度表达式可以写成：相应地相速度表达式可以写成：dd越大，波的相速度随波长的变化越大时，群速度与越大，波的相速度随波长的变化越大时，群速度与相速度相差越大相速度相差越大0dd)0(ddn即波长较大的单色光波比波长较短的单色
39、光波传播速度即波长较大的单色光波比波长较短的单色光波传播速度大时大时（正常色散），群速度小于相速度（正常色散），群速度小于相速度0dd)0(ddn即即反常色散，群速度大于相速度反常色散，群速度大于相速度 11g物物 理理 光光 学学2022-8-142022-8-14第二章第二章 光波的叠加与分析光波的叠加与分析两个简谐平面波两个简谐平面波1、相同相同，振动方向平行振动方向平行，传播方向沿着传播方向沿着 z z 轴同向轴同向，振幅和初始位相不同：振幅和初始位相不同：11010expEEi kzt22020expEEi kzt10102020,expexpexpE z tEiEii kzt2 2
40、、相同相同，振动方向平行振动方向平行，传播方向沿着传播方向沿着 z z 轴反向轴反向，振振幅相同幅相同，初始位相不同初始位相不同：1010expEEi kzt2020expkzEEit010020,expexpE z tEi kztEikzt0201020102cos2 exp2ktEiz3 3、相同相同，振动方向平行振动方向平行，传播方向沿着传播方向沿着 z z 轴反向轴反向，振振幅不相同，初始位相不同幅不相同，初始位相不同：010201020,2cos2 exp2E z tEkzit kz10expEitkzE(x,z,t)=E1(x,z,t)+E2(x,z,t)=E0exp(-it)E0
41、=E10expi(k1xx+k1zz+)+E20expi(k2xx+k2zz+)=|E0|exp(i )102004 4、相同相同，振动方向平行振动方向平行，传播方向成一定夹角传播方向成一定夹角，振幅不振幅不相同，初始位相不同相同，初始位相不同：5 5、不同不同，传播方向沿着传播方向沿着z z 轴轴，振幅相同，初始位相不振幅相同，初始位相不同同：1210002E cosk z 22+E=E+E=exp i k-t+2zt 相同相同的光波叠加仍然是的光波叠加仍然是单色光波单色光波不同不同的光波叠加则的光波叠加则不再是单色光波不再是单色光波结结 论：论：111cos(2)Eakz222cos()E
42、akz频率为频率为2 2k 频率为频率为k 不同频率光波的叠加不同频率光波的叠加合成波合成波 不同频率光波的叠加形成不同频率光波的叠加形成复杂光波复杂光波复杂光波复杂光波能不能分解成能不能分解成单色光波的组合？单色光波的组合？第五节第五节 光波的分析光波的分析 实际中存在的光波都是复杂的，实际中存在的光波都是复杂的，如何将复杂波分解成简单平如何将复杂波分解成简单平面波的叠加就是光波分析的任务面波的叠加就是光波分析的任务。本节首先讲述具有周期性。本节首先讲述具有周期性复杂光波的分析，进而讨论波群的分解问题，最后讨论光波复杂光波的分析，进而讨论波群的分解问题，最后讨论光波分析的普遍理论和方法步骤。
43、分析的普遍理论和方法步骤。一、周期性光波的分析一、周期性光波的分析周期性光波周期性光波:在接连着相等的时间和空间内振动能够完全重在接连着相等的时间和空间内振动能够完全重复一次的光波复一次的光波一种周期性光波一种周期性光波周期性不等于简谐性周期性不等于简谐性傅立叶级数定理：傅立叶级数定理：具有具有空间周期空间周期的函数的函数f(z)可以表示成为一可以表示成为一些空间周期为些空间周期为的整分数倍的整分数倍(即即、/2、/3等等)的简谐函数之和。的简谐函数之和。0112222coscos.2f zaazaz或者写成或者写成 01122coscos 2.fzaakzakz其中其中a0、a1、a2等为常
44、数，而等为常数，而 为空间角频率。为空间角频率。2k如果令如果令A0=2a0、An=ancosn、Bn=ansinn，则上两式变为：，则上两式变为：10)sincos(2)(nnnnkzBnkzAAzf周期性光波的分析周期性光波的分析可以应用数学上的可以应用数学上的傅立叶级数定理。傅立叶级数定理。其数学形式为：其数学形式为：coscoscossinsinnnnnnnnnkznkzaazank可以看到，复杂周期性光波可以看到，复杂周期性光波f(z)是一系列的简谐平面波的组是一系列的简谐平面波的组合，这些平面波的空间角频率分别为合，这些平面波的空间角频率分别为0、k、2k、nk、而而A0、An、B
45、n则是这些平面波的振幅，则是这些平面波的振幅，所以说对所以说对f(z)可以进可以进行傅立叶分析。行傅立叶分析。10)sincos(2)(nnnnkzBnkzAAzfA0、An、Bn称为函数称为函数f(z)的傅立叶系数。的傅立叶系数。01122coscos 2.fzaakzakz10)sincos(2)(nnnnkzBnkzAAzf傅立叶级数傅立叶级数00)(2dzzfA02()cosnAf znkzdz02()sinnBf znkzdzA0、An、Bn和和f(z)的关系分别为的关系分别为：10)sincos(2)(nnnnkzBnkzAAzf以以空间角频率空间角频率k沿沿z方向传播的方向传播的
46、周期性复杂波周期性复杂波 f(z)，可以分解，可以分解为许多振幅不同且空间角频率分别为为许多振幅不同且空间角频率分别为k,2k,3k的单色波的的单色波的叠加：叠加：A An n、B Bn n是某一空间角频率的是某一空间角频率的单色光波的振幅。单色光波的振幅。如果以如果以横坐标表示空间角频率横坐标表示空间角频率，纵坐标表示振幅纵坐标表示振幅，在对应于振幅不为零，在对应于振幅不为零的频率位置引垂直线，使其长度等于相应频率的振幅值的频率位置引垂直线，使其长度等于相应频率的振幅值(当然，以一定当然，以一定的标度为单位的标度为单位)，这样所绘制的曲线称为，这样所绘制的曲线称为频谱图频谱图，如果横坐标表示
47、空间如果横坐标表示空间角频率，则为空间频谱图。角频率，则为空间频谱图。周期性复杂波的傅立叶分析结果可以用周期性复杂波的傅立叶分析结果可以用空间频谱图空间频谱图光谱仪器可以看作是一种傅立叶分析器，对入射光做一个光谱仪器可以看作是一种傅立叶分析器，对入射光做一个傅立叶分析，入射光所包含的不同频率的分波就被显示为傅立叶分析，入射光所包含的不同频率的分波就被显示为一系列的光谱线。一系列的光谱线。例题例题3 3 用傅里叶级数分析如图所示的空间周期为用傅里叶级数分析如图所示的空间周期为的周期的周期性矩形光波，并画出频谱。性矩形光波，并画出频谱。解：这个矩形波的波函数为：解：这个矩形波的波函数为：00)(2
48、dzzfA02()cosnAf znkzdz02()sinnBf znkzdz将这个式子展开将这个式子展开矩形周期波的频谱图矩形周期波的频谱图周期性复杂波的频谱通常是离散频谱。周期性复杂波的频谱通常是离散频谱。矩形周期波的分析与合成矩形周期波的分析与合成叠加分波数目越多，叠加分波数目越多，越接近于原矩形波。越接近于原矩形波。二、波群的分析二、波群的分析 (非周期性波的分析非周期性波的分析)波群波群：其振动只是在一定范围内存在，在此范围之外即变：其振动只是在一定范围内存在，在此范围之外即变为零。所以这类波不是无限次地重复它的振动波形，因为零。所以这类波不是无限次地重复它的振动波形，因而不具有周期
49、性。实际中的原子所发射的光波即如此。而不具有周期性。实际中的原子所发射的光波即如此。波列波列 原子发光可看作是一段段有限长的波列的相继发射，所以实原子发光可看作是一段段有限长的波列的相继发射，所以实际普通光源发出的光波不是理想单色波。对于这类波群的分际普通光源发出的光波不是理想单色波。对于这类波群的分析就不能利用刚刚讲过的傅立叶级数，而必须利用傅立叶积析就不能利用刚刚讲过的傅立叶级数，而必须利用傅立叶积分。分。在数学上，傅立叶积分定理：一个非周期函数在数学上，傅立叶积分定理：一个非周期函数f f(z z)()(可看成空间周期可看成空间周期趋趋于于)，在（，在（-，+)+)满足狄里赫利条件，且绝
50、对可积，可以用傅里叶满足狄里赫利条件，且绝对可积，可以用傅里叶积分表示为积分表示为：dkikzkAzf)exp()()(来表示，其中：来表示，其中：dzikzzfkA)exp()()(A(k)称为函数称为函数f(z)的傅立叶变换，的傅立叶变换，f(z)称为称为A(k)函数的傅立叶逆变换。函数的傅立叶逆变换。若波群由非周期函数若波群由非周期函数f(z)来表征，可以对它进行傅立叶分析，来表征，可以对它进行傅立叶分析，分析的结果，这类波包含无限多个振幅不同的简谐分波，两分析的结果，这类波包含无限多个振幅不同的简谐分波，两个所谓个所谓相邻相邻的分波的频率相差无穷小，如果以频谱图解的分波的频率相差无穷小
